专题17 函数的奇偶性 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）(1)

专题17 函数的奇偶性 1、 知识梳理 1、奇函数与偶函数的定义 若对于函数y=f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有f(-x)= - f(x)，则这个函数称为奇函数； 奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 若对于函数y=f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有f(-x)= f(x)，则这个函数称为偶函数； 偶函数=图象是以y轴为对称轴的轴对称图形. ［注］如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说它具有奇偶性 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称，即a在定义域里，-a也在定义域内； (2) f(-x)= - f(x)或f(-x)= f(x)必有一成立. 判断函数y=f(x) (x∈A)的奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称，即当x∈A时，- x∈A是否成立； ②当①不成立时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 当①成立时，对于任意一个x∈A. 若f(-x)= - f(x)，则函数y=f(x)是奇函数； 若f(-x)= f(x)，则函数y=f(x)是偶函数； 若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠- f(x), 则函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 2．奇函数和偶函数的单调性 奇函数在函数的两个对称区间上，单调性一致； 偶函数在函数的两个对称区间上，单调性相反. 3．复合函数的奇偶性 偶＋偶＝偶；奇十奇＝奇；奇十偶＝非奇非偶；偶×偶＝偶；偶×奇＝奇；奇×奇＝偶. 二、题型精练 题型1 函数奇偶性的判断 【典例1】．判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3) =3x; (4) =1. 答案： (1) 非奇非偶（定义域不关于原点对称） (2) 偶函数 (3) 奇函数 (4) 偶函数 分析： 判断函数奇偶性需先看定义域是否关于原点对称，然后验证  与  的关系。 详解： (1)  定义域为 ，不关于原点对称（如  定义域，但  定义域），所以非奇非偶。 (2) ，定义域 ，且 所以是偶函数。 (3) ，定义域 ，且 所以是奇函数。 (4) ，定义域 ，且 所以是偶函数。 【典例2】．判断下列函数的奇偶性： (1) |x|-1; (2) (3) (4) 答案： (1) 偶函数 (2) 奇函数 (3) 既是奇函数又是偶函数 (4) 非奇非偶（定义域关于原点不对称） 分析： 判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再比较  与 。 详解： (1) ，定义域 ，且 所以是偶函数。 (2) ，定义域需  且  ⇒ ，关于原点对称。 所以是奇函数。 (3)  定义域需  且  ⇒  且  ⇒  ⇒ ，定义域为 ，关于原点对称。 · · 所以  且  均成立，既是奇函数也是偶函数。 (4)  定义域需  且  ⇒ ，不关于原点对称（例如 1 在定义域，-1 也在，但 -2 不在而 2 在），所以非奇非偶。 题型2 函数奇偶性的应用 【典例1】．已知奇函数y=f(x)在定义域（-1，1）上是单调减函数，且f(1-a)+ f(1-a2)＜0，求a的取值范围 答案： 的取值范围是 。 分析： 由  得 。 因为  是奇函数，，所以不等式化为： 又因  在  上单调递减，所以 。 同时需保证  和  都在定义域  内。 详解： 1. 奇函数条件 所以原不等式变为： 2. 单调递减 因为  在  上递减，所以： 3. 定义域限制 4. 取交集  且  且  ⇒ 。 【典例2】. 已知偶函数y=f(x)在定义域（0，+∞）上是单调增函数，且f(-a2)- f(-a2-4a-4)＜0，求a的取值范围 答案： 分析： 偶函数满足 ，所以原不等式可转化为： 即： 由于  在  上单调递增，因此： 化简得： 但还需保证两个自变量都在  内，即： 所以  且 。 结合  且 ，得： 三、知识检测 下列命题正确的是 ( ) A.奇函数的图象一定过坐标原点 B.偶函数的图象关于y轴对称 C.奇函数的图象关于x轴对称 D.偶函数的图象一定与y轴相交 答案：B 分析： 根据奇函数、偶函数的图象性质判断。 详解： A. 奇函数的图象不一定过原点，如  是奇函数，但不过原点 ❌ B. 偶函数的图象关于  轴对称 ✅ C. 奇函数的图象关于原点对称，不关于  轴对称 ❌ D. 偶函数的图象不一定与  轴相交，如  是偶函数，定义域不含 0，不与  轴相交 ❌ 2．已知奇函数f(x)满足2f(3)+f(5)=0,且f(-3)=2则f(-5)= ( ) A.1 B.-2 C.4 D.-4 答案：D 分析： 由奇函数性质 ，可得 。 已知 ，所以 。 再由  代入  求 ，进而求 。 详解： 1. ，奇函数 ⇒  2. 3. 奇函数 ⇒  3．设f(x)是奇函数，且定义域为[-1,1],则f(0)= ( ) A.0 B.1 C.-1 D.无法确定 答案：A 分析： 奇函数定义：对定义域内任意 ，有 。 若定义域关于原点对称且包含 0，则 ，即 ，得 ，所以 。 详解： 因为  是奇函数，且 0 在定义域  内， 4．已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，它们有共同的定义域，且f(x)≠0, g(x)≠0，则  是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：A 分析： 奇函数 ，偶函数 。 设 ，则 所以  是奇函数。 详解： ·  奇， 偶 ⇒ 乘积为奇函数 ✅ · 若问 ，则非奇非偶（一般情况） · 若问 ，也是奇函数 5．下列函数中既是奇函数，且在(-∞,0)上又是减函数的是 ( ) A.y=4x B. C. D. 答案：C 分析： 逐一判断奇偶性和单调性。 详解： A. ：奇函数，但在  上单调递增（斜率 4 > 0） ❌ B. ：偶函数，不是奇函数 ❌ C. ：奇函数，但在  上单调递减，所以 C 正确。 D. ：奇函数，且在  上单调递增❌ 6．若函数y=(3x+1)(x-a)为偶函数，则a= ( ) A.1 B.-1 C. D.2 答案：C 分析： 偶函数满足 ，展开函数后比较系数，或利用偶函数中一次项系数必须为 0。 详解： 偶函数要求一次项系数为 0： 7．已知函数为奇函数，则b= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案：B 分析： 奇函数满足 ，对任意  成立。 取 ，则 。 详解： 由奇函数性质 ，得 。 8．下列函数为奇函数的是 ( ) A. B. C.y=|x| D. 答案：B 分析： 根据奇偶性定义判断。 详解： A. ：偶函数 ❌ B. ：，奇函数 ✅ C. ：偶函数 ❌ D. ：定义域  不关于原点对称，非奇非偶 ❌ 9．已知函数f(x)为偶函数，且f(2)=4，则f(-2)= ( ) A.1 B.3 C.4 D.7 答案：C 分析： 偶函数满足 ，所以 。 详解： 10．已知函数为奇函数，则a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案：B 分析： 奇函数满足 ，取  得 ，或直接利用定义展开比较。 详解： 由奇函数性质 ，得 。 11．如果奇函数f（x）在区间{3,6}上是增函数且最小值为9，那么f（x）在区间{-6，-3} 上是( ) . A. B. C. D. 答案：A 分析： 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同（都是增或减）。 已知  在  上是增函数，则  在  上也是增函数。 且若在  上最小值为 9，即 ，由奇函数性质 ，且因为单调递增， 会更小，所以在  上最大值在右端点  取得，为 。 详解： · 奇函数在对称区间上单调性一致，所以  上也是增函数。 · 在  上最小值 9 ⇒ 。 · 奇函数 ⇒ 。 · 在  上为增函数，最大值在  处取得，为 。 12. 已知函数是奇函数，则a= 答案：。 分析： 奇函数满足 ，取  时比较。 详解： 设 ，则 ， 由奇函数定义： · 左侧：，所以  · 右侧： 令相等： 因此 。 13. 函数y= 在R上是奇函数，而且在(0,+∞)上是增函数，那么y= 在(-∞,0)上是 （增、减函数）. 答案：增函数 分析： 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。已知  在  上是增函数，则在  上也是增函数。 详解： 设 ，则 。 由  在  上递增得 。 利用奇函数性质 ，得： 因此当  时，，即  在  上为增函数。 14. 已知函数，若f(x)为奇函数，则a= 答案：。 分析： 奇函数定义：，取 （若定义域包含 0）可得 。 因为 ，代入计算： 详解： 由奇函数 ，得： 因此 。 15. 已知函数是奇函数，则 答案：。 分析： 奇函数满足 ，取  时比较。 详解： 设 ，则 ， 由奇函数定义： · 左侧：，所以  · 右侧： 令相等： 因此 。 16．若函数在[3a,2+a]上为奇函数，则a+b= 答案： 分析： 奇函数满足 ，且定义域关于原点对称，即区间端点互为相反数。 由定义域  关于原点对称，得 ，解出 。 再由奇函数性质，展开  比较系数，得 。 详解： 1. 定义域关于原点对称 此时区间为 ，关于原点对称。 2. 奇函数条件 比较系数，得  ⇒  ⇒ 。 3. 求和 17. 已知函数若f(-5)=8，求f(5)的值 答案： 分析： 令 ，则  是奇函数（因为只含奇次幂项）。 由  得 。 奇函数性质：。 所以 。 详解： 设 ， 则 ，即  是奇函数。 已知  ⇒ 。 由奇函数得 。 因此： 18. 已知奇函数f(x)的定义域是R，当x>0时，，求f(x)在R上的表达式. 答案： 分析： 已知  时，，且  为奇函数，所以 。 当  时，令 ，利用奇函数性质求表达式。 详解： 1. 当  时，。 2. 当  时，奇函数定义域包含 0，必有 。 3. 当  时，令 ，则 代回 ，得： 19. 已知函数 （1）求证：函数是奇函数； （2）若a>b>1，试比较f(a)和f(b)的大小 答案： (1) 函数  是奇函数。 (2) 当  时，。 分析： (1) 验证  是否成立。 (2) 利用作差法比较 ，结合  判断符号。 详解： (1) 定义域为 ，关于原点对称。 所以  是奇函数。 (2) 分子： 所以： 因为 ，有 ，，分母 ，所以： 因此，当  时，。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 函数的奇偶性 1、 知识梳理 1、奇函数与偶函数的定义 若对于函数y=f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有f(-x)= - f(x)，则这个函数称为奇函数； 奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 若对于函数y=f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有f(-x)= f(x)，则这个函数称为偶函数； 偶函数=图象是以y轴为对称轴的轴对称图形. ［注］如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说它具有奇偶性 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称，即a在定义域里，-a也在定义域内； (2) f(-x)= - f(x)或f(-x)= f(x)必有一成立. 判断函数y=f(x) (x∈A)的奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称，即当x∈A时，- x∈A是否成立； ②当①不成立时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 当①成立时，对于任意一个x∈A. 若f(-x)= - f(x)，则函数y=f(x)是奇函数； 若f(-x)= f(x)，则函数y=f(x)是偶函数； 若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠- f(x), 则函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 2．奇函数和偶函数的单调性 奇函数在函数的两个对称区间上，单调性一致； 偶函数在函数的两个对称区间上，单调性相反. 3．复合函数的奇偶性 偶＋偶＝偶；奇十奇＝奇；奇十偶＝非奇非偶；偶×偶＝偶；偶×奇＝奇；奇×奇＝偶. 二、题型精练 题型1 函数奇偶性的判断 【典例1】．判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3) =3x; (4) =1. 【典例2】．判断下列函数的奇偶性： (1) |x|-1; (2) (3) (4) 题型2 函数奇偶性的应用 【典例1】．已知奇函数y=f(x)在定义域（-1，1）上是单调减函数，且f(1-a)+ f(1-a2)＜0，求a的取值范围 【典例2】. 已知偶函数y=f(x)在定义域（0，+∞）上是单调增函数，且f(-a2)- f(-a2-4a-4)＜0，求a的取值范围 三、知识检测 下列命题正确的是 ( ) A.奇函数的图象一定过坐标原点 B.偶函数的图象关于y轴对称 C.奇函数的图象关于x轴对称 D.偶函数的图象一定与y轴相交 2．已知奇函数f(x)满足2f(3)+f(5)=0,且f(-3)=2则f(-5)= ( ) A.1 B.-2 C.4 D.-4 3．设f(x)是奇函数，且定义域为[-1,1],则f(0)= ( ) A.0 B.1 C.-1 D.无法确定 4．已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，它们有共同的定义域，且f(x)≠0, g(x)≠0，则是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 5．下列函数中既是奇函数，且在(-∞,0)上又是减函数的是 ( ) A.y=4x B. C. D. 6．若函数y=(3x+1)(x-a)为偶函数，则a= ( ) A.1 B.-1 C. D.2 7．已知函数为奇函数，则b= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 8．下列函数为奇函数的是 ( ) A. B. C.y=|x| D. 9．已知函数f(x)为偶函数，且f(2)=4，则f(-2)= ( ) A.1 B.3 C.4 D.7 10．已知函数为奇函数，则a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 11．如果奇函数f（x）在区间{3,6}上是增函数且最小值为9，那么f（x）在区间{-6，-3} 上是( ) . A. B. C. D. 12. 已知函数是奇函数，则a= 13. 函数y= 在R上是奇函数，而且在(0,+∞)上是增函数，那么y= 在(-∞,0)上是 （增、减函数）. 14. 已知函数，若f(x)为奇函数，则a= 15. 已知函数是奇函数，则 16．若函数在[3a,2+a]上为奇函数，则a+b= 17. 已知函数若f(-5)=8，求f(5)的值 18. 已知奇函数f(x)的定义域是R，当x>0时，，求f(x)在R上的表达式. 19. 已知函数 （1）求证：函数是奇函数； （2）若a>b>1，试比较f(a)和f(b)的大小 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $