第五章 空间图形（B卷·能力提升卷）-《数学》人教版（幼儿师范）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 本卷为中职数学人教版第五章空间图形B卷（能力提升），聚焦空间图形核心知识整合与能力检测，适配单元复习，通过几何直观与逻辑推理发展空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15题/30分|异面直线所成角、线面关系判定|基础考点与空间想象结合，如第1题三棱锥中点线角| |填空题|6题/18分|充要条件、二面角计算|概念辨析与空间度量，如第18题正方体二面角| |解答题|6题/52分|线面垂直证明、点面距离计算|综合考查推理与应用，如23题圆直径与平面垂直证明|

编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 空间图形 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在三棱锥中，，，分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 2．两条相交直线所成的角的范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知a，b为直线，，，为平面，有下列四个命题：①，，则；②，，则；③，，则；④，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列命题：①同一平面内不相交的两直线互相平行；②平行于同一直线的两条直线必平行；③垂直于同一直线的两直线必平行；④垂直于同一直线的两平面必平行．其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，空间四边形的对角线相等，顺次连接各边中点，则四边形一定是：（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．空间四边形 7．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 8．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 9．如图，是边长为4的等边三角形，平面，，则与侧面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知矩形中，是的中点，又是平面外一点，且平面，则二面角的平面角为（    ）    A． B． C． D．以上均不是 11．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 12．在正六棱锥中，若底面边长与棱锥的高相等，则棱锥的侧棱与底面所成的角的大小是（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 13．若平面α外一点A到平面α的距离为，斜线段AB交于点B，AB在α内射影，则直线AB与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 14．如图，矩形，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 15．若平面，则（    ） A．中任意一条直线都垂直于 B．中有且仅有一条直线垂直于 C．平行于的直线都垂直于 D．内至少有一条直线垂直于 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．已知平面，直线满足，，则“”是“”的______条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要条件”，“既不充分也不必要”） 17．若a，b，c表示不同的直线，表示不同的平面，则下列四个命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中是真命题的序号为________. 18．在正方体中，二面角的度数是_____. 19．如图，正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角的大小为________．    20．已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 21．如图所示，在中，已知，平面，且，则点到BC的距离为___________. 三、解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．如图所示，已知棱锥的底面是矩形，平面，，．求证：平面.    23．如图所示，已知是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的点，直线平面．证明：平面平面.    24．如图所示，正四棱锥的底面边长为4，高为4．求：该四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值. 25．如图所示，已知正方体的边长为．求： (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离． 26．如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 27．如图所示，已知四棱锥的底面是菱形，底面，且．求：    (1)二面角的正切值； (2)点到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 空间图形 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在三棱锥中，，，分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将异面直线转化为相交直线求解即可. 【详解】因为，，分别是的中点， 所以，， 所以异面直线与所成角即或其补角， 因为， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的大小为， 故选：B. 2．两条相交直线所成的角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中直线所成角即可得到答案. 【详解】两条相交直线所成的角的范围是. 故选：A . 3．已知a，b为直线，，，为平面，有下列四个命题：①，，则；②，，则；③，，则；④，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据直线与平面的位置关系判断即可解得. 【详解】①：若，则两直线可能平行也可能相交或异面，错误. ②：若，则可能平行也可能相交，错误. ③：若，则可能平行也可能相交，错误. ④：若，则或，错误. 故以上命题正确数为， 故选：A 4．下列命题：①同一平面内不相交的两直线互相平行；②平行于同一直线的两条直线必平行；③垂直于同一直线的两直线必平行；④垂直于同一直线的两平面必平行．其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由空间中直线的位置关系、平行线的传递性、直线与平面垂直的性质定理、平面与平面平行的判定定理即可求解. 【详解】①同一平面内不相交的两直线互相平行，故①是真命题； ②由平行线的传递性，平行于同一直线的两条直线必平行，故②是真命题； ③垂直于同一直线的两直线还可能相交或异面，故③是假命题； ④垂直于同一直线的两平面必平行，故④是真命题. 所以假命题的个数是1个. 故选：A 5．空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过画图象来确定正确答案. 【详解】如图所示，三个平面最多将空间分成个区域. 故选：D 6．如图，空间四边形的对角线相等，顺次连接各边中点，则四边形一定是：（    ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．空间四边形 【答案】C 【分析】由中位线证出两边平行且相等，即可证出平行四边形，再由对角线得到两边相等，即可证出菱形. 【详解】连接，因为点是的中点，所以有，， 因为点是的中点，所以有，， 所以且，即四边形是平行四边形， 又因为点是的中点，所以有， 且，所以有，即四边形是菱形. 故选：C. 7．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由平面与平面的位置关系作图即可判断. 【详解】因为两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行， 所以作图如下， 此时两个平面平行， 此时两个平面相交， 所以两个平面的位置关系是平行或相交. 故选:C. 8．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面之间的关系可判断C选项正确，A、B、D选项可通过反例进行判断. 【详解】对于A选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于B选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于D选项，如图，若，，则l不一定垂直于平面，该选项错误； 对于C选项，若，，根据两平行平面的性质定理证明可得，该选项正确. 故选：C. 9．如图，是边长为4的等边三角形，平面，，则与侧面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点，结合已知条件可得平面，所以是与侧面所成角，利用题中边长求解即可. 【详解】设的中点，连接，． 因为是边长为4的等边三角形，所以. 又因为平面，平面，所以，， 因为平面，，所以平面， 所以是在平面内的射影， 所以是与侧面所成角． 在中，， 在中，， ∴在中，，∴， 则与侧面所成角的大小为. 故选：B. 10．如图，已知矩形中，是的中点，又是平面外一点，且平面，则二面角的平面角为（    ）    A． B． C． D．以上均不是 【答案】B 【分析】根据题中所给条件，找出二面角的平面角. 【详解】∵平面，平面， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∵，平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴， ∴为二面角的平面角. 故选：B. 11．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，设，连接，易得是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】 连接，设，连接，则， 因为在正方体中，, 所以, 又平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角． 在中，，， 所以． 故选：A. 12．在正六棱锥中，若底面边长与棱锥的高相等，则棱锥的侧棱与底面所成的角的大小是（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】作出正六棱锥，根据线面角的定义找出侧棱与底面所成的角，结合正六边形的性质即可得解. 【详解】 如图所示，作出正六棱锥，作平面，交平面于点，连接， 则为正六边形的中心，为侧棱与底面所成的角， 设底面边长为，根据正六边形的性质可知，由题意可知， 因为平面，平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 故选：. 13．若平面α外一点A到平面α的距离为，斜线段AB交于点B，AB在α内射影，则直线AB与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，于，即为斜线段AB与平面所成的角，在中可求解. 【详解】    如图，由题知，于， 所以斜线段AB在平面内的射影为， 即为斜线段AB与平面所成的角. 在中，，， 所以， 所以. 故选：D 14．如图，矩形，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平面位置关系即可判断直线与直线位置关系. 【详解】对于A，矩形，∴，又，平面，平面， ∴平面，∴，故A正确. 对于B，矩形，∴，又，平面，平面， ∴平面，∴，故B正确. 对于C，若，由矩形，∴，则， 平面，平面，∴平面． ∵，，，平面，平面， ∴平面，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故C项错误． 对于D，∵矩形，平面，∴．故D正确. 故选：C. 15．若平面，则（    ） A．中任意一条直线都垂直于 B．中有且仅有一条直线垂直于 C．平行于的直线都垂直于 D．内至少有一条直线垂直于 【答案】D 【分析】根据空间中点、线、面之间的位置关系即可判断. 【详解】解：对A：内存在直线与平行或相交或在内，A项错误； 对B：内存在无数条直线垂直于，B项错误； 对C：平行于的直线可以平行于，还可以相交，C项错误； 对D：∵，∴内至少有一条直线垂直于，D项正确． 故选：D. 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．已知平面，直线满足，，则“”是“”的______条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要条件”，“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要条件 【分析】根据线线，线面关系，结合充分，必要条件，即可求解. 【详解】因为，且，，所以，反过来，时，包含或是或,所以不一定垂直， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 17．若a，b，c表示不同的直线，表示不同的平面，则下列四个命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中是真命题的序号为________. 【答案】② 【分析】根据线线的位置关系可判断①错误；根据根据线面垂直的性质可知②正确；根据线面的位置关系可判断③错误；由面面的位置关系可知④错误. 【详解】对①，若，则与可以相交、平行或异面，故错误； 对②，若，根据线面垂直的性质可得，故正确； 对③，若，则或，故错误； 对④，若，则与可能平行或相交，故错误. 故答案为：② 18．在正方体中，二面角的度数是_____. 【答案】 【分析】根据题意，结合线面垂直的性质定理，及二面角的定义，即可判断是二面角的平面角，结合正方体的结构特征，即可求解. 【详解】    在正方体中， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面， 所以， 又平面，平面，平面平面， 所以是二面角的平面角， 又，所以二面角的度数是. 故答案为：. 19．如图，正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角的大小为________．    【答案】 【分析】根据题意，结合正四棱锥的几何特征，及线面角的概念，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】    由题意，在正四棱锥中，连接，交于点O，连接，则底面， 所以是侧棱与底面所成角， 因为, 所以, 所以，所以， 即侧棱与底面所成角的大小为. 故答案为：. 20．已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 【答案】 【分析】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】 作于点,连接如图所示. 线段即为点到平面的距离,是在平面的射影. 所以为直线与平面所成的角. 所以. 又因为. 所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 21．如图所示，在中，已知，平面，且，则点到BC的距离为___________. 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直定理求解. 【详解】 作于；连接． 平面 平面． 又 平面 平面 ， 平面平面，则为点到的距离． 在中， ． 由得． 在 Rt中， ． 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．如图所示，已知棱锥的底面是矩形，平面，，．求证：平面.    【答案】见解析 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为平面，且平面，所以 . 因为底面是矩形，，，所以. 所以底面是正方形，进而. 又因为平面，所以平面. 23．如图所示，已知是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的点，直线平面．证明：平面平面.    【答案】证明见解析 【分析】由题可得直径所对的圆周角为直角，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】是圆的直径， ， 又平面，平面， ， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． 24．如图所示，正四棱锥的底面边长为4，高为4．求：该四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值. 【答案】 【分析】根据题意连接辅助线结合线面角的定义找到侧棱与底面所成角，利用余弦的定义即可得解. 【详解】 如图所示，连接，交于点，连接，则为正四棱锥的高，则为侧棱与底面所成的角. 因为底面为边长为的正方形，所以，所以， 因为，所以， 则， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为. 25．如图所示，已知正方体的边长为．求： (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离． 【答案】(1)45° (2) 【分析】（1）先在图中找出二面角的平面角，再在中求解的大小. （2）利用等体积法即可求出点D到平面的距离． 【详解】（1）因为，，所以是二面角的平面角． 因为是等腰直角三角形，所以， 故二面角的大小是45°. （2）设点D到平面的距离为． 因为是边长为的等边三角形， 所以． 由得， 解得． 故点D到平面的距离为． 26．如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据柱体体积公式即可求解， （2）证明三角形为直角三角形，求其面积，再由等体积法求点到平面的距离． 【详解】（1）由已知可得，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱体积为：； （2）设点到平面的距离为， 在等腰中，由，则， 为直径，， 在中，， 则， 由底面，底面,所以， 又，平面，所以平面， 平面， 故， ， ， 由等体积法，得， 解得：． 即点到平面的距离为． 27．如图所示，已知四棱锥的底面是菱形，底面，且．求：    (1)二面角的正切值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与平面的判定定理和性质定理确定二面角的平面角，再利用锐角三角函数求解即可； （2）利用等体积法即可得解. 【详解】（1）如图所示，连接，取的中点，连接，．   底面是菱形，且， 与是边长为的等边三角形． 是正三角形，． 又底面底面， 又平面， 平面． 又平面． 为二面角的平面角． ∵底面是菱形，， ∴. 在中，， 二面角的正切值为． （2）， 设点到侧面的距离为，由等积法得， ，即点到平面的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $