专题04：角的度量（导学案）新四年级数学暑假自习课（西南大学版·新教材）

四年级数学上册暑假自习课（西南大学版·新教材） 专题04：角的度量 知识点精讲 知识点01：角的度量 内容 比较角的大小 角的大小由角的开口决定，角的开口越大，角越大。 量角器的认识 量角器为半圆形，最大刻度180°，有内外两圈刻度。 中心点：量角器正中间的点，测量时需与角的顶点重合。 0°刻度线：有两条 0°刻度线，分别位于内圈和外圈的起始位置。 内圈刻度：从右边起 0°到 180°的刻度。 外圈刻度：从左边起 0°到 180°的刻度。 计量单位："度"是角的计量单位，用符号"°"表示，把半圆分成 180 等份，每一份所对的角就是 1 度的角。 用量角器量角 1. 把量角器的中心与角的顶顶点重合，0°刻度线与角的一条边 重合； 2. 角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； 3. 角的开口向右时角的一边与内圈0°刻度线重合，读内圈刻度；角的开口向左时，角的一边与外圈0°刻度线重合，读外圈刻度。 角的分类 1. 按照角的大小，角可以分为锐角、钝角、直角、平角和周角； 2. 一条射线绕它的端点旋转一周形成的角叫作周角，旋转半周形成的角是平角；直角是平角的一半； 3. 锐角＜90°，钝角＞90°，直角＝90°，平角＝180°，周角＝360°。 【典型例题1】 音乐课上，老师教同学们练习手势舞，下面这些手势动作比划出的角中，（    ）最大。 A． B． C． D． 【典型例题2】 在生活中我们很多地方需要测量角的度数，如工程图纸上的角需要量出度数，确保施工的精准度。下面度量角的方法和结果都正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】 下面的角与其对应的名称，错误的是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．平角 D．周角 【变式训练2】 粗心的明明在用量角器量角时，错误地把内圈刻度看成了外圈刻度，量得度数为120°，这个角的正确度数应该是（    ）。 A．20° B．60° C．12° D．120° 知识点02：画角 内容 用量角器画角 1. 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合； 2. 看清0刻度是内圈还是外圈，在量角器所需度数的地方点一个点； 3. 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线； 4. 标上角的符号，写上度数。 用三角板画角 用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，和180°的角，方法如下图： 【典型例题1】 用量角器画一个50°的角，在确定（    ）的位置时，需要量角器的帮助。 A．顶点 B．第一条边 C．第二条边 【典型例题2】 同学们用不同方法画75°角，下面画法正确的有（    ）个。      A．1 B．2 C．3 【变式训练1】 画一个的角，下面四种画法中，画法不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】 我们通常采用的画角方法有：量角器画角和三角尺拼角。下面的角中，只能用量角器来画的是（    ）。 A．75° B．100° C．105° D．135° 课后强化 一、选择题 1．度量一个角，角的一条边对着量角器上外圈“110”的刻度，另一条边对着内圈“20”的刻度，这个角是（    ）°。 A．90 B．130 C．160 D．50 2．如图，纸上有一个角，乐乐不小心把墨水洒在了纸上，这个角的度数是（    ）。 A．45° B．70° C．90° D．110° 3．根据三角板上角的度数，估计角1的度数是（    ）。 A．20° B．40° C．60° D．80° 4．在测量的度数时，四名同学分别用了以下方法，其中正确的有（    ）人。 小明用的小角测量出 小红用一副三角尺测量出 小芳用三角尺上的角测量了4次，量出 小华用量角器量出 A．1 B．2 C．3 D．4 5．用一副三角尺不能画出的角是（    ）。 A．135° B．15° C．150° D．115° 二、填空题 6．下图是用一副三角尺拼成的图形，∠1＝( )°。 7．如图，老师利用一个破损的量角器对一个角进行了度量，这个角的度数是( )°。 8．如图，图中已经画出40°角的一条边，那么这个角的另一条边会与量角器外圈的( )°刻度线重合，也可能与量角器外圈的( )°刻度线重合。 9．“C919”是我国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机。如图是文文绘制的C919飞机的简易图。经过测量，∠1＝( )°，它是( )角，它比平角小( )°。 10．用一个破损的量角器量一个角，角的一条边与量角器的90°刻度线重合，另一条边与量角器的165°刻度线重合，这个角的度数是( )°。 三、解答题 11．滑梯的坡度设计要综合考虑安全性、舒适性和玩耍体验等因素。一般来说，滑梯的坡度建议控制在20°到40°之间。（坡度指滑道与地面的夹角） (1)量一量：图中滑梯的坡度是( )°。 (2)画一画：滑梯的右侧还有一个滑道，请用一条线段表示滑道，画出符合坡度建议的示意图，并标记坡度的度数。 (3)( )侧的滑梯更平缓、更安全。（填“左”或“右”） 12．学校科技社团的张明同学研究光的传播，通过实验发现：用红外线照射镜面，光线会被反射到另一个方向。下面是他两次照射同一个镜面的示意图。 (1)量一量，上图中反射光线与镜面形成的夹角的度数。 ∠1＝( )°        ∠2＝( )° (2)我的发现是：入射光线与镜面的夹角( )反射光线与镜面的夹角。（填“大于”“小于”或“等于”） (3)应用：台球运动中台球的运动轨迹也遵循同样的规律，图中的球沿着箭头的方向撞击台球桌边然后反弹出去，是否能进右上角的球洞？在图上画出台球反弹后的运动轨迹（运动路线）。 13．刘杰、李文和张红放风筝，他们的风筝线一样长，都放完且风筝飞稳后，将线的一端固定在地面上（如下图）。 (1)量一量，刘杰的风筝线与地面的夹角∠1是( )°。李文的风筝线与地面的夹角∠2是( )°。张红的风筝线与地面的夹角∠3是( )°。 (2)想一想，风筝飞的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？请你写一写。 14．（1）请在下边残破的量角器上标画出一个以O为顶点70°的角。 （2）聪聪说：在这个量角器上可以找到的最大角是160°。你认为他说的对吗？写出你的理由。 15．请量出下图中角的度数，并在右边的虚线框内画出度数是它2倍的角。 参考答案 知识点01 【典型例题1】 B 【分析】这个角的两边分别与量角器上里圈上的刻度60°和110°（或外圈70°和120°）重合，同一圈与两边重合的刻度之差，就是这个角的度数。 【详解】110°－60°＝50° 【典型例题2】 B 【分析】这个角的顶点在量角器的底边中点，用量角器内圈与角的一边重合的大的刻度减去量角器内圈与角的一边重合的小的刻度，即可得出角的度数。据此解答。 【详解】由图可知，角的两条边分别落在量角器刻度弧的90°刻度线和10°刻度线处， 90°－10°＝80° 故图中量角器所测角的度数为80°。 【变式训练1】 C 【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此判断各个选项即可。 【详解】 A．量角器的0°刻度线没有与角的任何一边重合，该量角器的测量方法不正确；     B．没有把量角器的中心与角的顶点重合，该量角器的测量方法不正确； C．量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，该量角器的测量方法正确；     D．没有把量角器的中心与角的顶点重合，该量角器的测量方法不正确。 【变式训练2】 D 【详解】圆规是画圆的大小的工具；天平秤物体的重量；尺子测量线段的长度；量角的大小要用量角器； 故答案为：D。 知识点02 【典型例题1】 C 【分析】用量角器画一个角，先确定顶点，再由顶点画出一条边（射线），然后用量角器确定角的大小，并画出角。 【详解】用量角器画 50°的角： （1） 先确定角的顶点，从顶点画出一条射线，作为角的第一条边； （2）让量角器的中心和角的顶点重合，0°刻度线和射线重合； （3）在量角器上找到 50°的刻度线，紧靠量角器边缘在纸上画一个点； （4）然后连接顶点和（3）中画的点，并延长为射线，画出角的第二条边； （5）所成的角即为50°的角。 所以是在确定角的第二条边时，需要量角器的帮助。 【典型例题2】 B 【分析】量角器的使用规则：量角时，量角器的中心需与角的顶点重合，量角器的0°刻度线需与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器刻度即为角的度数。 一副三角板的角度为30°、45°、60°、90°，可通过角度相加拼出特定角度。 【详解】第一幅图中此图中量角器的中心未与角的顶点重合，不符合量角器使用规范，画法错误。 第二幅图：量角器的中心需与角的顶点重合，一条边与160°重合，另一条边与85°重合，此时，所形成的角实际是160°－85°＝75°，符合量角器画角规则，画法正确。 第三幅图：一副三角板的角度有30°、45°、60°、90°，45°＋30°＝75°，图中用45°角的三角板和30°角的三角板拼合，能得到75°角，画法正确。 正确的有2个。 【变式训练1】 C 【分析】量角器画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器120°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；用三角尺画角，一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。依此判断。 【详解】A．角的顶点在量角器底边偏右，一条边沿底边向左对齐量角器左端的120° ，另一条边对应刻度，画法正确。 B．利用平角减三角尺的角，，可以得到，画法正确。 C．角的顶点在量角器左端，一条边沿底边向右对齐，另一条边对应刻度是，画出的是的角，画法不正确。 D．用三角尺的角加角，，画法正确。 【变式训练2】 B 【分析】标准三角尺的角度通常为30°、60°、90°和45°、90°，通过组合这些角可以拼出某些角度，但无法拼出的角度只能用量角器画。 【详解】A．75°：30° ＋ 45° ＝ 75°，可以用三角尺拼出，此选项错误； B．100°：没有两个三角尺上的角度组合等于100°，因此只能用量角器画，此选项正确； C．105°：45° ＋ 60° ＝ 105°，可以用三角尺拼出，此选项错误； D．135°：90° ＋ 45° ＝ 135°，可以用三角尺拼出，此选项错误。 故答案为：B 课后强化 1．D 【分析】根据题意，量角器中，外圈刻度110°对应的是内圈的70°，用内圈的70°减去内圈刻度20°，据此算出这个角的度数即可。 【详解】外圈刻度110°对应的是内圈的70° 2．B 【分析】我们可以先延长这个角露出的两条边，还原出角的顶点，量角时先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。量角度的度数是70°。 【详解】 如图，纸上有一个角，乐乐不小心把墨水洒在了纸上，这个角的度数是70°。 3．B 【分析】题图是一个有45°、45°、90°的三角尺，∠1的度数接近三角尺的一个45°角，据此结合选项判断选择即可。 【详解】A．45°－20°＝25°     B．45°－40°＝5°     C．60°－45°＝15°     D．80°－45°＝35° 5°＜15°＜25°＜35° 所以最接近45°的角是40°。 4．D 【分析】分析小明的方法：小明用10°的小角测量∠1。 因为120°÷10°＝12，说明∠1可以由12个 10°的小角拼接而成。 只要小明能通过“重复拼接10°小角”的方式，准确覆盖∠1的两边，这种方法是合理的。 分析小红的方法：小红用一副三角尺测量∠1。 一副三角尺包含两种三角板： 等腰直角三角板：角度为 45°、45°、90°； 直角三角板：角度为30°、60°、90°。 通过“角的和差”可以得到120°：比如用 90°＋30°＝120°（或180°－60°＝120°等组 合）。这种方法是合理的。 分析小芳的方法：小芳用三角尺上30°的角测量了4次。 计算可得：30°×4＝120°，说明∠1可以由4 个30°的角拼接而成，这种方法是合理的。 分析小华的方法：小华用量角器测量∠1。量角器是测量角的标准工具，测量时需将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，再读取另一边对应的刻度。 只要小华操作规范，这种方法是合理的。 【详解】由分析可知：小明、小红、小芳、小华的测量方法都正确，正确的有4人 故答案为：D。 5．D 【分析】一副三角尺的自带角度为：30°、45°、60°、90°，能用三角尺画出的角都是这些角度的和或差，计算判断即可。 【详解】A．，可以画出； B．，可以画出； C．，可以画出； D．115°无法通过上述角度的和或差得到，不能用一副三角尺画出。 则用一副三角尺不能画出的角是115°。 6．75 【分析】左边是等腰直角三角尺两个锐角都是45°，右边的直角三角尺小的锐角为30°，大的锐角为60°。60°的锐角、45°的锐角和∠1在同一条直线上，组成一个180°的平角，平角减去两个锐角可以得到∠1。 【详解】∠1＝180°－45°－60°＝75° 7．50 【分析】量角时先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。当量角器破损时，如果角的一边没有与量角器的0刻度线重合，但角的顶点与量角器的中心点重合，用量角器外圈与角的一边重合大的刻度减去量角器外圈与角的一边重合小的刻度，可得出角的度数。或者用量角器内圈与角的一边重合大的刻度减去量角器内圈与角的一边重合小的刻度，也可得出角的度数。由图可知，这个角的一条边对着刻度60°，另一条边对着刻度110°，直接用减法即可算出这个角的度数。 【详解】110°－60°＝50° 8． 80 160 【分析】已知角是40°，如图角的一条边与外圈120°的刻度线重合，那么另一条边可能出现在外圈刻度大的一边，即40°＋120°＝160°，也可能出现在外圈刻度小的一边，即120°－40°＝80°；据此解答。 【详解】120°－40°＝80° 40°＋120°＝160° 图中已经画出40°角的一条边，那么这个角的另一条边会与量角器外圈的80°刻度线重合，也可能与量角器外圈的160°刻度线重合。 9． 140 钝 40 【分析】把量角器正中间的圆点，紧紧贴住角的顶点，量角器0刻度线与角的一条边重合，看角另一条边对准的刻度，量角器上的数字是多少，这个数字就是角的度数。小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，180°的角是平角。求这个角比平角小多少度，利用减法计算。 【详解】经过测量，∠1＝140°，90°＜140°＜180°，这个角是钝角； 180°－140°＝40°，它比平角小40°。 10．75 【分析】测量角的度数时，可以用量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线和角的一边重合，角的另一边所对的刻度就是角的度数；当0刻度线与角的一边不重合时，角两边对应的刻度差就是角的度数。 【详解】165°－90°＝75° 11．(1)50 (2)图见详解 (3)右 【分析】（1）用量角器量角的度数步骤如下：先把角的顶点和量角器的中心重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边所对应的刻度就是角的度数。 （2）用量角器画角的步骤如下：先画角的顶点和一条边；再将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。由题意得，可以在滑梯所在地平线的右侧确定一点作为角的顶点，然后将量角器的中心与这个点重合，0刻度线与地平线重合，然后在刻度30°（其它满足要求的度数也可以）处点上一个点，接着连接这个点与角的顶点即可。 （3）经过测量可知，左侧滑梯的坡度是50°，右边滑道的坡度在20°到40°之间，所以右侧的滑梯更平缓、更安全。 【详解】（1）图中滑梯的坡度是50°。 （2） （3）右侧的滑梯更平缓、更安全。 12．(1) 30 50 (2)等于 (3)见详解；能进 【分析】（1）量角器量角步骤：①点点重合：中心对顶点；②线边重合：0°刻度线对一边；③读数：角的另一边对应的刻度0°刻度线在右，读圈内，角的另一边对应的刻度0°刻度线在左，读圈外。量出角的度数，据此解答。 （2）根据（1）中测量的结果，据此判断入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角的大小关系即可。 （3）先量出球沿着箭头的方向撞击台球桌边时形成的夹角，根据（2）中发现的规律，画出台球反弹后的运动轨迹，画角的步骤是：使量角器的中心和顶点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器60°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，据此画图后判断是否能进右上角的球洞。 【详解】（1）经测量∠1＝30°，∠2＝50°。 （2）入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角。 （3） 答：能进右上角的球洞。 13．(1) 75 60 40 (2)风筝高度越高风筝线与地面的夹角越大。 【分析】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此量出∠1、∠2、∠3的度数。 （2）因为三人所用的风筝线一样长，通过观察可知，风筝高度越高风筝线与地面的夹角越大。 【详解】（1）通过测量可知，刘杰的风筝线与地面的夹角∠1是75°。李文的风筝线与地面的夹角∠2是60°。张红的风筝线与地面的夹角∠3是40°。 （2）风筝飞的高度越高风筝线与地面的夹角越大。 14．（1）见详解 （2）不对；最大可以找到140°的角 【分析】（1）画一个70°的角可根据以下步骤进行：先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，20°刻度线和射线重合；在量角器90°角刻度线的地方点一个点；以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个70°的角； （2）不同意，最大可以找到140°的角。 【详解】（1）如下图所示（画法不唯一）： （2）不同意，最大可以找到140°的角。 160°－20°＝140° 15．45°；直；图见详解 【分析】根据量角器量角的方法，把角的顶点和量角器的中心点重合，角的一条边与0°刻度线重合，看角的另一条边所指的刻度，就是角的度数； 根据画角的方法，先画一条射线，再把射线的端点与量角器的中心点重合，把射线与0°刻度线重合，在相应度数的刻度上取一点，连接射线的端点和这一点作一条射线，即画出所需的角。 【详解】根据测量，角的度数为45°； 45°×2＝90°，这是一个直角。 作图如下： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $