专题04：圆的面积与探索规律（导学案）新六年级数学暑假自习课（西南大学版·新教材）

五年级数学上册暑假自习课（西南大学版·新教材） 专题04：圆的面积&探索规律 知识点精讲 知识点01：圆的面积 内容 圆的面积 圆的面积的计算公式为：圆的面积=圆的周长的一半(πr)x圆的半径(r)，即S =πrxr=πr²。 【典型例题1】 一个圆的周长是62.8厘米，这个圆的面积是（    ）。 A．1256平方厘米 B．628平方厘米 C．314平方厘米 D．157平方厘米 【典型例题2】 在一个边长是4厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是（    ）。 A．16平方厘米 B．6.28平方厘米 C．12.56平方厘米 D．3.14平方厘米 【变式训练1】 一个圆的半径是1cm，如果把这个圆的半径增加9cm后，这个圆的面积增加了（    ）cm2。 A．8π B．16π C．81π D．99π 【变式训练2】 下面是三位同学推导圆面积公式的过程，其中错误的是（    ）。 ① ② ③ A．① B．② C．③ D．无法确定 知识点02：探索规律 内容 圆的对称轴 不同大小的圆组成的图形，对称轴的数量可能有所变化。 圆的直径 一定数量的圆，用钢丝绕一圈，组成近似的正方形，随着圆数量的增加，圆的直径和近似正方形的边长，有一定数量关系。 【典型例题1】 下面图形中，对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题2】 下面四个轴对称图形中，只有一条对称轴的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】 如下图，有一种酒瓶的直径是5cm，大小相同的酒瓶捆扎在一起（接头处不计），第n组至少需要( )cm长的绳子。（结果保留） 【变式训练2】 下图是用圆摆成的图形。 照此规律摆下去，第5个图形共需要( )个圆，第n个图形共需要( )个圆。 课后强化 一、选择题 1．如下图所示，把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，周长增加了6cm，这个圆的面积是（    ）cm2。 A．113.04 B．56.52 C．28.26 D．18.84 2．李叔叔用三段长度相同的铁丝网，在农场里分别圈出一块圆形、一块正方形和一块长方形的地，供鸡、鸭、羊活动。这三块地的面积相比较，（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形面积大 C．长方形面积大 D．一样大 3．小亮用圆规画圆，他所画的圆的面积是（    ）cm2。 A．6π B．8π C．9π D．16π 4．下面各图中，对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． D． 5．在草地中心拴着一头牛，绳子长8米，这头牛最多可以吃到草地的面积是多少？正确的算式是（    ）。 A．3.14×8 B．3.14×82 C．2×3.14×8 D．3.14×42 二、填空题 6．展览馆中的墙上挂着一个大的挂钟，挂钟的分针长20cm，经过30分钟后，分针尖端走过的路程是( )cm，分针扫过的面积是( )。（π取3.14） 7．画圆时，圆规两脚间的距离是1cm，所画圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 8．如图，一个长方形中有两个相同的圆，半径为3cm。这个长方形的长是( )cm，宽是( )cm。这个图形有( )条对称轴。 9．用“○”做堆砌的游戏，如图，第5堆共有( )个○，第堆共有( )个○。 10．一个圆形餐桌的直径是2米，它的周长是( )米，面积是( )平方米；如果在餐桌周围每隔0.628米放一把椅子，一共可以放( )把椅子。 三、解答题 11．以圆上的点A为圆心再画一个圆，使组成的图形满足对称轴的数量要求，并把对称轴画出来。 只有一条对称轴                           只有两条对称轴 12．掷铁饼的场地由投掷圈和落地区组成。落地区是半径长80米，角度为34.92°的扇形，其面积约为1552.7平方米。投掷圈是直径为2.5米的圆，投掷圈的面积是多少平方米？（最后结果得数保留整数） 解决此问题如果你在计算中遇到了困难，可以从以下算式中选择你需要的数据： 80×80＝6400 3.14×6400＝20096 2.5×2.5＝6.25 3.14×6.25＝19.625 1.25×1.25＝1.5625 3.14×1.5625＝4.90625 13．光伏板技术这些年已走进千家万户。陈先生家的天台因地制宜，安装了一块直径6米的圆形单晶硅光伏板。在达到有效光照时间的前提下（一般每天4小时），每平方米光伏板一天能转化电能0.5千瓦时。照这样计算，陈先生家的光伏板一天能转化电能多少千瓦时？ 14．北京天坛公园的回音壁是闻名世界的声学奇迹，回音壁有回音效果的原因是皇穹宇围墙的建造符合了声学的传音原理。它是一道圆形的围墙，墙体坚硬光滑，是声波的良好反射体，又因圆周曲率准确，声波可沿墙内面连续反射，向前传播。它的圆形围墙周长大约为204米，请你算一算它的面积是多少。（π取3） 15．下面我们来探索捆扎木桶一圈所用绳子的长度问题。木桶放置时“单层平放”，打结处绳子长度不计，捆扎后横截面如表所示。 （1）探索 个数 图形 1 50π厘米 2 （    ）厘米 3 （    ）厘米 … …… … （2）推想：①当木桶的个数是4时，所用绳子的长度是（    ）厘米。 ②当木桶的个数是5时，所用绳子的长度是（    ）厘米。 （3）结论：当木桶的个数是a时，所用绳子的长度是（    ）厘米。 （4）应用：当木桶的个数是10时，所用绳子的长度是（    ）厘米。 参考答案 知识点01 【典型例题1】 C 【分析】先根据圆的周长计算出它的半径，，再根据圆的面积：计算出圆的面积即可。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） （平方厘米） 一个圆的周长是62.8厘米，这个圆的面积是314平方厘米。 【典型例题2】 C 【分析】这个圆的直径就是正方形的边长，再根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），即可求其面积。 【详解】3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 这个圆的面积是12.56平方厘米。 【变式训练1】 D 【分析】根据圆的面积＝πr2，求出原来圆的面积和增加后圆的面积，用增加后圆的面积－原来圆的面积解答。 【详解】增加后圆的半径是1＋9＝10（cm） π×102－π×12 ＝π×100－π×1 ＝100π－π ＝99π（cm2） 这个圆的面积增加了99πcm2。 【变式训练2】 B 【分析】①将圆剪拼为长方形，面积不变，长方形的长对应圆周长的一半，宽对应圆的半径，长方形面积＝长×宽，据此推导出圆的面积； ②将圆转化为梯形，面积不变，梯形的上底和下底之和对应圆周长的一半，高对应2个圆的半径，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此推导出圆的面积； ③将圆转化为三角形，面积不变，三角形的底对应圆周长的，高对应4个圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，据此推导出圆的面积。 【详解】A．①＝＝×r＝×2πr×r＝πr2，原推导过程正确； B．②＝＝×2r÷2＝×2πr×2r÷2＝πr2，原推导过程错误； C．③＝＝×4r÷2＝×2πr×4r÷2＝πr2，原推导过程正确。 错误的是②。 知识点02 【典型例题1】 D 【分析】一个图形沿着一条直线对折后两边能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【详解】 A．有1条对称轴； B．有2条对称轴； C．有3条对称轴； D．有4条对称轴。 所以对称轴最多的是D。 故答案为：D 【典型例题2】 A 【分析】将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴，根据对称轴定义找出各图形对称轴的数量，再选择。 【详解】A．只有一条对称轴； B．有无数条对称轴； C．有三条对称轴； D．有两条对称轴。 只有一条对称轴的是。 故答案为：A 【变式训练1】 （5π＋20n）/（20n＋5π） 【分析】第①组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（1×4）；第②组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（2×4）；第③组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（3×4）……由此可知，绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（第几组就用几×4）。圆的周长＝圆周率×直径。 【详解】π×5＋5×（n×4）＝（5π＋20n）cm 【变式训练2】 25 n2 【分析】观察图形可知，第一个图形有1个圆，1＝12； 第二个图形有4个圆，4＝22； 第三个图形有9个圆，9＝32； 第四个图形有16个圆，16＝42； …… 则第n个图形圆的个数＝n×n，据此解答。 【详解】52＝25（个） n×n＝n2（个） 即照此规律摆下去，第5个图形共需要25个圆，第n个图形共需要n2个圆。 课后强化 1．C 【分析】把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，周长增加的部分等于两条半径的长度，用增加的周长除以2求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算即可求出圆的面积。 【详解】6÷2＝3（cm） 3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2） 2．A 【分析】铁丝长相同，根据圆的周长＝π×半径×2，正方形周长＝边长×4，长方形周长＝（长＋宽）×2，据此求出圆的半径，正方形边长和长方形的长与宽；再根据圆的面积＝π×半径2，正方形面积＝边长×边长，长方形面积＝长×宽，进行比较。 【详解】设铁丝长为3.14米。 圆：3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5 3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785 正方形： 3.14÷4＝0.785 0.785×0.785＝0.616225 长方形： 长与宽的和：3.14÷2＝1.57 长与宽接近，即长与宽相等，面积最大；所以周长相同，正方形面积大于长方形面积。 0.785＞0.616225＞长方形面积，面积最大的是圆。 这三块地的面积相比较，圆的面积最大。 3．C 【分析】画圆时，圆规两脚之间的距离就是圆的半径，然后根据圆的面积公式计算即可求出圆的面积。 【详解】由图可知，圆的半径是3cm。 π×32＝9π（cm2） 圆的面积是9πcm2。 4．D 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这条直线就是这个图形的对称轴，据此分析各选项，进而确定符合题意答案。 【详解】 A．有2条对称轴； B．有3条对称轴； C．有4条对称轴； D．有无数条对称轴。所有过圆心的直线，都能让图形对折后完全重合。 所以对称轴数量最多的是。 故答案为：D 5．B 【分析】分析题目，这头牛最多能吃到的草地的面积等于一个半径是8米的圆的面积，根据圆的面积＝πr2代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 在草地中心拴着一头牛，绳子长8米，这头牛最多可以吃到草地的面积是多少？正确的算式是：3.14×82。 故答案为：B 6． 62.8 628 【分析】30分钟分针走半圈，一圈就是一个圆，分针尖端走过的路程就是一个圆的周长除以2，分针扫过的面积就是一个圆的面积除以2，圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，半径就是分针长20cm，据此解答。 【详解】（cm） （cm2） 7． 6.28 3.14 【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径，根据“”求出圆的周长，根据“”求出圆的面积。 【详解】2×3.14×1＝6.28（cm） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（cm2） 8． 12 6 2 【分析】根据图示，这个长方形的长等于圆的半径的4倍，宽等于圆的半径的2倍，据此解答即可。轴对称图形特征：沿着一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。由此可以得知这个图形有2条对称轴，据此解答即可。 【详解】长：3×4＝12（cm） 宽：3×2＝6（cm） 如图： 所以这个长方形的长是12cm，宽是6cm，这个图形有2条对称轴。 9． 45 n（n＋1） 【分析】由图可知：发现第①堆是从1开始连续加2个数得3，第②堆从2开始连续加3个数得9，第③堆从3开始连续加4个数得18，由此找到规律：第n堆就是从n开始，连续加（n＋1）个自然数；接着用“首尾凑对”的方法计算，比如第⑤堆要算5＋6＋7＋8＋9＋10，把首尾的5和10、6和9、7和8分别凑对，每对和都是15，一共3对，所以总数是15×3＝45，同理可推第n堆的总数就是从n开始到2n结束的（n＋1）个连续自然数相加，用“（首数＋尾数）×对数”即可求出结果。 【详解】第①堆有3个〇，3＝1＋2； 第②堆有9个〇，9＝2＋3＋4； 第③堆有18个〇，18＝3＋4＋5＋6； … 第⑤堆有45个〇，45＝5＋6＋7＋8＋9＋10； 第n堆〇个数：n＋（n＋1）＋（n＋2）＋……＋2n ＝（n＋2n）× ＝3n× ＝n（n＋1） 所以用“○”做堆砌的游戏，如图，第5堆共有45个○，第n堆共有n（n＋1）个○。 【点睛】本题解题关键在于先观察每堆圆圈数拆解后的连续自然数相加形式，找到堆数与相加的首数、项数、尾数的对应规律，即第n堆从n开始加、共加（n＋1）个连续自然数且尾数为2n，再用首尾凑对的求和方法，将首数与尾数相加得到每对和，结合总对数推导出通用计算式。 10． 6.28 3.14 10 【分析】首先圆的周长为，据此可求相应数值；圆的面积为，借助直径求出半径即可求出圆的面积；如果在餐桌周围每隔0.628米放一把椅子，属于封闭图形植树问题，椅子上数＝间距数，用圆的周长除以0.628即可求出所需椅子数。 【详解】圆的周长＝（米） 圆的面积＝3.14×12＝3.14×1＝3.14（平方米） 一共可以放椅子数（把） 11．见详解 【分析】左图（只有一条对称轴）画法：以点A为圆心，画一个与原圆半径不相等且不同心的圆（即两圆半径不等，且圆心不重合）。对称轴：连接两个圆心的直线（因为只有这条直线能使图形对折后完全重合）。 右图（只有两条对称轴）画法：以点A为圆心，画一个与原圆半径相等的圆（即两圆半径相等，圆心不同，组成“等圆相交”的图形）。对称轴：两条直线，一条是连接两圆心的直线，另一条是两圆公共弦的垂直平分线（这两条直线都能使图形对折后完全重合）。 【详解】 如图： 12．5平方米 【分析】用投掷圈的直径2.5除以2求出半径，再根据圆的面积＝，代入数据计算出投掷圈的面积是多少平方米。结果保留整数，要看小数点后面第一位是几，根据四舍五入法取近似值即可。 【详解】2.5÷2＝1.25（米） 3.14× ＝3.14×1.5625 ＝4.90625 ≈5（平方米） 答：投掷圈的面积是5平方米。 13．14.13千瓦时 【分析】先根据直径求出半径，再利用圆的面积公式S＝πr2求出光伏板的面积，最后用每平方米光伏板一天能转化电能数乘光伏板的面积。 【详解】光伏板的半径：6÷2＝3（米） 光伏板的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 一天转化电能：0.5×28.26＝14.13（千瓦时） 答：陈先生家的光伏板一天能转化电能14.13千瓦时。 14．3468平方米 【分析】根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”求出半径；再根据“圆的面积＝πr2”计算面积。 【详解】 （米） （平方米） 答：它的面积是3468平方米。 15．（1）50π＋100；50π＋200； （2）①50π＋300；②50π＋400； （3）50π＋100（a－1）； （4）50π＋900 【分析】（1）1个桶时，绳子的长度就是木桶横截面圆形的周长，2个桶时，绳子的长度就是木桶横截面圆形的周长＋2×横截面圆形直径，3个桶时，绳子的长度就是木桶横截面圆形的周长＋4×横截面圆形直径，据此计算填空； （2）①当木桶的个数是4时，所用绳子的长度＝木桶横截面圆形的周长＋6×横截面圆形直径； ②当木桶的个数是5时，所用绳子的长度＝木桶横截面圆形的周长＋8×横截面圆形直径； （3）当木桶的个数是a时，所用绳子的长度＝木桶横截面圆形的周长＋（a－1）×2×横截面圆形直径； （4）将a＝10代入（3）的公式中计算即可。 【详解】（1）2个桶时，绳子的长度＝50π＋50×2＝50π＋100（厘米） 3个桶时，绳子的长度＝50π＋50×4＝50π＋200（厘米），填空如下： 个数 图形 1 50π厘米 2 （50π＋100）厘米 3 （ 50π＋200）厘米 … …… … （2）①当木桶的个数是4时，所用绳子的长度＝50π＋50×6＝（50π＋300）厘米； 木桶的个数是5时，所用绳子的长度＝50π＋50×8＝（50π＋400）厘米； （3）当木桶的个数是a时，所用绳子的长度＝木桶横截面圆形的周长＋（a－1）×2×横截面圆形直径。 绳子的长度＝50π＋（a－1）×2×50 ＝50π＋100（a－1）厘米 则结论：当木桶的个数是a时，所用绳子的长度是50π＋100（a－1）厘米。 （4）当a＝10时 绳子的长度＝50π＋100（a－1） ＝50π＋100×（10－1） ＝50π＋100×9 ＝（50π＋900）厘米 所以绳子长度是（50π＋900）厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $