期末复习：弹性碰撞问题、非完全弹性碰撞问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦弹性与非完全弹性碰撞，通过多场景典例构建动量守恒与能量关系的递进训练，强化科学思维中的模型建构与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弹性碰撞问题|3例+3变式|涵盖圆轨道、传送带、弹簧系统等场景，需联立动量守恒与机械能守恒|从动量守恒基础到机械能守恒条件的综合应用，体现碰撞过程中守恒量的选择逻辑| |非完全弹性碰撞问题|3例+3变式|涉及算珠滑动、滑块对接、轨道滑行等实际情境，重点计算能量损失|在动量守恒框架下，突出机械能损失分析，构建碰撞类型与能量关系的对应认知|

期末复习：弹性碰撞问题、非完全弹性碰撞问题专项训练 期末复习：弹性碰撞问题、非完全弹性碰撞问题专项训练 考点目录 弹性碰撞问题 非完全弹性碰撞问题 考点一 弹性碰撞问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，竖直平面内有一光滑的圆轨道，其末端水平，且距地面高为。现将质量为可视为质点的小球A从轨道顶端由静止释放，A落地点距离轨道末端的水平距离为。忽略空气阻力，重力加速度为，求： (1)圆轨道半径的大小？及小球A在轨道末端受到的轨道支持力； (2)在轨道末端静置质量为可视为质点的小球，再将小球从轨道顶端静止释放，若间碰撞为弹性碰撞，两小球落地后不反弹，讨论值与二者最终水平间距的关系。 例2．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 (1)求碰撞后瞬间木板的速度大小。 (2)弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 例3．（2026·山西临汾·一模）如图所示，水平传送带AB长度，以恒定的速率顺时针方向匀速转动，传送带右侧有一光滑的平台与传送带等高（不计与传送带的间隙）。质量为的物块Q放在光滑平台的左端，将一个质量的物块P轻放到传送带的左端A点，物块P与传送带的动摩擦因数，物块P与物块Q之间发生的碰撞为弹性正碰，取重力加速度，求： (1)第一次碰撞后瞬间物块P和物块Q的速度； (2)最终物块Q的速度大小。 变式1．（24-25高二下·天津蓟州·阶段检测）如图所示，光滑的轨道固定在竖直平面内，其O点左边为光滑的水平轨道，O点右边为半径R=0.8m的圆弧轨道，左右两段轨道在O点平滑连接。质量mA=0.1kg的小滑块A由静止开始从右边圆弧轨道的某位置（图中未画出该位置）沿轨道下滑且通过O点时对轨道压力的大小为3N，当小滑块A到达水平段后与处于静止的小滑块B发生弹性碰撞，小滑块B的质量mB=0.4kg，取重力加速度g=10m/s2，求： (1)试判断小滑块B碰撞后的速度； (2)碰撞过程中小滑块A所受冲量。 变式2．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）如图所示，静止在光滑水平面上的物体B是由平板ab、固定在平板最左端a点的薄挡板和四分之一光滑圆弧轨道bc组成，圆弧bc的半径为R=2m，其最低点b与平板ab的上平面相切。刚开始时，滑块A（可视为质点）静置于a点，t=0时刻，给滑块A一向右的瞬时速度v0=12m/s，已知平板ab部分的长度为L=3m，A、B的质量分别为m1=2kg、m2=4kg，A与B的ab部分之间的摩擦因数为μ=0.6，重力加速度g=10m/s2，A与挡板碰撞时间极短且不计A与挡板碰撞过程的能量损失，在此后的运动过程中，求： (1)滑块A上升的最大高度； (2)滑块A与挡板第一次碰撞后的速度； (3)滑块A最终在平板ab上相对B静止时的位置。 变式3．（25-26高二上·山东烟台·期末）如图所示，小物块B和C静止在光滑水平面上，B的右端固定一轻质弹簧，某时刻另一小物块A以大小为的速度水平向右运动，碰撞瞬间A、B立即粘合在一起。经过一段时间后C与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。已知A、C的质量相等且均为，B的质量为，C前两次在斜面上到达的最高点相同，A、B始终在水平面上运动，斜面足够长且与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为，不计弹簧与C碰撞过程中的机械能损失。 (1)求A、B碰撞过程中损失的机械能； (2)求物块C前两次在斜面上到达的最大高度； (3)若设B前端的弹簧开始接触C到第一次被压缩至最短所用时间为，在这段时间内AB运动的位移大小为，求物块第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量和最大弹性势能。 考点二 非完全弹性碰撞问题 例1．（25-26高二下·广东深圳·期中）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠（质量）可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔，乙与边框a相隔，算珠与导杆间的动摩擦因数，现用手指将甲以0.4m/s的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1m/s，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取10m/s2，求： (1)从被拨出后到与乙碰撞前瞬间，合外力对甲的冲量； (2)通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a。 例2．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）国内某小组在水平气垫导轨上进行太空舱对接模拟的实验，滑块甲在前，滑块乙在后，两者同向运动。甲的初速度，乙的初速度。当乙追上甲时，两滑块发生碰撞，使甲的速度变为。忽略一切摩擦，两滑块质量均为m=0.5kg，相互作用时间t=0.2s。求： (1)作用后滑块乙的速度v4； (2)两滑块间的平均相互作用力大小。 (3)物体甲、乙组成的系统在碰撞过程中损失的机械能。 例3．（25-26高二上·山东日照·期末）如图所示，水平平台的AB段粗糙、BC段光滑，平台右侧的地面光滑，在地面上紧靠C点放置由粗糙水平直轨道EF和光滑半圆弧轨道FGH组成的滑道EFGH，F为最低点，H为最高点，EF与平台等高。初始时，物块静止在平台上的B点，物块从平台上的A点以的初速度水平向右运动并与发生弹性碰撞，碰后滑上EF并继续运动。已知AB段的长度，的质量，与AB段间的动摩擦因数。滑道EFGH的质量M＝2kg，EF的长度。的质量，与EF间的动摩擦因数。取重力加速度，、可视为质点，不计由平台滑上EF时的能量损失。 (1)求碰撞后的速度大小； (2)求到达圆弧轨道的F点时的速度大小； (3)要使在圆弧轨道运动过程中不脱离轨道（不包含从圆弧的最高点时脱离的情况），求圆弧轨道半径R的范围。 变式1．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图所示，在光滑水平面上的P点放置一个质量为的小物块B，在Q点放置一个质量为、上表面是一段光滑圆弧轨道的楔形物块A。现将一质量为的小球C从圆弧轨道最高点由静止释放，小球C运动到P点时与物块B发生完全非弹性碰撞。已知圆弧轨道半径，重力加速度g取，不考虑物块B和小球C的大小。求： (1)小球C第一次从圆弧轨道上滑至水平面时，物块A的速度大小和小球C的速度大小； (2)小球C与物块B发生碰撞后的瞬间，物块BC整体的速度大小和碰撞过程中损失的机械能； 变式2．（25-26高二上·青海西宁·期末）如图所示，光滑水平轨道与光滑竖直圆弧轨道在A点平滑连接，圆弧轨道圆心为O，轨道上端点B和圆心连线与水平面成θ=37°角，半径R=0.75m。质量m1=0.5kg的物块P以初速度v0=12m/s向右运动，与静止的质量m2=1kg的物块Q发生碰撞，碰后P的速度反向，大小变为vP=2m/s。Q能从B点离开圆弧轨道，已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)P、Q碰撞过程损失的机械能； (2)物块Q经过B点时对轨道的压力大小。 变式3．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，水平直轨道、竖直半圆管道、竖直半圆轨道各部分均平滑连接，点左侧为粗糙水平面，其余各部分轨道及圆管道均光滑。质量为的物块与质量为的小球之间有一轻质小弹簧（与、不拴接），初始时弹簧被压缩且用细线将、拴接，、均静止，物块位于点右侧足够远处，质量为的小球静止在点左侧。剪断细线后，物块在点左侧滑行后停下来，小球与碰撞后，球以的速率反弹。已知物块与小球均可看作质点，物块与点左侧水平面间的动摩擦因数，半圆管及半圆轨道的半径均为，重力加速度取。求： (1)初始时弹簧的弹性势能； (2)球与碰撞时产生的热量； (3)若球的质量可以改变，且球与发生的是弹性碰撞，碰后取走、，要使小球在段运动过程中不脱离轨道，球质量的取值范围（结果可用分式及根号表示）。 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：弹性碰撞问题、非完全弹性碰撞问题专项训练 期末复习：弹性碰撞问题、非完全弹性碰撞问题专项训练 考点目录 弹性碰撞问题 非完全弹性碰撞问题 考点一 弹性碰撞问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，竖直平面内有一光滑的圆轨道，其末端水平，且距地面高为。现将质量为可视为质点的小球A从轨道顶端由静止释放，A落地点距离轨道末端的水平距离为。忽略空气阻力，重力加速度为，求： (1)圆轨道半径的大小？及小球A在轨道末端受到的轨道支持力； (2)在轨道末端静置质量为可视为质点的小球，再将小球从轨道顶端静止释放，若间碰撞为弹性碰撞，两小球落地后不反弹，讨论值与二者最终水平间距的关系。 【答案】(1)R；，方向竖直向上 (2)，；，；， 【详解】（1）小球A脱离轨道后做平抛运动，则有 解得 小球A从释放到轨道最低点有 联立解得 小球A在轨道最低点有 联立解得 方向竖直向上。 （2）规定向右为正方向，A碰B过程有 解得， 由于碰后需满足，因此 两小球脱离轨道后均做平抛运动，则有 联立解得 代入，解得小球A、小球B落地的水平距离分别为 若，则，两球均向右运动，故 若，则，可知碰后小球A反向运动，由于圆轨道光滑，则小球A返回轨道末端速度大小为的绝对值，则 若，则，可知碰后小球A反向运动，由于圆轨道光滑，则小球A返回轨道末端速度大小为的绝对值 ，则 例2．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 (1)求碰撞后瞬间木板的速度大小。 (2)弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）C下摆过程，由机械能守恒定律有 解得 C与A碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 联立解得碰撞后瞬间木板的速度大小 （2）A、C碰后，当弹簧的压缩量第一次为时，以向左为正方向，由动量守恒定律有 解得 由题意可知弹簧的弹性势能不变，由能量守恒定律有 解得 例3．（2026·山西临汾·一模）如图所示，水平传送带AB长度，以恒定的速率顺时针方向匀速转动，传送带右侧有一光滑的平台与传送带等高（不计与传送带的间隙）。质量为的物块Q放在光滑平台的左端，将一个质量的物块P轻放到传送带的左端A点，物块P与传送带的动摩擦因数，物块P与物块Q之间发生的碰撞为弹性正碰，取重力加速度，求： (1)第一次碰撞后瞬间物块P和物块Q的速度； (2)最终物块Q的速度大小。 【答案】(1)物块P的速度大小为，方向向左；物块Q的速度大小为，方向向右 (2) 【详解】（1）物块P在传送带上运动的加速度大小 物块P与传送带共速需要经过的位移 所以物块P与物块Q碰前的速度为 物块P与物块Q碰撞，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得， 所以第一次碰撞后瞬间，物块P的速度大小为，方向向左；物块Q的速度大小为，方向向右。 （2）物块P碰后反弹，向左匀减速运动的最大位移 物块P向右匀加速运动到B点的速度为 物块P第二次与物块Q弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得， 因 所以最终物块Q的速度大小为 变式1．（24-25高二下·天津蓟州·阶段检测）如图所示，光滑的轨道固定在竖直平面内，其O点左边为光滑的水平轨道，O点右边为半径R=0.8m的圆弧轨道，左右两段轨道在O点平滑连接。质量mA=0.1kg的小滑块A由静止开始从右边圆弧轨道的某位置（图中未画出该位置）沿轨道下滑且通过O点时对轨道压力的大小为3N，当小滑块A到达水平段后与处于静止的小滑块B发生弹性碰撞，小滑块B的质量mB=0.4kg，取重力加速度g=10m/s2，求： (1)试判断小滑块B碰撞后的速度； (2)碰撞过程中小滑块A所受冲量。 【答案】(1)，方向水平向左 (2)，方向水平向右 【详解】（1）小滑块A沿轨道下滑且通过O点时对轨道压力的大小为3N，此时根据牛顿第二定律可得 其中 解得小滑块A经过O点的速度大小为 小滑块A与小滑块B发生弹性碰撞，根据动量守恒可得 根据机械能守恒可得 联立解得， 可知小滑块B碰撞后的速度大小为，方向水平向左。 （2）碰撞过程中，以向左为正方向，根据动量定理可得 可知碰撞过程中小滑块A所受冲量大小为，方向水平向右。 变式2．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）如图所示，静止在光滑水平面上的物体B是由平板ab、固定在平板最左端a点的薄挡板和四分之一光滑圆弧轨道bc组成，圆弧bc的半径为R=2m，其最低点b与平板ab的上平面相切。刚开始时，滑块A（可视为质点）静置于a点，t=0时刻，给滑块A一向右的瞬时速度v0=12m/s，已知平板ab部分的长度为L=3m，A、B的质量分别为m1=2kg、m2=4kg，A与B的ab部分之间的摩擦因数为μ=0.6，重力加速度g=10m/s2，A与挡板碰撞时间极短且不计A与挡板碰撞过程的能量损失，在此后的运动过程中，求： (1)滑块A上升的最大高度； (2)滑块A与挡板第一次碰撞后的速度； (3)滑块A最终在平板ab上相对B静止时的位置。 【答案】(1)3m (2)8m/s (3)停在a点右侧2m处（或距离b点左侧1m处） 【详解】（1）A上升到最大高度时，系统水平方向动量守恒，最高点时A、B速度相同，有 a到最高点根据能量守恒 解得 （2）滑块A与挡板第一次碰撞后，A、B组成的系统动量守恒， 解得或0（舍去） （3）根据能量守恒 解得 所以A最终停在a点右侧2m处（或距离b点左侧1m处）。 变式3．（25-26高二上·山东烟台·期末）如图所示，小物块B和C静止在光滑水平面上，B的右端固定一轻质弹簧，某时刻另一小物块A以大小为的速度水平向右运动，碰撞瞬间A、B立即粘合在一起。经过一段时间后C与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。已知A、C的质量相等且均为，B的质量为，C前两次在斜面上到达的最高点相同，A、B始终在水平面上运动，斜面足够长且与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为，不计弹簧与C碰撞过程中的机械能损失。 (1)求A、B碰撞过程中损失的机械能； (2)求物块C前两次在斜面上到达的最大高度； (3)若设B前端的弹簧开始接触C到第一次被压缩至最短所用时间为，在这段时间内AB运动的位移大小为，求物块第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量和最大弹性势能。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）以物块A初速度方向为正方向，、碰撞满足动量守恒 解得 根据能量守恒，碰后损失的机械能满足 （2）从弹簧开始接触物块C到物块C第一次离开弹簧，对整体由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 联立解得物块C第一次离开弹簧时，AB和C各自的速度大小为， 设返回斜面底端时的速度大小为，克服斜面的摩擦力所做的功为，对第一次沿斜面的运动，上滑过程中，由动能定理可得 下滑过程中有 由两次沿斜面上滑的最高点相同可知，C与AB再次碰撞分离后的速度大小仍为，对与再次碰撞分离的过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得 联立可得 物块前两次在斜面上到达的最大高度为 （3）AB与C第一次压缩弹簧的过程中，任意时刻AB与C组成的系统动量守恒，有 方程两边同时乘以时间，得 在时间内，根据位移等于速度在时间上的累积，上式可改写成 将代入，可得 所以，物块C第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量为 与组成的系统动量守恒，当三者共速时弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能最大，满足 考点二 非完全弹性碰撞问题 例1．（25-26高二下·广东深圳·期中）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠（质量）可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔，乙与边框a相隔，算珠与导杆间的动摩擦因数，现用手指将甲以0.4m/s的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1m/s，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取10m/s2，求： (1)从被拨出后到与乙碰撞前瞬间，合外力对甲的冲量； (2)通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a。 【答案】(1)，由a指向b (2)能 【详解】（1）由牛顿第二定律可得，甲乙滑动时均有 则甲乙滑动时的加速度大小均为 甲与乙碰前的速度，则 解得 规定甲初速度方向为正，根据动量定理有 ，由a指向b。 （2）甲乙碰撞时由动量守恒定律 解得碰后乙的速度 然后乙做匀减速运动，计算其减速到0的过程，由运动学公式有， 可知乙恰好能滑到边框a。 例2．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）国内某小组在水平气垫导轨上进行太空舱对接模拟的实验，滑块甲在前，滑块乙在后，两者同向运动。甲的初速度，乙的初速度。当乙追上甲时，两滑块发生碰撞，使甲的速度变为。忽略一切摩擦，两滑块质量均为m=0.5kg，相互作用时间t=0.2s。求： (1)作用后滑块乙的速度v4； (2)两滑块间的平均相互作用力大小。 (3)物体甲、乙组成的系统在碰撞过程中损失的机械能。 【答案】(1)，方向与初速度方向相同 (2)12.5N (3) 【详解】（1）选甲乙运动方向为正方向，乙推甲，根据动量守恒定律可得 代入数据解得 方向与初速度方向相同。 （2）乙推甲，由动量定理可得乙对甲的冲量为 代入数据得 乙对甲的冲量I=Ft 代入数据解得F=12.5N （3）对甲乙两个物体组成的系统分析，系统损失的机械能为碰撞前后损失的动能 解得 例3．（25-26高二上·山东日照·期末）如图所示，水平平台的AB段粗糙、BC段光滑，平台右侧的地面光滑，在地面上紧靠C点放置由粗糙水平直轨道EF和光滑半圆弧轨道FGH组成的滑道EFGH，F为最低点，H为最高点，EF与平台等高。初始时，物块静止在平台上的B点，物块从平台上的A点以的初速度水平向右运动并与发生弹性碰撞，碰后滑上EF并继续运动。已知AB段的长度，的质量，与AB段间的动摩擦因数。滑道EFGH的质量M＝2kg，EF的长度。的质量，与EF间的动摩擦因数。取重力加速度，、可视为质点，不计由平台滑上EF时的能量损失。 (1)求碰撞后的速度大小； (2)求到达圆弧轨道的F点时的速度大小； (3)要使在圆弧轨道运动过程中不脱离轨道（不包含从圆弧的最高点时脱离的情况），求圆弧轨道半径R的范围。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）设物块在与碰撞前瞬间速度大小为，在与碰撞后速度分别为和，由动能定理可知 解得 物块在与发生弹性碰撞，满足动量守恒 碰撞前后动能相等，满足 联立解得， （2）在上滑动时，水平方向动量守恒，且摩擦力做功消耗系统动能，当到达点时，与滑道的速度分别为和，由动量守恒由 由能量守恒有 两式联立，共得两组解，分别为，及，，因物块速度不应小于轨道速度，故舍去第二组解，得到达圆弧轨道的F点时的速度大小为 （3）情况一：在圆弧轨道运动过程中不超过点，两者在水平方向上动量守恒，且在最高点时相对静止，满足 解得 在圆弧轨道运动过程中系统机械能守恒，满足 得 情况二：在圆弧轨道运动过程中能到达点，两者在水平方向上动量守恒，临界情况下，到达最高点时两者的相对速度满足 设到达点时，物块和滑道的速度分别为和 由水平方向动量守恒得 解得 由系统机械能守恒得 另外 联立解得，, 可知在圆弧轨道运动过程中能到达点，需满足 变式1．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图所示，在光滑水平面上的P点放置一个质量为的小物块B，在Q点放置一个质量为、上表面是一段光滑圆弧轨道的楔形物块A。现将一质量为的小球C从圆弧轨道最高点由静止释放，小球C运动到P点时与物块B发生完全非弹性碰撞。已知圆弧轨道半径，重力加速度g取，不考虑物块B和小球C的大小。求： (1)小球C第一次从圆弧轨道上滑至水平面时，物块A的速度大小和小球C的速度大小； (2)小球C与物块B发生碰撞后的瞬间，物块BC整体的速度大小和碰撞过程中损失的机械能； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）小球C下滑过程中，小球C和物块A组成的系统在水平方向动量守恒 机械能守恒 解得， （2）小球C与物块B发生碰撞过程，动量守恒 解得 碰撞过程中损失的机械能为 变式2．（25-26高二上·青海西宁·期末）如图所示，光滑水平轨道与光滑竖直圆弧轨道在A点平滑连接，圆弧轨道圆心为O，轨道上端点B和圆心连线与水平面成θ=37°角，半径R=0.75m。质量m1=0.5kg的物块P以初速度v0=12m/s向右运动，与静止的质量m2=1kg的物块Q发生碰撞，碰后P的速度反向，大小变为vP=2m/s。Q能从B点离开圆弧轨道，已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)P、Q碰撞过程损失的机械能； (2)物块Q经过B点时对轨道的压力大小。 【答案】(1)10.5J (2) 【详解】（1）规定向右正方向，P碰Q过程，根据动量守恒有 题意可知，代入解得碰后Q的速度 则P、Q碰撞过程损失的机械能 联立解得 （2）碰撞后，Q运动到B点过程，根据机械能守恒有 联立解得 在B点，轨道对Q的弹力与Q重力的分力的合力提供向心力，则有 联立解得 根据牛顿第三定律可知，物块Q经过B点时对轨道的压力大小为。 变式3．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，水平直轨道、竖直半圆管道、竖直半圆轨道各部分均平滑连接，点左侧为粗糙水平面，其余各部分轨道及圆管道均光滑。质量为的物块与质量为的小球之间有一轻质小弹簧（与、不拴接），初始时弹簧被压缩且用细线将、拴接，、均静止，物块位于点右侧足够远处，质量为的小球静止在点左侧。剪断细线后，物块在点左侧滑行后停下来，小球与碰撞后，球以的速率反弹。已知物块与小球均可看作质点，物块与点左侧水平面间的动摩擦因数，半圆管及半圆轨道的半径均为，重力加速度取。求： (1)初始时弹簧的弹性势能； (2)球与碰撞时产生的热量； (3)若球的质量可以改变，且球与发生的是弹性碰撞，碰后取走、，要使小球在段运动过程中不脱离轨道，球质量的取值范围（结果可用分式及根号表示）。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）设、分离时的速度分别为、，分离前后对、及弹簧组成的系统，根据动量守恒定律 物块滑行至停止的过程，有 初始时弹簧的弹性势能为 解得，， （2）球与碰撞，根据动量守恒 碰撞产生的热量 解得 （3）球与发生弹性碰撞，有 根据机械能守恒有 可得碰后球的速度，则越大，越小 碰后球在轨道上滑行的过程机械能守恒，若恰能到达离点高处，有 解得 若恰能经过最高点，有 在点，根据牛顿第二定律有 解得 可得球质量的取值范围为或 2 学科网（北京）股份有限公司 $