专题18 一次函数模型 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题18 一次函数模型 一、知识梳理 1. 一次函数的定义 一般地，以x为自变量的函数y=kx+b(k≠0,x∈R)，称为一元一次函数，简称一次函数. 2． 正比例函数定义 在一次函数表达式y=kx +b(k≠0,x∈R)中，令 b=0，则函数 y=kx，称为正比例函数. 3. 正比例函数的图象和性质 函数y=kx的图象是一条过原点的直线，显然函数y=kx是奇函数. 4．一次函数及其图象 （1）y=kx+b的图象是由y=kx的图象沿y轴方向平移|b|个单位得到. （2）对于一次函数y=kx+b(k≠0,x∈R)，当x=0时，y=b；当y=0时，.所以一次函数的图象是通过点（0,b）和点的一条直线. 5．一次函数的性质 （1）一次函数y=kx+b(k≠0)的定义域和值域均为R. （2）一次函数函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比. （3）当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数. 二、题型精练 题型1 一次函数的图象 【典例1】．求一次函数y=3x+6的图象与x轴，y轴的交点 题型2 一次函数的性质 【典例1】．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则（ ） A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 题型3 一次函数解析式的确定 【典例1】．已知一次函数的图象过点（0，3）和（2，1），求这个一次函数的解析式 三、知识检测 1.若函数y=kx+b(k≠0)在定义域上具有奇偶性，则下列说法正确的是 ( ) A.b>0 B.b<0 C.b=0 D.无法判断 2.已知f(x)=(3a-1)x+b在(-∞,+∞)上是增函数，则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 3.y=(2k-1)x+b是R上的减函数，则有( ) A. B. C. D. 4.下列函数不是一次函数的是 ( ) A.y=-2x+4 B.2x+3y-1=0 C.xy=3 D.y=ax(a≠0) 5.若一次函数y=-3x+b为奇函数，则b= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 6.一次函数y=2x-3的图象可以看作由函数y=2x的图象 得到的. ( ) A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C.向上平移个单位 D.向下平移个单位 7.一次函数y=x+1的图象过 ( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 8.若一次函数y=kx-k-2在R上是增函数，则该函数的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.已知函数是一次函数，2 等于（ ） A.3x+2 B. 3x-2 C. 2x+3 D. 2x-3 11.设函数f(x)=-x+k-2是R上的奇函数，则实数k= 12.若一次函数y=kx+b的图象经过原点，则b= . 13.若函数在R上是减函数，则k的取值范围为 14.已知一次函数的解析式为y=kx+b，当k>0,b<0时，图象不经过的象限是第 象限 15.已知点（2,1),(a,3）是函数y=2x+b的图象上的两点，则ab= . 16.已知函数是关于x的一次函数，则m ,n 17.已知函数y=2x+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为1，则b= 18求函数3x+2y-1=0的图象与x轴，y轴的交点. 19.一次函数是实数. （1）若函数f(x)为减函数，且f(1)=0，求a的值； （2）若f(x)为奇函数，求a的值. 20.已知一次函数过点(-1,1),(2,7)，求这个一次函数的解析式. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 一次函数模型 一、知识梳理 1. 一次函数的定义 一般地，以x为自变量的函数y=kx+b(k≠0,x∈R)，称为一元一次函数，简称一次函数. 2． 正比例函数定义 在一次函数表达式y=kx +b(k≠0,x∈R)中，令 b=0，则函数 y=kx，称为正比例函数. 3. 正比例函数的图象和性质 函数y=kx的图象是一条过原点的直线，显然函数y=kx是奇函数. 4．一次函数及其图象 （1）y=kx+b的图象是由y=kx的图象沿y轴方向平移|b|个单位得到. （2）对于一次函数y=kx+b(k≠0,x∈R)，当x=0时，y=b；当y=0时，.所以一次函数的图象是通过点（0,b）和点的一条直线. 5．一次函数的性质 （1）一次函数y=kx+b(k≠0)的定义域和值域均为R. （2）一次函数函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比. （3）当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数. 二、题型精练 题型1 一次函数的图象 【典例1】．求一次函数y=3x+6的图象与x轴，y轴的交点 答案：与  轴的交点为 ，与  轴的交点为 。 分析： · 与  轴交点：令 ，解 。 · 与  轴交点：令 ，求 。 详解： 1. 与  轴交点： 交点坐标为 。 2. 与  轴交点： 交点坐标为 。 题型2 一次函数的性质 【典例1】．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则（ ） A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 答案： C 分析： 根据一次函数图象的走向和与  轴交点位置判断  和  的符号。 · 图象从左下到右上 ⇒ ；从左上到右下 ⇒ 。 · 图象与  轴交于正半轴 ⇒ ；交于负半轴 ⇒ 。 详解： 图中直线从左向右下降，说明 ； 直线与  轴交于正半轴，说明 。 题型3 一次函数解析式的确定 【典例1】．已知一次函数的图象过点（0，3）和（2，1），求这个一次函数的解析式 答案：一次函数的解析式为 。 分析： 设一次函数为 ，代入两个已知点，解方程组求  和 。 详解： 1. 点  代入： 2. 点  代入： 所以函数解析式为： 三、知识检测 1.若函数y=kx+b(k≠0)在定义域上具有奇偶性，则下列说法正确的是 ( ) A.b>0 B.b<0 C.b=0 D.无法判断 答案：C 分析： 一次函数  若为奇函数，则 ，展开得： 若为偶函数，则 ，得 ，与  矛盾，所以不可能为偶函数。 因此具有奇偶性（只能是奇函数）时，必有 。 详解： 由  得： 2.已知f(x)=(3a-1)x+b在(-∞,+∞)上是增函数，则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案：B 分析： 一次函数  在  上为增函数，当且仅当斜率 。 详解： 因此  的取值范围是 ，选 B。 3.y=(2k-1)x+b是R上的减函数，则有( ) A. B. C. D. 答案：C 分析： 一次函数  在  上为减函数，当且仅当斜率 。 详解： 4.下列函数不是一次函数的是 ( ) A.y=-2x+4 B.2x+3y-1=0 C.xy=3 D.y=ax(a≠0) 答案：C 分析：一次函数可化为 （）的形式，C 是反比例函数。 详解： A. ：一次函数 ✅ B. ：一次函数 ✅ C. ：反比例函数，不是一次函数 ❌ D. ：一次函数 ✅ 5.若一次函数y=-3x+b为奇函数，则b= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案：B 分析： 一次函数  为奇函数，需满足 。 详解： 由  得： 6.一次函数y=2x-3的图象可以看作由函数y=2x的图象 得到的. ( ) A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C.向上平移个单位 D.向下平移个单位 答案： B 分析： 函数  与  的斜率相同，截距不同。  向上平移  个单位得 。 这里从  到 ，相当于 ，即向下平移 3 个单位。 详解： 常数项从 0 变为 -3，表示图象向下平移 3 个单位。 7.一次函数y=x+1的图象过 ( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 答案： A 分析： 一次函数 ，斜率 ，截距 。 · 斜率为正 ⇒ 图象从左下到右上，经过一、三象限。 · 截距为正 ⇒ 与  轴交于正半轴，加上斜率正，因此经过一、二、三象限。 详解：  ⇒ 图象过第一、二、三象限，不过第四象限。 8.若一次函数y=kx-k-2在R上是增函数，则该函数的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B 分析：看详解 详解：函数  在  上是增函数 ⇒ 。 令 ，因为 ，所以 。 一次函数  中 ，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。 9.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B 分析： 直线  经过第一、二、四象限 ⇒ ，。 对于直线 ，斜率为 ，截距为 。 因此它的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。 详解： · 原直线：（斜率负），（截距正） · 新直线：斜率 ，截距   且  ⇒ 过一、三、四象限，不过第二象限。 10.已知函数是一次函数，2 等于（ ） A.3x+2 B. 3x-2 C. 2x+3 D. 2x-3 答案：B 分析： 设 ，代入两个条件，解出  和 。 详解： 由 ： 条件1：  条件2：  解方程组： 相加得 ，代入得 。 所以 ，选 B。 11.设函数f(x)=-x+k-2是R上的奇函数，则实数k= 答案：。 分析： 奇函数满足 ，或利用 （因为定义域为  且包含 0）。 详解： 由奇函数性质 ，得： 因此 。 12.若一次函数y=kx+b的图象经过原点，则b= . 答案：。 分析： 图象经过原点，即点  满足函数解析式 。 代入  得 ，所以 。 详解： 因此填 。 13.若函数在R上是减函数，则k的取值范围为 答案： 的取值范围是 。 分析： 一次函数  在  上是减函数，当且仅当斜率 。 详解： 因式分解： 解得： 因此  的取值范围是 。 14.已知一次函数的解析式为y=kx+b，当k>0,b<0时，图象不经过的象限是第 象限 答案：第二象限。 分析： 一次函数  中， 表示图象从左下到右上，经过一、三象限； 表示与  轴交于负半轴，因此图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。 详解： · ：过一、三象限 · ：与  轴交于负半轴，所以加上第四象限 · 综合：过一、三、四象限，不过第二象限。 15.已知点（2,1),(a,3）是函数y=2x+b的图象上的两点，则ab= . 答案： 分析： 将两个点代入函数 ，先求 ，再求 ，最后计算 。 详解： 1. 点  代入： 2. 点  代入： 3. 计算 ： 16.已知函数是关于x的一次函数，则m ,n 答案：，。 分析： 一次函数的标准形式为 （），要求  的次数为 1，且  的系数不为 0。 详解： ·  的次数  ⇒  · 系数  ⇒  因此： 17.已知函数y=2x+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为1，则b= 答案：。 分析： 函数  与  轴交于点 ，与  轴交于点 。 与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，面积 ，解出 。 详解： ·  轴交点：令 ， ·  轴交点：令 ， 三角形面积： 由题 ，得： 因此  或 。 18求函数3x+2y-1=0的图象与x轴，y轴的交点. 答案： 与  轴的交点为 ，与  轴的交点为 。 分析： 先将方程化为一次函数形式，再分别令  和  求交点。 详解： 原方程： · 与  轴交点：令 ， 交点为 。 · 与  轴交点：令 ， 交点为 。 19.一次函数是实数. （1）若函数f(x)为减函数，且f(1)=0，求a的值； （2）若f(x)为奇函数，求a的值. 答案： (1)  (2)  或  分析： (1) 减函数要求斜率 ，且  代入得方程。 (2) 奇函数要求常数项为 0，且斜率不为 0 详解： (1) 减函数： 结合 ，得 。 (2) 奇函数要求常数项为 0： 此时函数分别为 （当 ）和 （当 ），均为奇函数。 20.已知一次函数过点(-1,1),(2,7)，求这个一次函数的解析式. 答案：一次函数的解析式为 。 分析： 设一次函数为 ，代入两点坐标，解方程组求  和 。 详解： 1. 点  代入： 2. 点  代入： (2) − (1)： 代入 (1)： 所以： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $