四川2025-2026学年高一下学期数学期末模拟试卷（2）（基础卷）

**基本信息** 高一（下）数学期末基础卷，覆盖集合、复数、向量等基础知识点，通过概率应用、立体几何证明等题设计，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）及语言（数据意识），适配期末基础检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、复数模、向量共线等|基础概念辨析，如第1题集合包含关系| |多选题|3题|分层抽样、向量性质、三角恒等变换|选项分层考查，如第9题样本估计总体| |填空题|3题|独立事件概率、角平分线向量、外接球体积|空间想象与运算结合，如第14题外接球体积| |解答题|5题|概率计算、频率分布直方图、立体几何证明等|综合应用，如18题线面平行证明与存在性探究，16题数据处理体现数据意识|

高一（下）数学期末测试卷（2） （基础卷） 一、单选题 1.已知集合A={x|x2≤1,x∈N},B={x|x>a},若A⊆B,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 因为集合A={x|x2≤1,x∈N}={0,1},B={x|x>a},若A⊆B, 则a<0,故实数a的取值范围是(-∞,0).故选B. 2.|2-4i|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.6 由题意|2-4i|==2故选C. 3.设P=(a+1)(a-5),Q=2a(a-3),则有(　　) A.P>Q B.P≥Q C.P<Q D.P≤Q 因为P=(a+1)(a-5),Q=2a(a-3),所以P-Q=(a+1)(a-5)-2a(a-3)=-a2+2a-5=-(a-1)2-4<0,所以P<Q. 4.已知向量=(-1,2),=(2,3),=(m,-3),若B,C,D三点共线,则m=(　　) A.-16 B.16 C. D.- 根据题意知=(-1,2),=(2,3),=(m,-3),则=(3,1),=(m-2,-6). 若B,C,D三点共线,则,故m-2=-18,解得m=-16. 5.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　) A. B.π C.2π D.3π 由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h=,∴圆锥的体积V=R2h= 6.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-2×3b,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A. 7.袋中有5个大小相同的小球,其中3个白球,2个黑球.从袋中随机摸出1个小球,观察颜色后放回,同时放入一个与其颜色大小相同的小球,然后再从袋中随机摸出1个小球,则两次摸到的小球颜色不同的概率为(　　) A. B. C. D. 若第一次从袋中摸出1个白球,则放入1个白球,第二次摸出黑球的概率为,若第一次从袋中摸出1个黑球,则放入1个黑球,第二次摸出白球的概率为,故两次摸到的小球颜色不同的概率为 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别为棱AB,AD,D1C1,C1B1的中点,过E,F,M,N四点作该正方体的截面,则下列说法错误的是(　　) A.该截面是六边形 B.A1C⊥平面EFMN C.平面EFMN∥平面AD1B1 D.该截面过棱BB1的一个三等分点 过E,F,M,N四点,确定截面的一条边EF,延长EF交CB于一点,连接该点与点N即可得到与棱BB1的交点P,利用基本事实3确定交线PN,PE,同样的方法找出其他交线,即可得到截面如图所示. 该截面是六边形FEPNMQ,P,Q分别是BB1,DD1的中点,故A正确,D错误; 在正方形ADD1A1中,A1D⊥AD1,DC⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,DC⊥AD1,DC∩A1D=D,DC⊂平面A1DC,A1D⊂平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC,A1C⊂平面A1DC,所以A1C⊥AD1,同理可得A1C⊥D1B1,D1B1∩AD1=D1,AD1⊂平面AD1B1,D1B1⊂平面AD1B1,所以A1C⊥平面AD1B1; 因为MN∥B1D1,B1D1⊂平面AD1B1,MN⊄平面AD1B1,所以MN∥平面AD1B1,因为NP∥AD1,AD1⊂平面AD1B1,NP⊄平面AD1B1,所以NP∥平面AD1B1,NP∩MN=N,NP⊂平面EFMN,MN⊂平面EFMN,所以平面EFMN∥平面AD1B1,C正确; 因为A1C⊥平面AD1B1,平面EFMN∥平面AD1B1,所以A1C⊥平面EFMN,B正确. 二、多选题 9.某单位有职工450人,其中男职工150人,现为了解职工健康情况,该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为90的样本,得出体重情况:男性平均体重为63千克;女性平均体重为54千克.则下列说法正确的是(　　) A.抽查的样本中女职工人数为60 B.该单位男职工的体重普遍比女职工较重 C.估计该单位职工平均体重为58.5 D.每一位男或女职工被抽中的可能性均为 A选项,抽查的样本中女职工人数为90=60,A选项正确.B选项,男性平均体重为63千克;女性平均体重为54千克,所以该单位男职工的体重普遍比女职工较重,B选项正确.C选项,估计该单位职工平均体重为63+54=57,C选项错误.D选项,每一位男或女职工被抽中的可能性均为,D选项正确. 10.已知|a|=1,|b|=2,则下列说法正确的是(　　) A.若a⊥b,则a·b=0 B.若a∥b,则a与b的夹角为0° C.若a与b的夹角为120°,则b在a上的投影向量为-a D.|a+b|的取值范围是[1,3] 若a⊥b,则a·b=|a||b|cos 90°=0,A正确;若a∥b,则a与b的夹角为0°或180°,B错误;若a与b的夹角为120°,则a·b=1×2×(-)=-1,则b在a上的投影向量为|b|=2a=-a,C正确;设a与b的夹角为θ,则|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=5+4cos θ,因为0°≤θ≤180°,则-1≤cos θ≤1,所以1≤5+4cos θ≤9,所以|a+b|的取值范围是[1,3],D正确.故选ACD. 11.已知sin αsin=3cos αsin,则(　　) A.tan α=tan B.tan α=- C.tan=- D.cos sin αsin=sin αsin[]=sin αcos=3cos αsin, 所以tan α=3tan,所以A错误; 又tan α=3,所以tan2α+2tan α+3=0,则tan α=-, 故tan=-,所以B,C正确; 由cos ==,D正确. 三、填空题 12.已知随机事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,则P(A∪B)= . 因为事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,可得P(AB)=P(A)P(B)=, 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=3,则向量的坐标为　　　　　　. 因为点C在∠AOB的平分线上,所以存在λ∈(0,+∞),使得=λ()=λ(0,1)+λ(-)=(-,),又因为||=3,所以(-)2+()2=(3)2,解得λ=5.故向量=(-3,9). 14.已知在三棱锥A-BCD中,AB⊥BD,AC⊥CD, AB=8,BD=6,点P为三棱锥A-BCD外接球上一点,则三棱锥P-ABD的体积最大为　　　　　. 解析:在三棱锥A-BCD中,由AB⊥BD且AB=8,BD=6,可得AD=10,取AD的中点O,连接OB,OC,因为AB⊥BD,AC⊥CD,可得OB=OC=AD,所以点O为三棱锥A-BCD的外接球的球心,其中AD为外接球的直径,设外接球的半径为R,可得R=AD=5,当点P到平面ABD的距离为R时,此时三棱锥P-ABD的体积最大,体积的最大值为V=AB·BD×R=8×6×5=40. 四、解答题 15.某医院要派医生义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示: 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求派出医生至多2人的概率; (2)求派出医生至少2人的概率. 解:设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)“派出医生至少2人”的概率为 P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. (方法二)“派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74. 16.随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位: cm),按照区间[160,165), [165,170),[170,175), [175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数; (2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A,B,C三个组,用分层随机抽 样的方法从这三个组中抽取6人,求这三个组分别抽取的学生人数. 解:(1)由频率分布直方图可知5×(0.07+x+0.04+0.02+0.01)=1,解得x=0.06,身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×(0.06+0.04+0.02)=60. (2)A组人数为100×5×0.06=30, B组人数为100×5×0.04=20, C组人数为100×5×0.02=10, 由题意可知A组抽取人数为30=3, B组抽取人数为20=2, C组抽取人数为10=1. 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=. (1)求△ABC的面积; (2)若sin Asin C=,求b. 解 (1)由S1-S2+S3=,得(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accos B,所以accos B=1.由sin B=,得cos B=或cos B=-(舍去),所以ac=,则△ABC的面积S=acsin B= (2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知,即b2=,得b= 18.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点. (1)求证:平面MNQ∥平面PCD. (2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. (1)证明 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点,所以NQ∥AB∥CD,MQ∥PC. 因为NQ⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以NQ∥平面PCD. 同理MQ∥平面PCD,又NQ∩MQ=Q,NQ,MQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PCD. (2)解 线段PD上存在一点E,使得MN∥平面ACE,且 证明如下:如图,取PD的中点E,连接NE,CE,AE, 因为N,E,M分别是AP,PD,BC的中点,BC∥AD,BC=AD,所以NE∥MC,NE=MC,所以四边形MCEN是平行四边形,所以MN∥CE. 因为MN⊄平面ACE,CE⊂平面ACE,所以MN∥平面ACE,此时 19.已知a∈R,函数f(x)=x2-2ax+5. (1)若a>1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值; (2)若不等式x|f(x)-x2|≤1对x∈[]恒成立,求实数a的取值范围. (1)因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1), 所以f(x)在[1,a]上为减函数,所以f(x)的值域为[f(a),f(1)]. 又因为已知值域为[1,a],所以解得a=2. (2)由x|f(x)-x2|≤1,得-a(*). 令=t,t∈[2,3],则(*)可化为-t2+t≤at2+t. 记g(t)=-t2+t=-(t-)2+,则g(t)max=g()=,所以a; 记h(t)=t2+t=(t+)2-,则h(t)min=h(2)=7,所以a≤7.综上所述,a≤7.所以实数a的取值范围是[,7]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一（下）数学期末测试卷（2） （基础卷） 一、单选题 1.已知集合A={x|x2≤1,x∈N},B={x|x>a},若A⊆B,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 2.|2-4i|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.6 3.设P=(a+1)(a-5),Q=2a(a-3),则有(　　) A.P>Q B.P≥Q C.P<Q D.P≤Q 4.已知向量=(-1,2),=(2,3),=(m,-3),若B,C,D三点共线,则m=(　　) A.-16 B.16 C. D.- 5.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　) A. B.π C.2π D.3π 6.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 7.袋中有5个大小相同的小球,其中3个白球,2个黑球.从袋中随机摸出1个小球,观察颜色后放回,同时放入一个与其颜色大小相同的小球,然后再从袋中随机摸出1个小球,则两次摸到的小球颜色不同的概率为(　　) A. B. C. D. 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别为棱AB,AD,D1C1,C1B1的中点,过E,F,M,N四点作该正方体的截面,则下列说法错误的是(　　) A.该截面是六边形 B.A1C⊥平面EFMN C.平面EFMN∥平面AD1B1 D.该截面过棱BB1的一个三等分点 二、多选题 9.某单位有职工450人,其中男职工150人,现为了解职工健康情况,该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为90的样本,得出体重情况:男性平均体重为63千克;女性平均体重为54千克.则下列说法正确的是(　　) A.抽查的样本中女职工人数为60 B.该单位男职工的体重普遍比女职工较重 C.估计该单位职工平均体重为58.5 D.每一位男或女职工被抽中的可能性均为 10.已知|a|=1,|b|=2,则下列说法正确的是(　　) A.若a⊥b,则a·b=0 B.若a∥b,则a与b的夹角为0° C.若a与b的夹角为120°,则b在a上的投影向量为-a D.|a+b|的取值范围是[1,3] 11.已知sin αsin=3cos αsin,则(　　) A.tan α=tan B.tan α=- C.tan=- D.cos 三、填空题 12.已知随机事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,则P(A∪B)= . 13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=3,则向量的坐标为　　　　　　. 14.已知在三棱锥A-BCD中,AB⊥BD,AC⊥CD, AB=8,BD=6,点P为三棱锥A-BCD外接球上一点,则三棱锥P-ABD的体积最大为　　　　　. 四、解答题 15.某医院要派医生义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示: 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求派出医生至多2人的概率; (2)求派出医生至少2人的概率. 16.随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位: cm),按照区间[160,165), [165,170),[170,175), [175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数; (2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A,B,C三个组,用分层随机抽 样的方法从这三个组中抽取6人,求这三个组分别抽取的学生人数. 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=. (1)求△ABC的面积; (2)若sin Asin C=,求b. 18.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点. (1)求证:平面MNQ∥平面PCD. (2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 19.已知a∈R,函数f(x)=x2-2ax+5. (1)若a>1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值; (2)若不等式x|f(x)-x2|≤1对x∈[]恒成立,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $