第21章 二次函数 素养练习卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二次函数与反比例函数综合考查，通过基础巩固、能力提升、创新应用三梯度设计，适配初中数学第21章单元复习，强化模型意识与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次函数定义（1题）、性质（3题）、反比例函数图象（4题）|基础概念辨析，结合图象考查几何直观| |填空题|4/20|二次函数对称轴（11题）、实际问题函数建模（12题）|简洁考查核心知识，第12题体现数据意识| |解答题|6/90|二次函数解析式（15题）、利润最值（20题）、抛物线工程应用（23题）|梯度设计，第23题结合公交站扩建情境，强化应用意识与创新思维|

第21章 二次函数 素养练习 一、选择题(本大题共10小题，每小题4，共40) 1．下列函数关系式中，是二次函数的是(　　) A．y＝x3－2x2－1 B．y＝x2 C．y＝－3 D．y＝x＋1 2．若反比例函数y＝(x>0)的图象位于第一象限，则k的取值范围是(　　) A．k≥ B．k≤ C．k> D．k< 3．下列对二次函数y＝－2(x－2)2＋1的叙述错误的是(　　) A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线x＝2 C．此函数有最小值1 D．当x>2时，y随x的增大而减小 4．已知双曲线y＝(k<0)过点(3，y1)，(1，y2)，(－2，y3)，则下列结论正确的是(　　) A．y3>y1>y2 B．y3>y2>y1 C．y2>y1>y3 D．y2>y3>y1 5．抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2平移得到，平移的方法可以是(　　) A．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C．向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(　　) A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝－3，x2＝－1 C．x1＝x2＝－3 D．x1＝－3，x2＝1 7．如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象交于点A(2，3)，B(m，－2)，则不等式ax＋b＞的解集是(　　) A．－3＜x＜0或x＞2 B．x＜－3或0＜x＜2 C．－2＜x＜0或x＞2 D．－3＜x＜0或x＞3 8．二次函数y＝ax2＋c与反比例函数y＝(a≠0且c≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　) 9．如图，抛物线y＝ax2－(a＋c)x＋c(a≠0)交x轴于A，B两点(点A在x轴的负半轴上)，交y轴的负半轴于点C.下列选项中，不正确的是(　　) A．无论a，c取何值，抛物线恒过一个定点 B．当a＋c>0时，对称轴在y轴的右侧 C．当AO＝2CO时，a＝ D．当AO＝2BO时，c＝－3a 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，AC与BD交于点O，M是BC的中点．P，Q两点沿着B→C→D的方向分别从点B，点M同时出发，并都以1 cm/s的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积S(cm2)随时间t(s)变化的图象最接近的是(　　) (第10题)　　(第13题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5，共20) 11．抛物线y＝－x2＋3的对称轴是________． 12．某市去年第一季度的专项教育投入为5亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为x，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍，则第三季度专项教育投入y(亿元)关于x的函数关系式为________________．(不要求写自变量x的取值范围) 13．如图，反比例函数y＝在第一象限内的图象与矩形OABC的两边相交于D，E两点，CE＝2AD＝2.若矩形OABC的面积为18，则k＝________． 14．已知关于x的二次函数y＝x2－ax＋(0≤x≤1)． (1)当a＝4时，函数的最大值为________； (2)若函数的最大值为t，则t的最小值为____． 三、(本大题共2小题，每小题8，共16) 15.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5)． (1)求该二次函数的表达式； (2)写出抛物线的顶点坐标． 16．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积S(mm2)的反比例函数，其图象经过A(2，64)，B(m，100)两点． (1)求y与S之间的函数表达式； (2)求m的值，并解释点B的实际意义． 四、(本大题共2小题，每小题8，共16) 17.已知二次函数y＝－x2－(m－1)x＋m＋1. (1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线x＝2，求该函数的图象与y轴的交点坐标． 18．如图，已知直线y1＝x＋m与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2＝(k≠0，x<0)的图象交于C，D两点，且点C的坐标为(－1，2)． (1)分别求出直线AB对应的函数表达式及反比例函数的表达式； (2)求出点D的坐标； (3)利用图象直接写出：当y1>y2时，自变量x的取值范围． 五、(本大题共2小题，每小题10，共20) 19.如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B(6，0)，S△ABC＝. (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PB，PC，当△PBC的面积最大时，直接写出点P的坐标． 20．某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表： 汽车型号 每辆进价(万元) 每辆售价(万元) 每季度销量(辆) A 60 x －x＋100 B 50 x－25 －2x＋200 根据以上信息解答下列问题： (1)今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相等(利润不为0)，求x的值； (2)该4S店第四季度销售这两种轿车的总利润为y万元，求y的最大值． 六、(本题共12) 21．在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝x2－2mx＋m2－1上任意两点． (1)若x2＝x1＋n(n>0)，M，N中至少有一个点位于x轴的上方，直接写出n的范围； (2)若对于－1＜x1＜2，x2＝m＋2时，都有y1<y2，求m的取值范围． 七、(本题共12) 22.综合与实践： 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】(1)双曲线BC对应的函数表达式为________________； 【问题解决】(2)参照上述数学模型，假设某人晚上8：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由． 八、(本题共14) 23.【项目主题】设计公交车停靠站的扩建方案． 【项目内容】 (1)图①为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图②为某段结构示意图，C1，C2皆为轴对称图形，且关于点M成中心对称，该段结构水平宽度为8 m. (2)图③为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5 m的立柱M1N1，M2N2竖直立于地面并支撑在对称中心M1，M2处．小温将长为2.8 m的竹竿AB竖直立于地面，当点A触碰到顶棚时，测得N2B为1 m. (3)将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27 m．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【实践解决】 (1)确定中心：求图②中点M到该结构最低点的水平距离l； (2)确定形状：在图③中建立合适的直角坐标系，求C1对应的函数表达式； (3)确定高度：直接写出挡风板的高度． 答案 一、1.B　2.C　3.C　4.A　5.A　6.D　7.A　8.C 9．D　10.B 二、11.y轴　12.y＝10x2＋15x＋5　13.6 14．(1)2　(2) 三、15.解：(1)把A(1，－2)和B(0，－5)的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，得解得 所以该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. (2)y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， 所以抛物线的顶点坐标为(－1，－6)． 16．解：(1)设y与S之间的函数表达式为y＝(S>0)， 将(2，64)代入，可得k＝2×64＝128， 所以y与S之间的函数表达式为y＝(S>0)． (2)因为点B(m，100)在反比例函数y＝(S>0)的图象上，所以100＝，解得m＝1.28. B点表示的实际意义为当面条的横截面面积为1.28 mm2时，面条的总长度为100 m. 四、17.(1)证明：因为y＝－x2－(m－1)x＋m＋1， 所以Δ＝[－(m－1)]2－4×(－1)×(m＋1)＝m2－2m＋1＋4m＋4＝(m＋1)2＋4， 因为(m＋1)2≥0，所以(m＋1)2＋4>0，所以不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点． (2)解：因为该函数图象的对称轴是直线x＝2， 所以－＝2，所以m＝－3， 所以y＝－x2－(－3－1)x＋(－3)＋1＝－x2＋4x－2. 所以当x＝0时，y＝－2. 所以该函数的图象与y轴的交点坐标为(0，－2)． 18．解：(1)因为直线y1＝x＋m经过点C(－1，2)， 所以2＝－1＋m，解得m＝3， 所以直线AB对应的函数表达式为y1＝x＋3. 因为点C(－1，2)在反比例函数y2＝(k≠0，x<0)的图象上，所以k＝－1×2＝－2， 所以反比例函数的表达式为 y2＝－(x<0)． (2)联立解得或 所以D(－2，1)． (3)当y1>y2时，自变量x的取值范围是－2<x<－1. 五、19.解：(1)因为抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，所以点C的坐标为(0，－3)，所以OC＝3. 因为S△ABC＝AB·OC＝，所以AB＝7. 因为B(6，0)，所以A(－1，0)． 将点A(－1，0)，B(6，0)的坐标分别代入y＝ax2＋bx－3， 得解得 所以抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－3. (2)当△PBC的面积最大时，点P的坐标为(3，－6)． 20．解：(1)根据题意得(x－60)(－x＋100)＝(x－25－50)(－2x＋200)， 整理得x2－190x＋9 000＝0，解得x1＝90，x2＝100， 因为x＝100时，利润为0，所以x的值为90. (2)由题意得y＝(x－60)(－x＋100)＋(x－25－50)·(－2x＋200)＝－(x－60)(x－100)－2(x－75)·(x－100)＝－3x2＋510x－21 000＝－3(x－85)2＋675， 因为－3<0，所以当x＝85时，y有最大值，最大值为675. 六、21.解：(1)n>2. (2)因为y＝x2－2mx＋m2－1＝(x－m)2－1，所以抛物线的对称轴为直线x＝m， 所以点(m＋2，y2)一定位于对称轴的右侧． 由抛物线的对称轴为直线x＝m，可知(m＋2，y2)的对称点为(m－2，y2)． 因为对于－1＜x1＜2，x2＝m＋2时，都有y1<y2， 所以解得0≤m≤1. 七、22.解：(1)y＝ (2)不能．理由：在y＝中，令y<20，可得<20， 由x>0，可得x>13.5. 因为晚上8：00到第二天早上9：00的时间间隔为9＋4＝13(时)，13<13.5， 所以此人第二天早上9：00不能驾车出行． 八、23.解：(1)由中心对称的性质，得8÷2＝4(m)，由轴对称的性质，得4÷2＝2(m)，即点M到该结构最低点的水平距离l为2 m. (2)(答案不唯一)以点M2为原点，建立直角坐标系(图略)，由条件，得C1过点(0，0)，(1，0.3)，对称轴为直线x＝2， 设C1对应的函数表达式为y＝a(x－2)2＋h， 将(0，0)，(1，0.3)代入，得 解得所以y＝－0.1(x－2)2＋0.4. (3)挡风板的高度为2.675 m或2.325 m. 学科网（北京）股份有限公司 $