专题19 二次函数模型 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题19 二次函数模型 一、知识梳理 1. 二次函数的定义 一般地，以x为自变量的函数 +c(a≠0,x∈R)，称为一元二次函数，简称二次函数. ≠0的图象是一条顶点为原点的抛物线，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下，这个函数为偶函数，y轴为它的图象的对称轴 2．二次函数的性质 （1）函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(-h,k)，抛物线的对称轴是直线x=-h; （2）当a>0时，函数在x=-h处取最小值k；在区间(-∞,-h]上是减函数，在[-h,+∞)上是增函数； （3）当a<0时，函数在x=-h处取最大值k；在区间(-∞,-h]上是增函数，在[-h,+∞)上是减函数. “配方法”是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键. 3．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系： 对于二次函数 （1）求满足y=0时x的值，等价于求一元二次方程的解； （2）求满足y<0时x的取值范围，等价于求一元二次不等式的解集；求满足y>0时的取值范围，等价于求一元二次不等式的解集 二、题型精练 题型1 二次函数求最值 【典例1】．已知函数，求函数的值域 题型2 二次函数的图象与性质的综合应用 【典例1】．二次函数y= 对任意的实数x都满足f(5+x)=f(3-x)，且f(x)=0的两根分别为，则等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.8 【典例2】．若函数的图象恒在x轴的上方，求实数a的取值范围 三、知识检测 1. 如果二次函数图象的顶点是（-3,1)，并且图象经过点（0,-8)，那么这个二次函数的解析式是( ) A. B. C. D. 2. 函数在区间[-2,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞ 3. 函数的最小值是 ( ) A.-3 B. C. D.3 4. 函数的递减区间是( ) A. B.[-1,+∞] C. D.(-∞,+∞) 5. 如果二次函数 在区间(-∞,-1)上是减函数，在区间(-1,+∞)上是增函数，则m= ( ) A.2 B.-2 C.10 D.-10 6. 已知二次函数的图象经过（1,0),(2,5）两点，则二次函数的解析式为 ( ) A. B. C. D. 7. 函数在区间（-1,3）上是 ( ) A.增函数 B.先增后减函数 C.减函数 D.先减后增函数 8. 已知函数与x轴没有交点，则m的取值范围是 ( ) A.(-∞,-4] B.[-4,4] C.(-4,4) D.[4,+ ∞) 9. 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是，若对任意的实数x都有f(3+x)=f(3-x)，则等于 ( ) A.0 B.3 C.6 D.8 10. 函数在区间［-2,2］上的最大值是 ( ) A.-9 B.-7 C.7 D.9 11. 在同一坐标系中，与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 若函数是偶函数，则的单调递增区间是 13. 二次函数的顶点坐标是 . 14. 二次函数y=f(x)满足f(4+x)=f(1-x)，则f(2) f(3).（选填“＞”、“＝”或“＜”） 15. 若函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a= . 16. 函数在区间[-1,3]上的值域为 17. 已知二次函数的图象的顶点为A(1,16)，且图象在x轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的解析式 18.已知函数(a>0) （1）求f(x)的单调递增区间； （2）若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围. 19. 不等式的解集为x∈(4,5),求关于x的不等式的解集. 20. 已知函数，且f(1)=4，求： （1)a的值； (2)f(3)的值. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 二次函数模型 一、知识梳理 1. 二次函数的定义 一般地，以x为自变量的函数 +c(a≠0,x∈R)，称为一元二次函数，简称二次函数. ≠0的图象是一条顶点为原点的抛物线，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下，这个函数为偶函数，y轴为它的图象的对称轴 2．二次函数的性质 （1）函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(-h,k)，抛物线的对称轴是直线x=-h; （2）当a>0时，函数在x=-h处取最小值k；在区间(-∞,-h]上是减函数，在[-h,+∞)上是增函数； （3）当a<0时，函数在x=-h处取最大值k；在区间(-∞,-h]上是增函数，在[-h,+∞)上是减函数. “配方法”是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键. 3．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系： 对于二次函数 （1）求满足y=0时x的值，等价于求一元二次方程的解； （2）求满足y<0时x的取值范围，等价于求一元二次不等式的解集；求满足y>0时的取值范围，等价于求一元二次不等式的解集 二、题型精练 题型1 二次函数求最值 【典例1】．已知函数，求函数的值域 答案：值域为 。 分析： 函数  是开口向下的二次函数，对称轴为 ，在区间  上先增后减，最大值在对称轴处，最小值在区间端点处取得。 详解： 配方： · 对称轴 ，最大值： · 端点值： · 最小值在  处取得，为 。 题型2 二次函数的图象与性质的综合应用 【典例1】．二次函数y= 对任意的实数x都满足f(5+x)=f(3-x)，且f(x)=0的两根分别为，则等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.8 答案：D 分析： 由  可知二次函数的对称轴为 ，即对称轴为 。 二次函数的两个零点关于对称轴对称，所以 。 详解： 令 ，则 ，代入 ，，所以： 即函数图象关于直线  对称。 因此两个零点之和为 。 【典例2】．若函数的图象恒在x轴的上方，求实数a的取值范围 答案：实数  的取值范围是 。 分析： 二次函数  的图象恒在  轴上方，即对任意实数 ， 恒成立。 需分  和  讨论。 详解： 1. 当  时 函数化为 ，恒成立 ✅ 2. 当  时 需满足： · 开口向上： · 判别式  计算判别式： 令 ： 解得 。 综合两种情况： 或 ，即 。 因此  的取值范围是 。 三、知识检测 1. 如果二次函数图象的顶点是（-3,1)，并且图象经过点（0,-8)，那么这个二次函数的解析式是( ) A. B. C. D. 答案： A 分析： 已知顶点 ，可设顶点式 ，代入点  求 。 详解： 设 ，代入 ： 所以： 2. 函数在区间[-2,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞ 答案：B 分析： 二次函数  开口向下，对称轴为： 开口向下的二次函数在对称轴右侧单调递减。 要使  在  上单调递减，需对称轴 。 详解： 因此  3. 函数的最小值是 ( ) A.-3 B. C. D.3 答案：B 分析： 二次函数  开口向上，最小值在顶点处取得，对称轴为 。 详解： 对称轴： 代入求最小值： 4. 函数的递减区间是( ) A. B.[-1,+∞] C. D.(-∞,+∞) 答案：C 分析： 二次函数  开口向上，对称轴为 ，在对称轴左侧单调递减。 详解： 对称轴： 开口向上，递减区间为 。 5. 如果二次函数 在区间(-∞,-1)上是减函数，在区间(-1,+∞)上是增函数，则m= ( ) A.2 B.-2 C.10 D.-10 答案：C 分析： 二次函数  开口向上，对称轴为 。 函数在  上递减，在  上递增，说明对称轴为 。 详解： 6. 已知二次函数的图象经过（1,0),(2,5）两点，则二次函数的解析式为 ( ) A. B. C. D. 答案：A 分析： 将两点代入 ，列方程组求 。 详解： 1. 点  代入： 2. 点  代入： (2) − (1)： 代入 (1) 得 。 所以： 7. 函数在区间（-1,3）上是 ( ) A.增函数 B.先增后减函数 C.减函数 D.先减后增函数 答案：B 分析： 二次函数  开口向下，对称轴为 。 在区间  上，对称轴  位于区间内，因此函数在  上递增，在  上递减。 详解： 对称轴： 因为开口向下，所以在对称轴左侧递增，右侧递减。 区间  包含对称轴 ，故函数在该区间上先增后减。 8. 已知函数与x轴没有交点，则m的取值范围是 ( ) A.(-∞,-4] B.[-4,4] C.(-4,4) D.[4,+ ∞) 答案：C 分析： 二次函数  开口向下，与  轴没有交点，即方程  无实数解，等价于判别式 。 详解： 令 ： 因此  9. 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是，若对任意的实数x都有f(3+x)=f(3-x)，则等于 ( ) A.0 B.3 C.6 D.8 答案：C 分析： 由  可知二次函数图象关于直线  对称。 二次函数与  轴的两个交点关于对称轴对称，因此两根之和 。 详解： 对称轴为 ，所以两根之和为 。 10. 函数在区间［-2,2］上的最大值是 ( ) A.-9 B.-7 C.7 D.9 答案：C 分析： 二次函数  开口向上，对称轴为 。 在区间  上，函数先减后增，最大值在区间端点处取得，比较端点的函数值。 详解： 对称轴 ，在区间内。 · · 最大值在  处取得，为 。 11. 在同一坐标系中，与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 答案：C 分析： ·  是二次函数： · 若 ，开口向上； · 若 ，开口向下。 ·  是一次函数： · 斜率 ，截距 。 · 当  时，斜率为正，直线从左下到右上；截距 ，与  轴交于负半轴。 · 当  时，斜率为负，直线从左上到右下；截距 ，与  轴交于正半轴。 详解： · 若 ：抛物线开口向上，直线斜率为正且截距为负 ⇒ 直线过一、三、四象限。 · 若 ：抛物线开口向下，直线斜率为负且截距为正 ⇒ 直线过一、二、四象限。 12. 若函数是偶函数，则的单调递增区间是 答案：单调递增区间是 。 分析： 偶函数满足 ，因此一次项系数必须为 0，即 ，得 。 代入得 ，是开口向下的二次函数，对称轴为 ，在对称轴左侧单调递增。 详解： 1. 由偶函数条件： 得  ⇒  对任意  成立 ⇒ 。 2. 函数变为： 开口向下，对称轴 ，在  上单调递增。 13. 二次函数的顶点坐标是 . 答案：顶点坐标是 。 分析： 二次函数  可通过配方化为顶点式，或直接用顶点坐标公式  求横坐标，再代入求纵坐标。 详解： 配方： 因此顶点为 。 14. 二次函数y=f(x)满足f(4+x)=f(1-x)，则f(2) f(3).（选填“＞”、“＝”或“＜”） 答案：。 分析： 由  可知二次函数关于直线  对称，即对称轴为 。 点  和  关于对称轴  对称（因为 ），所以函数值相等。 详解： 对称轴 ，且  与  关于该轴对称，所以： 15. 若函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a= . 答案：。 分析： 偶函数满足 ，将函数展开后比较一次项系数。 详解： 偶函数要求一次项系数为 0： 因此 。 16. 函数在区间[-1,3]上的值域为 答案：值域为 。 分析： 二次函数  开口向上，对称轴为 ，不在区间  内。 区间在对称轴右侧，因此函数在  上单调递增，最小值在  处，最大值在  处。 详解： 对称轴： 区间  在对称轴右侧，函数递增。 · · 值域为 。 17. 已知二次函数的图象的顶点为A(1,16)，且图象在x轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的解析式 答案：二次函数的解析式为 。 分析： 已知顶点 ，可设顶点式 。 图象在  轴上截得的线段长为 8，即两个零点之间的距离为 8。 由对称轴  可知，两个零点关于  对称，因此零点为  和 。 详解： 1. 零点为  和 ，故可设： 2. 代入顶点 ： 3. 解析式： 因此 。 18.已知函数(a>0) （1）求f(x)的单调递增区间； （2）若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围. 答案：(1) 单调递增区间为  (2)  分析： 二次函数 ，，开口向上，对称轴为 。 (1) 递增区间在对称轴右侧。 (2) 若在  上递增，需对称轴 。 详解： (1) 对称轴： 开口向上，递增区间为： (2) 若  在  上单调递增，则对称轴必须在区间左侧或重合： 结合 ，得 。 19. 不等式的解集为x∈(4,5),求关于x的不等式的解集. 答案：关于  的不等式  的解集为 。 分析： 由  的解集为 ，可知方程  的两根为 4 和 5，且二次项系数为正，开口向上，不等式小于 0 的解在两根之间。 由韦达定理可求  和 ，再解新不等式。 详解： 1. 由韦达定理： 2. 新不等式： 代入 ： 两边乘 （不等号反向）： 因式分解： 两根为  和 ，开口向上，小于 0 的解在两根之间： 20. 已知函数，且f(1)=4，求： （1)a的值； (2)f(3)的值. 答案： (1)  (2)  分析： (1) 将  代入 ，由  解出 。 (2) 将求得的  代入，再计算 。 详解： (1) (2) 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $