专题02：等式的性质&找规律（导学案）新六年级数学暑假自习课（冀教版·新教材）

六年级数学上册暑假自习课（冀教版·新教材） 专题02：等式的性质&找规律 知识点精讲 知识点01：等式的性质 内容 等式的性质 1. 等式的两边同时加上或减去一个数，等式的结果不变； 2. 等式的两边同时乘以或除以一个不为0的数，等式的结果不变。 等式的性质的运用 根据等式的性质，可以求出含有字母的等式中字母的值。 【典型例题1】 已知x＝y（x、y是非零自然数），根据等式的性质，下面等式一定成立的是（    ）。 A．3x＝4.5y B．2x＝3y C．x＋9＝y＋9 D．5x＝y＋4 【典型例题2】 若x＋4＝y＋7，那么x（    ）y。 A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【变式训练1】 已知5a＝8b（a、b均为非零自然数）。根据等式的性质，下面等式不成立的是（    ）。 A．50a＝80b B．15a＝32b C．10a＝16b D．19a＝32b－a 【变式训练2】 关于等式3x＋6＝21，下面操作错误的是（    ）。 A．等式两边同时减去6，得到3x＝15。 B．等式两边同时减去6，再除以3，得到x＝5。 C．等式两边同时除以3，得到x＋6＝7。 D．等式两边同时除以3，得到x＋2＝7。 知识点02：找规律 内容 方法 先找出数量间的关系，再写出含字母的表达式。 【典型例题1】 把一些规格相同的杯子叠起来（如图），4个杯子叠起来高20厘米，6个杯子叠起来高26厘米。n个杯子叠起来的高度可以用关系式（    ）来表示。 A．6n－10 B．3n＋8 C．3n＋11 D．6n＋6 【典型例题2】 按一定规律摆图案（如下图），第1个图用了8根火柴棒，第2个图用了14根火柴棒，第3个图用了20根火柴棒，…，照此规律摆下去，第9个图用了（    ）根火柴棒。 A．29 B．42 C．56 D．69 【变式训练1】 如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（    ）个。 A．462 B．384 C．420 D．424 【变式训练2】 如图，摆一个正五边形用5根小棒，摆两个用9根小棒，摆a个正五边形需要（    ）根小棒。 A．4a＋1 B．5a－1 C．5a＋1 D．5a 课后强化 一、选择题 1．如果a＝b（a、b不为0），根据等式的性质，则下列说法错误的是（    ）。 A．a＋c＝b＋c B．3a＝3b C．a－c＝b－a D．a÷4＝b÷4 2．如果x÷5＝y（xy均不为0），下面（    ）是正确的。 A． B．xxy＝5 C．x－y－y－y－y－y＝0 D．x－5－5－5－5－5＝y 3．妈妈买了1个笔袋和4支钢笔，阿姨花同样的钱买了1个同样的笔袋和12支圆珠笔，1支钢笔的价钱相当于（    ）支圆珠笔的价钱。 A．12 B．4 C．3 D．8 4．根据判断，和相比较，（    ）。 A． B． C． D．无法确定 5．……，像这样摆下去，摆n个正方形一共需要（    ）根小棒。 A．3n B．3n＋1 C．4n D．4n－1 二、填空题 6．“长桌宴”是侗寨最为隆重的待客礼仪。每当有受到全寨尊敬的客人来侗寨时，各家便会摆上长条桌，拼菜成席，共同款待客人，让客人一次性领略全寨各家各户的盛情。长条桌的摆放方式及座位如图。 (1)按这样摆放下去，4张长条桌摆放在一起可坐( )人。 (2)要想坐30人，需要摆放( )张长条桌。 7．如果4x＝y，根据等式的性质填空。 4x＋6＝y＋( )               4x－( )＝y－a 4x÷3＝y÷( )               8x＝y×( ) 8．如果（、为非0自然数），根据等式的性质，可知( )；( )。 9．，若，是不同的质数，则( )，( )。 10．已知a＝b，根据等式的性质，那么a－7＝b－( )，3a＝b＋( )。 三、解答题 11．请根据129＋x＝200＋y，判断x和y的大小。 12．已知A＋A＋B＝18，A＋B＋B＝12，求A和B。 13．一个长方形的面积与边长如下图。如果长扩大到原来的3倍，宽不变，写出等量关系式。    14．甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 15．用灰、白两种正方形瓷砖拼成大的正方形。（如下图所示） （1）填表。 白瓷砖拼成的正方形每边的块数 1 2 3 4 5 … 灰瓷砖的块数 8 … （2）当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为10时，灰瓷砖有多少块？ （3）当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为a时，灰瓷砖有多少块？ 参考答案 知识点01 【典型例题1】 C 【分析】已知x＝y，根据等式的性质1“等式两边同时加（或减）一个相同的数，仍是等式”及等式的性质2“等式两边同时乘或除以一个不为0的数，仍是等式”，逐个进行分析。 【详解】A．3x＝4.5y，等式左边乘3，右边乘4.5，3＜4.5，不符合等式的性质2，等式不成立； B．2x＝3y，等式左边乘2，右边乘3，2＜3，不符合等式的性质2，等式不成立； C．x＋9＝y＋9，等式左右两边同时加9，符合等式的性质1；等式成立； D．5x＝y＋4，等式左边乘5，右边加4，与等式的性质1和性质2描述不相符，等式不成立。 一定成立的是x＋9＝y＋9。 【典型例题2】 C 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 根据等式的性质1，x＋4＝y＋7的两边同时减去4，等式仍然成立，即可得出x与y的大小关系。 【详解】由x＋4＝y＋7可得：x＋4－4＝y＋7－4，即x＝y＋3；所以x大于y。 【变式训练1】 B 【分析】根据等式的性质，等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。逐一分析。 【详解】因为5a＝ 8b， A．等式两边同时乘10，则为50a ＝80b，所以等式成立； B．等式两边同时乘3，则为15a ＝24b，15a≠32b，所以等式不成立； C．等式两边同时乘2，则为10a＝16b，所以等式成立； D．等式两边同时乘4，则为20a＝32b，再同时减去a，则为19a＝32b－a，所以等式成立。 【变式训练2】 C 【分析】用等式的性质解方程。 等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】A．3x＋6－6＝21－6，3x＝15；等式两边同时减去6，得到3x＝15，原选项正确； B．3x＋6－6＝21－6，3x＝15；3x÷3＝15÷3，x＝5；等式两边同时减去6，再除以3， 得到x＝5，原选项正确； C．（3x＋6）÷3＝21÷3，x＋2＝7；等式两边同时除以3，得到x＋2＝7，原选项错误； D．（3x＋6）÷3＝21÷3，x＋2＝7；等式两边同时除以3，得到x＋2＝7，原选项正确。 故答案为：C 知识点02 【典型例题1】 B 【分析】叠起来的杯子的高度由第一个杯子的高度和叠放的杯子增加的高度两部分组成，第一部分的高度在叠放杯子时保持不变，故可用6个杯子叠放的总高度减去4个杯子叠放的总高度，再除以（6－4）个杯子，求出每增加一个杯子所增加的高度，然后求出不变的高度，最后由原始高度11厘米加上n个杯子叠起来所增加的高度3（n－1）厘米就是几个杯子叠起来的总高度。 【详解】（26－20）÷（6－4） ＝6÷2 ＝3（厘米） 20－3×3 ＝20－9 ＝11（厘米） 11＋3（n－1） ＝11＋3n－3 ＝3n＋11－3 ＝3n＋（11－3） ＝（3n＋8）厘米 n个杯子叠起来的高度是（8＋3n）厘米。 【典型例题2】 C 【分析】观察图形可知，第1个、2个、3个图分别用了8根、14根、20根火柴棒，发现：每增加一个图形，火柴棒的数量就增加6根，据此发现规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 第1个图用了8根火柴棒，8＝6×1＋2； 第2个图用了14根火柴棒，14＝6×2＋2； 第3个图用了20根火柴棒，20＝6×3＋2； …… 规律：第n个图用了（6n＋2）根火柴棒。 当n＝9时 6n＋2 ＝6×9＋2 ＝54＋2 ＝56（根） 第9个图用了56根火柴棒。 故答案为：C 【变式训练1】 D 【分析】先观察每个图形的最外侧都有四个小圆点，再观察每个图形内部圆点的行数和列数，发现列数等于行数加1，第一个图形内部的小圆点2列1行，第二个图形内部的小圆点3列2行，第三个图形内部的小圆点4列3行，依次规律，第个图形内部的小圆点列行，据此解答。 【详解】第1个图形中有小圆点： （个） 第2个图形中有小圆点： （个） 第3个图形中有小圆点： （个） 第4个图形中有小圆点： （个） 第个图形中有小圆点： 个 当时， （个） 所以第个图形内部的小圆点有424个。 故答案为：D 【变式训练2】 A 【分析】观察图形可知，摆1个正五边形用5根小棒，摆2个正五边形用9根小棒，摆3个正五边形用13根小棒……发现规律：5＝4×1＋1，9＝4×2＋1，13＝4×3＋1……；据此找到规律并解答。 【详解】摆1个正五边形用5根小棒，5＝4×1＋1； 摆2个正五边形用9根小棒，9＝4×2＋1； 摆3个正五边形用13根小棒，13＝4×3＋1； …… 规律：摆a个正五边形需要（4a＋1）根小棒。 故答案为： A 课后强化 1．C 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式； 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 根据等式的性质逐项验证各选项变形是否正确。 【详解】A．等式两边同时加上c，可得a＋c＝b＋c，符合等式的性质1，说法正确； B．等式两边同时乘3，可得，符合等式的性质2，说法正确； C．等式左边减去c，右边减去a，因为c与a不一定相等，不符合等式的性质1，说法错误； D．等式两边同时除以4，可得，符合等式的性质2，说法正确。 2．C 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；据此分析每个选项选出算式正确的即可。 【详解】由x÷5＝y，可推出x＝5y； A．根据，可推出5＝xy，x＝5÷y，不符合x÷5＝y，故原式错误； B．根据xxy＝5，可推出，不符合x÷5＝y，故原式错误； C．根据 x－y－y－y－y－y＝0，可推出x－5y＝0，x＝5y，符合x÷5＝y，故原式正确； D．根据x－5－5－5－5－5＝y，可推出x－25＝y，x＝y＋25，不符合x÷5＝y，故原式错误。 3．C 【分析】由题意可知，1个笔袋＋4支钢笔＝1个笔袋＋12支圆珠笔，先利用等式的性质1，等式两边同时减去1个笔袋得出4支钢笔＝12支圆珠笔，再利用等式的性质2，等式两边同时除以4得出1支钢笔＝3支圆珠笔。 【详解】1个笔袋＋4支钢笔＝1个笔袋＋12支圆珠笔 1个笔袋＋4支钢笔－1个笔袋＝1个笔袋＋12支圆珠笔－1个笔袋 4支钢笔＝12支圆珠笔 4支钢笔÷4＝12支圆珠笔÷4 1支钢笔＝3支圆珠笔 所以，1支钢笔的价钱相当于3支圆珠笔的价钱。 4．A 【分析】假设，根据加数＝和－另一个数加数，分别用减法求出和，再比较大小即可。 【详解】假设 根据判断，和相比较，。 故答案为：A 5．B 【分析】摆1个正方形要3×1＋1＝4（根）小棒；摆2个正方形要3×2＋1＝7（根）小棒；摆3个正方形要3×3＋1＝10（根）小棒……，摆n个正方形要（3n＋1）根小棒，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，摆n个正方形一共需要（3n＋1）根小棒。 故答案为：B 6．(1)18 (2)7 【分析】（1）观察可知，1张长条桌可以坐6人，2张长条桌可以坐（6＋4×1）人，3张长条桌可以坐（6＋4×2）人……以此类推，每次增加4人，那么4张长条桌可以坐（6＋4×3）人； （2）由（1）可知，n张长条桌可以坐[6＋4（n－1）]人，解方程求出含有字母的式子值为30时n的值就是需要摆放长条桌的数量，据此解答。 【详解】（1）6＋4×3 ＝6＋12 ＝18（人） 所以，4张长条桌摆放在一起可坐18人。 （2）n张长条桌可以坐的人数：6＋4（n－1） ＝6＋（4n－4） ＝6＋4n－4 ＝4n＋6－4 ＝（4n＋2）人 4n＋2＝30 解：4n＋2－2＝30－2 4n＝28 4n÷4＝28÷4 n＝7 所以，要想坐30人，需要摆放7张长条桌。 7． 6 a 3 2 【分析】等式的性质：等式两边同时加或减同一个数，同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，据此分析即可。 【详解】已知4x＝y： 等式左边加6，要保持等式成立，右边也要加同一个数，所以填6； 等式右边减a，要保持等式成立，左边也要减同一个数，所以填a； 等式左边除以3，要保持等式成立，右边也要除以同一个数，所以填3； 8x＝4x×2，等式左边给4x乘2，要保持等式成立，右边y也要乘2，所以填2。 8． 6 4 【分析】根据“等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立”可知在两边同时乘2可解； 根据“等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立”可知在两边同时减去4可解。 【详解】在两边同时乘2得，即 在两边同时减4得 9． 3或5 19或13 【分析】根据质数的定义：除了1和它本身外没有其他因数的自然数，列举出28以内的质数；再将题干中的进行变形，最后将28以内的质数逐一代入到m中解答即可。 【详解】28以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19； 3m＋n＝28 3m＋n－3m＝28－3m n＝28－3m 当m＝2时，n＝28－3×2＝28－6＝22，22不是质数，不符合题意； 当m＝3时，n＝28－3×3＝28－9＝19，19是质数，符合题意； 当m＝5时，n＝28－3×5＝28－15＝13，13是质数，符合题意； 当m＝7时，n＝28－3×7＝28－21＝7，此时m与n相同，不符合题意中“不同的质数”的条件； 当m＝11时，3×11＝33，33＞28，28无法减去33，所以后面的质数无需再代入； 因此，当m＝3时，n＝19；或当m＝5时，n＝13。 10． 7 2b 【分析】已知a＝b，根据等式的性质1：等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，即a－7＝b－7； 已知a＝b，根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立，两边同时乘3得到3a＝3b，再根据3b＝b＋2b，即可解答。 【详解】已知a＝b，根据等式的性质，那么a－7＝b－7，3a＝b＋2b。 11．x＞y 【分析】根据等式的性质1，等式两边同时减去129，再进行解答。 【详解】129＋x＝200＋y 129＋x－129＝200＋y－129 x＝y＋71 所以x＞y。 12．8；2 【分析】将两个算式相加，可知： 3（A＋B）＝30，等式的两边同时除以3，据此求出A＋B的值，将A＋B的值分别代入两个算式，可求出A和B的值。 【详解】A＋A＋B＋A＋B＋B＝18＋12， 即3A＋3B＝30，所以A＋B＝10， 将A＋B＝10代入第一个式子可得： A＋10＝18 所以，A＝18－10＝8； 将A＋B＝10代入第二个式子可得： 10＋B＝12 所以，B＝12－10＝2 答：A＝8，B＝2。 13．12×3＝200×3 【分析】等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 根据长方形的面积＝长×宽，可得出原来长方形的等量关系式；已知长扩大到原来的3倍，即长乘3，宽不变，则长方形的面积也乘3，据此写出新的等量关系。 【详解】12＝200 12×3＝200×3 【点睛】本题考查长方形面积公式的运用以及等式的性质2的应用。 14．22元 【分析】由题意可知，计算丙需要付的钱数时，必须以甲和乙所买食品的数量及所付的钱数为突破口。通过比较，发现：甲买的食品数量×2＝8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干，乙买的食品数量×3＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干，此时他们购买商品数量的差为（9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干），化简可得，1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干＝26×3－33.5×2＝11元，由此求出（1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2需要付的钱数，据此解答。 【详解】甲：4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干＝33.5元 （4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干）×2＝33.5元×2 8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干＝67元 乙：3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干＝26元 （3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干）×3＝26元×3 9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干＝78元 （9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干） ＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干－8根棒棒糖－2瓶果汁－20包小饼干 ＝1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干 ＝78－67 ＝11（元） （1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2＝11元×2 2根棒棒糖＋2瓶果汁＋2包小饼干＝22元 答：丙需付22元。 【点睛】仔细分析题意并运用等式的性质2化简求出1根棒棒糖、1瓶果汁和1包小饼干需要付的钱数是解答题目的关键。 15．（1）12；16；20；24 （2）44块 （3）（4a＋4）块 【分析】（1）观察前三个图形发现规律：白瓷砖拼成的正方形每边的块数每增加1块，那么灰瓷砖的块数增加4块；据此规律填表。 （2）（3）当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为1时，灰瓷砖的块数为8，8＝4×2＝4×（1＋1）； 当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为2时，灰瓷砖的块数为12，12＝4×3＝4×（2＋1）； 当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为3时，灰瓷砖的块数为16，16＝4×4＝4×（3＋1）； …… 据此得出规律，灰瓷砖的块数是白瓷砖拼成的正方形每边的块数＋1的四倍。 【详解】（1）8＋4＝12（块） 12＋4＝16（块） 16＋4＝20（块） 20＋4＝24（块） 填表如下： 白瓷砖拼成的正方形每边的块数 1 2 3 4 5 … 灰瓷砖的块数 8 12 16 20 24 … （2）（10＋1）×4 ＝11×4 ＝44（块） 答：当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为10时，灰瓷砖有44块。 （3）（a＋1）×4＝4a＋4（块） 答：当白瓷砖拼成的正方形每边的块数为a时，灰瓷砖有（4a＋4）块。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $