2.2.1 用配方法求解一元二次方程 同步训练 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦配方法解一元二次方程，通过基础操作、过程辨析、综合应用三阶分层设计，实现从概念理解到运算能力再到推理意识的递进巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接配方变形（如单选1-7、填空11-15）|聚焦移项、配方步骤，强化运算能力| |提升层|配方过程辨析与纠错（如单选8-9、填空16、解答22-23）|通过正误对比，培养推理意识与批判性思维| |综合层|含参数及新定义应用（如单选10、解答21）|结合模型意识，提升创新意识与问题解决能力|

2.2.1 用配方法求解一元二次方程 同步训练 一、单选题（每题3分，共30分） 1．用配方法将方程变形为，则的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣5）2＝4 B．（x+5）2＝4 C．（x﹣5）2＝121 D．（x+5）2＝121 3．若用配方法解一元二次方程 时，下列变形正确的为（　　） A． B． C． D． 4．方程 的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A． B． C． D． 5．一元二次方程x2﹣8x＋5＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣4）＝19 B．（x＋4）＝﹣19 C．（x﹣4）2＝11 D．（x＋4）2＝16 6．把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（　　） A．2，7 B．2，5 C．，7 D．，5 7．慧慧将方程2x2+4x﹣7＝0通过配方转化为（x+n）2＝p的形式，则p的值为（　　） A．7 B．8 C．3.5 D．4.5 8．在解方程 时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（　　） 小思： 小博 A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确 C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确 9．用配方法解方程时，下列配方错误的是（　　）． A． 化为 B． 化为 C． 化为 D． 化为 10．对于两个实数a，b，用 表示其中较大的数，则方程 的解是（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 二、填空题（每空3分，共21分） 11．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为　 　． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是　 　 13．若将方程x2-6x=7化为(x+m)2=b的形式，则m=　 　，b=　 　． 14．将 配方成 的形式，则 　 　． 15．如果一元二次方程 经配方后变为 ，则实数k的值为　 　. 16．下面是用配方法解关于x的一元二次方程的具体过程， 解：第一步： 第二步： 第三步： 第四步：， 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是　 　． 三、解答题 17．用配方法解方程：. 18．用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0． 19．用适当的方法解方程： 20．用配方法解下列方程： （1）x2+2x-8=0 （2）x2+12x-15=0 （3）x2-4x=16 （4）x2=x+56 21．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程 ． （1）若“ ”表示常数 ，请你用配方法解方程： ； （2）若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 有实数根．求“ ”的最大值． 22．用配方法解方程 ，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正． 解：方程两边都除以2并移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 解得 ， 即 ． 23．下面是小勇解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解∶2x2＋4x-6=0 二次项系数化为1，得x²+2x-3=0．……………………… 第一步 移项，得x2+2x=3．…………………………………… ……第二步 配方，得x2+2x+4=3+4．即（x+2）2=7．…………… ………第三步 由此，可得x+2=± ． ………………………………… 第四步 x1=2＋ ，x2=2- ．……………………………………第五步 任务∶ （1）上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元—次方程，体现的数学思想是　 　；其中配方法依据的一个数学公式是　 　； （2）“第二步”变形的依据　 　； （3）上面小勇同学的解题过程中，从第 ▲ 步开始出现错误，写出正确的解答过程． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：， 配方得：， 即， 则m=5. 故答案为：B. 【分析】利用配方法求解一元二次方程的解法求解即可。 2．【答案】A 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：x2﹣10x+21＝0， 移项得： ， 方程两边同时加上25，得： ， 即 ． 故答案为：A 【分析】利用配方法解一元二次方程即可。 3．【答案】D 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：原方程变形为： ， ， 配方为： ， ． 故答案为：D． 【分析】利用配方法的计算方法及步骤求解即可。 4．【答案】A 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵x2+2x=1 ∴x2+2x+1=2 ∴（x+1）2=2 故答案为：A. 【分析】给方程两边同时加上1，然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可. 5．【答案】C 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：C. 【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“16”，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可. 6．【答案】C 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：， ， ， ， ∴，， 故答案为：C. 【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边分别加上一次项系数一半的平方“4”，对左边的式子利用完全平方公式分解即可化为(x+a)2=b的形式，进而可得a、b的值. 7．【答案】D 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵2x2+4x-7=0， ∴2x2+4x=7， ∴x2+2x= ， ∴x2+2x+1= +1， ∴（x+1）2= ， 则p= =4.5， 故答案为：D． 【分析】先求出x2+2x= ，再利用配方法求出（x+1）2= ，最后求解即可。 8．【答案】A 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】由图知，小思和小博除了第一步x2的系数化1不一致，其他都一样．两人的做法都正确， 故答案为：A． 【分析】利用配方法解方程即可。 9．【答案】A 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：A. 化为 ，符合题意； B. 化为 ，不符合题意； C. 化为 ，符合题意； D. 化为 ，不符合题意； 故答案为：A 【分析】利用配方法的步骤化简并逐项判断即可。 10．【答案】C 【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】解：∵max（a，b）表示其中较大的数， ∴当x＞0时，max（x，-x）=x， 方程为x2=2x+1， x2-2x+1=2， （x-1）2=2， ∴x-1=± ， ∴x=1± ， ∴x＞0， ∴x=1+ ； 当x＜0时，max（x，-x）=-x． 方程为-x2=2x+1 x2+2x+1=0， （x+1）2=0， ∴x=-1， 故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+ 故答案为：C． 【分析】分两种情况：①当x＞0时，max（x，-x）=x，②当x＜0时，max（x，-x）=-x，据此分别建立方程，分别求解即可. 11．【答案】（x﹣4）2=17． 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解： ， ，即 ， 故答案为 ． 【分析】利用配方法的步骤求解即可。 12．【答案】30 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：x2-10x+m=0， 移项，得x2-10x=-m， 配方，得x2-10x+25=-m+25， （x-5）2=25-m， ∵关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成（x-n）2=0的形式， ∴25-m=0，n=5， ∴m=25， ∴ 故答案为：30． 【分析】利用配方法将一元二次方程化简为（x-5）2=25-m，再利用待定系数法可得25-m=0，n=5，求出m的值，再将m、n的值代入m+n计算即可。 13．【答案】-3；16 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】 故答案为： 【分析】先求出，再求出，最后求解即可。 14．【答案】 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵3x2-2x-2=0， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【分析】先求出 ，再利用配方法求解即可。 15．【答案】11 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵ ， ∴x2-8x+16=k， ∴x2-8x+16-k=0， ∵ 经配方后变为 ， ∴16-k=5， ∴k=11. 故答案为：11. 【分析】将(x-4)2=k展开可得x2-8x+16-k=0，结合题意可得16-k=5，求解可得k的值. 16．【答案】④①③② 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数； 第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方； 第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程； 故答案为：④①③②． 【分析】利用配方法解一元二次方程即可。 17．【答案】解：， ， ， ， ． 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【分析】直接在方程的左边加上和减去一次项系数一半的平方，然后左边写成完全平方式并把常数项移到方程的右边，然后开方即可解方程. 18．【答案】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【分析】利用配方法解方程即可。 19．【答案】解： ∴ ， 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可. 20．【答案】（1）解：x2+2x-8=0， x2+2x=8， x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9， 则x+1=±3， x=−1±3， 即 （2）解：x2+12x-15=0， x2+12x=15， x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51， 则x+6=± ， x=−6± ， 即 （3）解：x2-4x=16， x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20， 则x-2=± ， x=2± ， （4）解：x2=x+56， x2-x+ 2=56+ 2， （ 2= ， 则x- =± ， x- =± + ， 即 . 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：1、将二次项系数化为1，并把常数项移到等号的右边；2、方程两边加上一次项系数一半的平方；3、左边配成完全平方式；4、当右边的常数项为非负数时，方程两边开平方；5、写出方程的两个根。 21．【答案】（1）解： ， ， ， 解得 ， ； （2）设 中为 ， ， ， ，解得 ， ∴ 的最大的值为9． 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）先将-7代入方程，再利用配方法求解一元二次方程即可； （2）设“ ”中为 ，将m代入方程吗，再利用根的判别式列出不等式求解即可。 22．【答案】解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得x2－ x+ =15+ ，即（x－ ）2= ，解得x－ =± ，即x1=3 ，x2= 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：1、将二次项系数化为1，并把常数项移到等号的右边；2、方程两边加上一次项系数一半的平方；3、左边配成完全平方式；4、当右边的常数项为非负数时，方程两边开平方；5、写出方程的两个根。按照步骤即可判断。 23．【答案】（1）转化思想；完全平方公式 （2）等式的性质 （3）解：小勇同学的解题过程中，从第三步开始出现错误； 解∶2x2＋4x-6=0， x²+2x-3=0， x2+2x=3， 配方得：x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4， 由此，可得x+1=±2， ∴x1=1，x2=-3． 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：①体现的数学思想是转化思想；配方法依据的一个数学公式是完全平方公式； ②“第二步”变形的依据是等式的性质或等式两边同时加（减）同一个代数式，所得结果仍是等式； 【分析】 (1)将二次方程化为一次方程，体现了转化思想，利用完全平方公式进行配方； (2)解方程的依据是等式的性质； (3)根据配方的步骤可知第三部出现错误，由配方的步骤解答即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $