第六章 多面体和旋转体（B卷·能力提升卷）-《数学》人教版（幼儿师范）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣人教版中职数学第六章“多面体和旋转体”，以能力提升为导向，融合空间观念、运算能力与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15/30|棱柱性质、圆锥母线、球的体积表面积|蚂蚁爬行最短路线（几何直观）、沙漏三视图（文化传承）| |填空|6/18|斜二测画法、圆柱轴截面、正四棱锥表面积|圆柱侧面展开图（空间观念）、组合体体积（运算能力）| |解答|6/52|“甜筒”组合体表面积体积、长方体放小球|沙堆铺地（模型意识）、直四棱柱油槽（应用意识）|

编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 多面体和旋转体 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．以下各语句不正确的是（   ）． A．棱柱的侧棱一定相等 B．球的大圆的半径等于球的半径 C．圆锥的母线长等于圆锥的高 D．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 【答案】C 【分析】根据棱柱，球，圆锥等简单几何体的几何特征逐项分析即可. 【详解】根据棱柱的定义可知，棱柱的侧棱平行且相等，故A正确， 球的大圆是过球心的圆，它的半径等于球的半径，故B正确， 圆锥的母线长与圆锥的高和圆锥底面半径长构成直角三角形，母线长为斜边， 所以母线与高不相等，故C错误， 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：C. 2．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点，则爬行的最短路线长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件将三棱柱的侧面展开，根据两点间距离最短求最小值. 【详解】正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形， 矩形的长为3，宽为1，则其对角线的长为最短路程， 因此蚂蚁爬行的最短路程为：．    故选：B. 3．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是（    ）    A．南 B．北 C．西 D．下 【答案】A 【分析】根据正方体展开图中相对面的特征结合“上北下南，左西右东”即可得出结论. 【详解】由题意，正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形， 再由展开图是里面朝上展平得到的，根据“上北下南，左西右东”， 因此标“△”的面的方位是南， 故选：A.    4．已知圆柱的轴截面面积为36，母线长和底面直径之和为20，则圆柱的表面积为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意，列方程组可求出母线长和底面直径，再根据圆柱表面积公式可求解． 【详解】设圆柱的母线长为，底面直径为，由题意可得 ，解得或. ①当时，圆柱的表面积为； ②当时，圆柱的表面积为. 综上所述，圆柱的表面积为或. 故选：C 5．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆锥母线与半径，然后求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式可求. 【详解】圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆， 则母线长为，设圆锥半径为，则有，则， 则圆锥的高为，底面积为， 则该圆锥的体积为， 故选：A. 6．若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的侧面积和体积公式可求解. 【详解】设圆锥母线长为，由题可得， ，解得，    如图，在中，圆锥的高， 所以圆锥体积. 故选：C. 7．一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】根据侧视图的宽为 ，求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积． 【详解】侧视图的宽为，即为俯视图的高， ∴底面正三角形的边长为， 设三棱柱的高， 体积为 侧视图的面积为：， 故选：C. 8．长方体的高为2，底面面积为12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则该长方体的侧面积为（   ） A．12 B．24 C．28 D．32 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出长方体底面的长和宽，再计算侧面积. 【详解】设长方体的底面矩形的长和宽分别为， 因为长方体的底面面积为12，所以， 因为长方体的高为，过不相邻两侧棱的截面为矩形，且面积为10， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以长方体的侧面积为. 故选：C. 9．已知正四棱锥的侧棱长为5，斜高为3，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用勾股定理与三线合一求得，进而得解. 【详解】如图，在正四棱锥中，侧棱，斜高， 所以， 又，则为的中点， 所以， 所以该四棱锥的侧面积为. 故选：D. 10．某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的表面积是（     ） A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】由三视图还原几何体，再根据正四棱锥的结构特点计算表面积即可. 【详解】由三视图还原几何体的直观图如图所示： 易知底面正方形的对角线为，底面积为 则该正四棱锥的侧棱长为， 则侧面为以为底，腰为的等腰三角形， 且等腰三角形高为， 则正四棱锥侧面积为：， 则四棱锥表面积是. 故选：B. 11．某工地有个圆锥形沙堆，底面直径 4 米，高 1.5 米，把这些沙子均匀铺在长 8 米、宽 5 米的场地中，能铺（    ）厘米厚. A．5.7 B．10.5 C．15.7 D．20 【答案】C 【分析】根据圆锥与长方体的体积公式求解即可. 【详解】依题意，沙堆底面半径米，高 1.5 米， ∴圆锥的体积立方米， ∵场地面积为平方米， ∴厚度米 厘米. 故选：C. 12．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式和球的体积公式，即可解得.. 【详解】依题意，设圆柱底面直径为，即半径为， 则圆柱高，球的直径为，球的半径为， 则球的体积为，， 所以，即. 故选：B. 13．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的（    ） A．3倍 B．倍 C．9倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据球的体积与表面积公式分析求解即可. 【详解】设球的半径为，表面积为，体积为， 体积扩大到原来的27倍后，其半径为，表面积为，体积为， 则，，所以， 又，. 故选：C. 14．一个圆柱形水杯，底面半径为，杯中装有一定量的水，水面高度为.将一个半径为的半球形冰块放入杯中，当冰块完全融化后（忽略体积变化），水面上升的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的体积公式与圆柱的体积公式求解即可. 【详解】因为圆柱形底面半径为，水面高度为，半球的半径为， 所以半球体积， 因为冰块完全融化后，体积不变， 所以水面上升高度. 故选：B. 15．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三视图还原几何体为双锥体，利用圆锥的体积公式求体积即可. 由三视图知：几何体是底面直径为2的双锥体，且两个锥体的高为2，如下图： 所以几何体体积为. 故选：A 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若，则该几何体的体积等于________． 【答案】 【分析】根据三视图中的数据，直接计算圆柱的体积和球的体积，再相加即可得答案. 【详解】因为，所以球的半径为，圆柱底面圆的半径也为，高为， 所以. 故答案为：. 17．如图所示，边长为2的正方形，若用斜二测画法画出此正方形的直观图，则直观图的面积是___________. 【答案】 【分析】利用斜二测画法作出正方形的直观图，再利用斜二测画法的相关作法依次求得所需线段，从而利用平行四边形的面积公式即可得解. 【详解】正方形的直观图如图所示， 则， 所以到轴的距离， 所以直观图的面积. 18．已知圆柱轴截面面积是，以圆柱母线作轴截面矩形的长，矩形长与宽之比为，则圆柱底面半径为_____. 【答案】3 【分析】根据圆柱的轴截面是长方形，一边为圆柱的母线长（即高），另一边为底面圆的直径，设长为，宽为，由长方形面积公式列方程求解即可. 【详解】已知圆柱轴截面长与宽之比为， 设长为，宽为， 其中为常数， 则面积， 解得或（舍去）， 将代入可得，故. 故答案为：3. 19．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________． 【答案】或 【分析】分母线为与，得两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径，进而求出体积． 【详解】因为圆柱的侧面展开图是边长为与的矩形，设圆柱的半径为， ①当母线为时，则，解得， 此时圆柱体积； ②当母线为时，则，解得， 此时圆柱的体积. 综上所求圆柱的体积为或. 故答案为：或 20．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为5，则该正四棱锥的表面积是________________. 【答案】 【分析】由正四棱锥的结构，分别求出底面积和侧面积即可. 【详解】如图，正四棱锥，过点作， 由题意可得，， ，所以为中点，， 在中，斜高， 所以该正四棱锥的表面积是. 故答案为：. 21．一个圆锥的轴截面为边长为4的正三角形，则其表面积为__________. 【答案】 【分析】根据圆锥的结构特征及表面积公式，分析求解即可. 【详解】因为圆锥的轴截面为边长为4的正三角形， 所以圆锥的底面圆的直径为、圆锥的母线，则圆锥半径， 所以圆锥的表面积， 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为（单位：）的正三角形. (1)求该几何体的体积（单位：）； (2)求该几何体的表面积（单位：）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出球体的半径，圆锥的底面半径、母线长以及高，利用球体与锥体的体积公式可求得该几何体的体积； （2）利用球体的表面积以及圆锥的侧面公式可求得该几何体的表面积. 【详解】（1）解：球半径为，圆锥底面半径，母线长，故圆锥高， 所以，该几何体的体积为. （2）解：该几何体的表面积为. 23．（如图所示）在正三棱锥中，底面边长等于6，侧面与底面所成的二面角为．求：    (1)正三棱锥的体积； (2)侧棱的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二面角的概念和正三棱锥体积公式易得答案； （2）根据勾股定理易得答案. 【详解】（1）取的中点为，连接，过点作的垂线交于， 因为正三棱锥中， 所以是等边三角形，是等腰三角形， 所以， 所以是侧面与底面所成的二面角的平面角， 因为侧面与底面所成的二面角为， 所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，同理可得平面， 因为底面边长等于6，因为是等边三角形， 所以， 所以，因为是重心， 所以，所以， 所以正三棱锥的体积； （2）因为，因为， 所以. 24．圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，求圆锥的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【分析】根据轴截面是边长为的等边三角形可知圆锥底面圆的半径为，母线长度为，再根据勾股定理可以求出高．利用圆锥表面积=底面圆面积+侧面积，体积=底面积高求解即可． 【详解】如图，    ∵， ∴， ∴圆锥的体积为， 表面积为． 25．一个长方体纸箱，内部尺寸为长 30cm、宽 20cm、高 15cm. (1)若在纸箱内放置半径为 2.5cm 的小球，且小球要紧密排列，求最多能放多少个小球？ (2)在纸箱内放置一个最大的圆柱，求该圆柱的体积（结果保留 π）. 【答案】(1)72个 (2) 【分析】（）根据题意分别讨论长方体纸箱的长、宽、高分别能放多少小球即可得解. （）分类讨论以为底面，以为底面，以为底面，结合圆柱的体积公式即可得解. 【详解】（1）长能放， 宽能放个， 高能放个， 所以最多能放个. （2）分三种情况讨论： 以为底面时，圆柱底面半径，高， 体积 . 以为底面时，圆柱底面半径，高， 体积 . 以为底面时，圆柱底面半径，高， 体积 . 因此可得最大体积为 . 26．如图所示是一个直四棱柱的油槽，可以装煤油，它的底面是等腰梯形，上底长，下底长，高，求油槽的深度和油槽的侧面积.（提示：梯形的面积＝）    【答案】， 【分析】先利用柱体的体积公式求得油槽的高，即其深度，再利用侧面积的计算方法即可得解. 【详解】依题意，， 所以. 等腰梯形的腰为， 所以. 27．如图所示，已知圆柱的侧面展开图是矩形，，，求圆柱的侧面积和体积．    【答案】侧面积为 ，体积为 【分析】根据题意求出，，结合圆柱侧面展开图的性质求出圆柱底面半径，代入侧面积公式及体积公式即可得解. 【详解】，，，， 设圆柱的底面半径， 又，， ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 多面体和旋转体 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．以下各语句不正确的是（   ）． A．棱柱的侧棱一定相等 B．球的大圆的半径等于球的半径 C．圆锥的母线长等于圆锥的高 D．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 2．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点，则爬行的最短路线长为（    ）    A． B． C． D． 3．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是（    ）    A．南 B．北 C．西 D．下 4．已知圆柱的轴截面面积为36，母线长和底面直径之和为20，则圆柱的表面积为（    ） A． B． C．或 D．或 5．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（   ）. A． B． C． D． 6．若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ） A． B．8 C． D．12 8．长方体的高为2，底面面积为12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则该长方体的侧面积为（   ） A．12 B．24 C．28 D．32 9．已知正四棱锥的侧棱长为5，斜高为3，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 10．某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的表面积是（     ） A．32 B． C．48 D． 11．某工地有个圆锥形沙堆，底面直径 4 米，高 1.5 米，把这些沙子均匀铺在长 8 米、宽 5 米的场地中，能铺（    ）厘米厚. A．5.7 B．10.5 C．15.7 D．20 12．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比为（    ） A． B． C． D． 13．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的（    ） A．3倍 B．倍 C．9倍 D．倍 14．一个圆柱形水杯，底面半径为，杯中装有一定量的水，水面高度为.将一个半径为的半球形冰块放入杯中，当冰块完全融化后（忽略体积变化），水面上升的高度为（    ） A． B． C． D． 15．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若，则该几何体的体积等于________． 17．如图所示，边长为2的正方形，若用斜二测画法画出此正方形的直观图，则直观图的面积是___________. 18．已知圆柱轴截面面积是，以圆柱母线作轴截面矩形的长，矩形长与宽之比为，则圆柱底面半径为_____. 19．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________． 20．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为5，则该正四棱锥的表面积是________________. 21．一个圆锥的轴截面为边长为4的正三角形，则其表面积为__________. 三、解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为（单位：）的正三角形. (1)求该几何体的体积（单位：）； (2)求该几何体的表面积（单位：）. 23．（如图所示）在正三棱锥中，底面边长等于6，侧面与底面所成的二面角为．求：    (1)正三棱锥的体积； (2)侧棱的长． 24．圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，求圆锥的表面积和体积． 25．一个长方体纸箱，内部尺寸为长 30cm、宽 20cm、高 15cm. (1)若在纸箱内放置半径为 2.5cm 的小球，且小球要紧密排列，求最多能放多少个小球？ (2)在纸箱内放置一个最大的圆柱，求该圆柱的体积（结果保留 π）. 26．如图所示是一个直四棱柱的油槽，可以装煤油，它的底面是等腰梯形，上底长，下底长，高，求油槽的深度和油槽的侧面积.（提示：梯形的面积＝）    27．如图所示，已知圆柱的侧面展开图是矩形，，，求圆柱的侧面积和体积．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $