5.3.2 直线与平面垂直（课件）--人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

该中职数学课件聚焦“直线与平面垂直”，涵盖定义、判定定理、性质定理及应用。课堂导入先回顾空间线面位置关系，再通过旗杆、书脊等实例情境导入，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以风车塔筒、单杠等生活化实例和折叠纸片探究活动，培养直观想象与逻辑推理，通过定义抽象、反证法证明性质定理落实数学抽象。课堂小结系统梳理知识，当堂检测分层巩固，助力学生提升空间思维，方便教师高效教学。

5.3.2 直线与平面垂直 第五章 立体几何 目 录 学习目标 01 新课导入 02 探究新知 03 课堂小结 04 当堂检测 05 学习目标 知识目标 借助实例与图形直观认知会描述直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用 能力目标 理解并证明线面垂直判定定理，探究证明性质定理，掌握线线、线面垂直的相互转化，提升直观想象、逻辑理、数学抽象等核心素养； 情感目标 探究直线与平面垂直判定定理，体会线面垂直转化为线线垂直的思路，感受化繁为简的数学转化思想。结合生活实例感知知识应用，在合作探究中养成独立思考的习惯，树立积极的数学学习态度； 核心素养 通过借助实例、小组探究，提升数学运算、直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养． 新课导入 回顾旧知，做实铺垫 空间中，直线和平面的位置关系有哪几种？ 直线m在平面α内 直线m与平面α相交 直线m与平面α有无数个公共点 直线m与平面α 有且只有一个公共点 直线m与平面α 没有公共点 直线m与平面α平行 情境导入，探究新知 观察实例 旗杆所在直线与地面所在平面有什么特殊位置关系？ 书脊所在直线AB与桌面所在平面α有什么特殊位置关系？ 探究新知 调动思维，探究新知 观察阳光下直立于水平地面的风车塔筒和它在地面上的影子，如图所示，我们发 现， 随着时间的变化，尽管影子的位置在移动， 但是风车塔筒所在的直线始终与影子 所在的直线垂直. 思考： （1）风车塔筒所在直线AB与平面上不过B点的直线垂直吗？ （2）风车塔筒所在直线AB与平面上的任意直线垂直吗？ 垂直，因为我们可以过点B作该直线的平行线，这样直线AB与该直线也垂直. 垂直. 调动思维，探究新知 风车塔筒所在直线AB与平面上的任意直线垂直. 能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？ 调动思维，探究新知 直线与平面垂直的定义 如果一条直线l垂直于平面α内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面α相垂直，记作l ⟂ α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点O称为垂足. 调动思维，探究新知 点到平面距离的定义 垂线上任意一点到垂足间的线段，称为这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度称为这个点到这个平面的距离. 调动思维，探究新知 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1所在直线与底面AC垂直，哪条线段的长度是点A1到平面AC的距离？ 答：线段AA1的长度是点A1到平面AC的距离. 调动思维，探究新知 同时，我们也能发现这样的事实： 经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 调动思维，探究新知 探索研究 如图所示，准备两张完全相同的三角形纸片，过顶点A进行折叠，使一张纸的折痕AD与BC不垂直，另一张纸的折痕AD与BC垂直，然后将折叠后的两张纸略微展开，立在水平桌面α上（BD，DC均在桌面α内)，下图中哪一种折法能使折痕AD与桌面α垂直? 不垂直 垂直 调动思维，探究新知 探索研究 思考： （1）如何翻折才能使折痕与桌面α垂直？ 调动思维，探究新知 探索研究 思考： （2）为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直？ 调动思维，探究新知 探索研究 思考： （3）两条平行直线也可以确定一个平面，为什么两条平行直线都垂直于一条直线的时候，直线和平面就不垂直呢？ 调动思维，探究新知 直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 用符号表示为：若m⊂α，n⊂α，m∩n=A，l ⟂m，l ⟂n，则l ⟂α．如图所示． 直线与平面垂直的问题 转化 直线与直线垂直的问题 调动思维，探究新知 想一想 斜棱柱 直棱柱 不一定. 一定是，因为侧棱垂直于底面的相交直线. 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱吗？ 有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱吗？为什么？ 调动思维，探究新知 观察图中的单杠，两根立柱都垂直于地面． 思考：两根立柱所在的直线是相互平行的吗？ 相互平行 调动思维，探究新知 观察图中的单杠，两根立柱都垂直于地面． 问题：如何证明上述情境中的两直线是平行的呢？ 调动思维，探究新知 已知m⟂α，n⟂α．求证：m//n． 分析　通过反证法，结合推论在两条平行线中，如果有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，即可证明. 调动思维，探究新知 已知m⟂α，n⟂α．求证：m//n． 证明： 如图所示，假设直线n不平行 于直线m，过直线n与平面α的交点O 作直线n1//m . 因为m//n1，m⟂α，所以n1⟂α . 故经过同一点O的两条直线n，n1 都垂直于平面α ，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾.因此，m//n . 调动思维，探究新知 直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 分析　只要证明直线与平面内两条相交直线都垂直即可. 例1 如图所示，已知l∥m，l ⟂α．求证：m ⟂α． 巩固练习，提升素养 例1 如图所示，已知l∥m，l ⟂α．求证：m ⟂α． 证明　在平面内作两条直线a，b，使 a∩b=A．因为l ⟂α，所以根据直线和平面垂直的定义可知l ⟂a， l ⟂b．因为 l//m，所以m ⟂ɑ ，m ⟂b．因为 ɑ ⊂α，且b⊂ α， 且a∩b=A，所以m ⟂α . 巩固练习，提升素养 例1 如图所示，已知l∥m，l ⟂α．求证：m ⟂α． 推论：在两条平行线中，如果有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 巩固练习，提升素养 例2 已知l//α，A∈l，B∈l，AA1⟂α，BB1⟂α，垂足分别为 A1， B1，如图所示．求证：AA1=BB1． 分析　通过直线与平面垂直的性质定理，构造平行四边形进行证明． 巩固练习，提升素养 例2 已知l//α，A∈l，B∈l，AA1⟂α，BB1⟂α，垂足分别为 A1， B1，如图所示．求证：AA1=BB1． 证明　因为AA1⟂α，BB1⟂α，所以AA1//BB1． 设经过直线AA1和BB1的平面为β ， 则β∩α=A1B1． 因为l//α，所以l//A1B1，即AB//A1B1，又由于AA1//BB1 ， 故四边形 A1B1BA是平行四边形．因此，AA1=BB1． 巩固练习，提升素养 事实：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上任意一点到这个平面的距离都是相等的，这个距离称为这条直线到这个平面的距离. 巩固练习，提升素养 巩固练习，提升素养 例3　如图所示，在四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ .求证：AO⊥平面BCD. 【解析】　要证明AO⊥平面BCD，需要证明AO⊥OC，AO⊥BD，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质． 巩固练习，提升素养 例3　如图所示，在四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ .求证：AO⊥平面BCD. 证明 连接OC. ∵AB＝AD，O为BD的中点， ∴AO⊥BD. ∵AD＝ ，OD＝1，∴AO＝1. ∵CB＝CD＝BD＝2，∴OC＝ ， 又∵CA＝2，∴CA2＝OA2＋OC2， ∴AO⊥OC， 巩固练习，提升素养 ∵BD∩OC＝O，BD，OC均在平面BCD内， ∴AO⊥平面BCD. 课堂小结 课堂小结 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 1．直线与平面垂直 2．点到平面的距离 3．直线与平面垂直的判定定理 垂线上任意一点到垂足间的线段，称为这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度称为这个点到这个平面的距离. 如果一条直线l垂直于平面α内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面α互相垂直. 课堂小结 如果一条直线和一个平面平行, 那么这条直线上任意一点到这个平面的距离都是相等的, 这个距离称为这条直线到这个平面的距离. 4．直线与平面垂直的性质定理 5．直线到平面的距离 　　如果两条直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 当堂检测 随堂检测，查漏补缺 1．直线a与平面垂直的充要条件是直线a垂直于平面内的(　　) A．两条平行直线 B．两条垂直直线 C．两条相交直线 D．无数条直线 C 2．如图所示，PO⊥平面ABC，O为垂足，CD⊥AB，则下列关系中不成立的是(　　) A．AB⊥PD B．AB⊥PC C．OD⊥PC D．AB⊥PO C ∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AB.∵AB⊥CD，PO∩CD＝O，∴AB⊥平面PDC，则AB⊥PD，AB⊥PC，AB⊥PO.故选C. 随堂检测，查漏补缺 4.已知正三角形ABC的边长为2 cm，PA⊥平面ABC，A为垂足，且PA＝2 cm，那么点P到BC的距离为________． 3．如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任意一点，则下列关系中不正确的是(　　) A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC C ∵PA⊥圆所在平面，∴PA⊥BC，∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC，∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，故选项C不正确． 5.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求证：DE⊥平面PBC. 【思路点拨】　要证DE⊥平面PBC，关键在于证明DE垂直平面PBC内的两条相交直线． 随堂检测，查漏补缺 5.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求证：DE⊥平面PBC. 证明：∵PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥BC. 又∵CD⊥BC，PD∩CD＝D， ∴BC⊥平面PCD， ∵DE⊂平面PCD， ∴DE⊥BC. ∵PD＝DC，E为PC中点， 随堂检测，查漏补缺 随堂检测，查漏补缺 ∴DE⊥PC， 又∵PC∩BC＝C， ∴DE⊥平面PBC. 谢谢 THANKS $