专项训练04 整式中数字类和图形类规律探究问题（巩固培优，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

专项训练04 整式中数字类和图形类规律探究问题 【知识点1 数字类规律】 ①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为或或 ②数字规律：数字规律需要视题目而确定 字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式 【知识点2 算式类规律】 算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。 常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。 【知识点3 图形类规律】 通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。 【题型1 数列的规律】 1．（2025·云南昆明·校考模拟预测）观察下列按一定规律排列的数：，1，9，1，，1，81，1，…，则第15个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，1，9，1，，1，81，1，…， ∴偶数位置上的数都是1，奇数位置上的数分别是，9，，81，…， ∴第k个奇数为，∴第15个数是第8个奇数，为．故选C． 2．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）观察下列式子的规律：、、、、…，则第个式子为 ． 【答案】 【详解】解：、、、、…， 系数依次是，字母的指数依次是， ∴第个式子为，故答案为： ． 【题型2 数（图）表的规律】 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）将正整数1，2，3，4，5，6，…按如表数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如表示14，则2024用数对表示为 ． 1 2 3 4 9 8 7 6 5 10 11 12 13 14 15 16 25 24 23 22 21 20 19 18 17 …… 【答案】 【详解】解：观察可知从上到下，每一列的数是从1开始的连续的奇数，其中奇数行的数字按照从左到右按照从大到小的顺序排列，偶数行从左到右按照从小到大排列， ∵，，且，∴2024在第45行， ∵45为奇数，∴第45行左边起第一个数为2025，第二个数为2024， ∴2024用数对表示为，故答案为：． 4．（2025·山东泰安·校考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________． 第一行                   第二行                   第三行                    第四行                    第五行                    【答案】 【详解】解：根据题目中给出数的特点，第n行第1个数表示为，第n行第2个数表示为， ∴第6行第1个数为，第6行第2个数为 ， ∴第六行第三个数表示的是．故答案为：． 【题型3 算式的规律】 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据上述规律，请判断下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：；；；…… 观察上述等式，可得规律为， ∴，故选：A． 6．（24-25七年级上·黑龙江·阶段练习）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 请用上面得到的规律计算： ． 【答案】100 【详解】解：，，， ，， 故．故答案为：． 【题型4 图形的规律（一次类）】 7．（24-25七年级上·山西阳泉·期中）如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基础图形，第2个图案中有7个基础图形，第12个图案中的基础图形个数为（　　）    A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【详解】解：第1个图案中有个基础图形，第2个图案中有个基础图形， 第3个图案中有个基础图形，第4个图案中有个基础图形，……， 以此类推，可知第n个图案中有个基础图形， ∴第12个图案中的基础图形个数为，故选：C． 8．（24-25七年级上·江苏·期中）用小棒按照如下方式摆图形摆第10个图形需要 根小棒． 【答案】71 【详解】解：摆第1个图形需要8根小棒，摆第2个图形需要根小棒， 摆第3个图形需要根小棒，……，以此类推可知，摆第n个图形需要根小棒， ∴摆第10个图形需要根小棒，故答案为；71． 【题型5 图形的规律（二次类）】 9．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是 ． 【答案】28 【详解】解：由图可知：第1个图有个点，第2个图有个点，第3个图有个点，第4个图有个点，…..；∴第n个图有个点， ∴第6个三角形数是；故答案为28． 10．（24-25七年级上·海南·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是 个．第n个图形中圆的个数是 个． 【答案】 92 【详解】解：第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆； 可得第个图形中圆的个数是；∴时，一共有个圆； 故答案分别为：；． 【题型6 图形的规律（指数类）】 11．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴可推导一般性规律为：， ∴，，，…… ，，将等式左右同时相加得，， ∴， 解得，，故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）有许多非常复杂的几何图形可以由简单的数学规则创造出来．比如谢尔宾斯基三角形，它的构造方法是：以一个等边三角形为初始图形，每次将等边三角形分割成4个边长为原来一半的小三角形，并去掉其中间的小三角形，将这个过程反复进行下去，就可以得到无限细节的谢尔宾斯基三角形，如下图所示，按此规律，第n个图形中剩余的三角形（黑色三角形）的个数为 ． 【答案】 【详解】解：第1个图中三角形的个数为； 第2个图中三角形的个数为；第3个图中三角形的个数为； 可以发现，第几个图形中三角形的个数就是3的几次方， 按照这个规律，第个图形中共有三角形的个数为．故答案为：． 【题型7 循环规律类问题】 13．（2023·江苏扬州·统考二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，， ，，，，，. 每6个数为一循环，且6个数的和为0， .故选：B. 14．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去，第1000次输出的结果是（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：第1次输出的结果为，第2次输出的结果为1，第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为，第5次输出的结果为，第6次输出的结果为，……， 由此可知，从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为， ∵，∴第1000次输出的结果为4，故选：A． 1．（25-26七年级上·山西大同·期末）观察下列图形的个数规律，则第n个图形中的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律题，解题的关键是从图形中找出三角形的规律．通过观察图形中三角形个数的规律，发现图形1有1个三角形，图形2有4个三角形，图形3有9个三角形，三角形的个数与图形序号n的平方相等，据此即可求解． 【详解】解：图形1：三角形个数为， 图形2：三角形个数为， 图形3：三角形个数为， ∴第n个图形中三角形的个数为， 故选：A． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）有一数列，前五个数依次为、、、、，…，则这个数列的第n项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式相关规律的探索．观察数列的分子、分母和符号规律，分子为n，分母为，符号规律：n为奇数时为正，n为偶数时为负，用 表示符号． 【详解】解：∵ 数列前五项：，，，， ， ∴分子为n，分母为，符号规律：n为奇数时为正，n为偶数时为负， ∵，当n为奇数时，为偶数，； 当n为偶数时，为奇数，， ∴ 第n项为， 故选：D． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期末）观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化规律，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键． 观察分子和分母的规律，分子为奇数序列，分母为平方数加1，由此推导第n个数的表达式，即可解题． 【详解】解：∵分子序列：1，3，5，7，9，…为奇数， ∴第n个分子为， ∵分母序列第1个分母为， 第2个分母为， 第3个分母为，…以此类推， 分母序列第n个分母为， ∴第n个数为， 故选：C． 4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称为康托尔集．如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段，…，将这样的操作无限地重复下去，余下的线段的长度趋于0，将它们看成无穷个点，称为康托尔集，那么经过第n个阶段后，留下的线段的长度之和为（    ） 开始构造： A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的变化规律， 先根据前四个数字变化特点得出变化规律，进而得出答案． 【详解】解：根据第一阶段时余下的线段的长度之和是； 第二阶段时，余下的线段的长度之和是； 第三阶段时，余下的线段的长度之和是； 第四阶段时，余下的线段的长度之和是； 第n阶段时，余下的线段的长度之和是． 故选：A． 5．（2026·河南三门峡·二模）观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 【答案】 【详解】分别观察式子中系数和指数的变化规律，得出后面的式子即可． 【解题思路】解：观察式子，，，，，，……， 可以发现系数是，……，指数是，……， 可知，从第三个式子开始，后边的每个系数是它前面相邻两个系数的和，指数和式子的序号相同， 即系数是，……，指数是序号， 第个式子的指数是， 后面的式子是． 6．（2026·山西运城·一模）将形状、大小完全相同的小圆点“•”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中小圆点的个数为___________． 【答案】36 【分析】观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为，再将代入求解即可． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“•”的个数为， 第②个图案中“•”的个数为， 第③个图案中“•”的个数为， …， 所以第n（n为正整数）个图案中“•”的个数为， 因此第⑦个图案中“•”的个数为． 7．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第1个图形用了8根火柴棒，第2个图形用了14根火柴棒，第3个图形用了20根火柴棒，…，则第5个图形需要的火柴棒的根数为_________． 【答案】32 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加6是解题的关键． 根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第①个图形需要的火柴棒根数为：； 第②个图形需要的火柴棒根数为：； 第③个图形需要的火柴棒根数为：； …， 所以第n个图形需要的火柴棒根数为个． 当时， 故答案为：32． 8．（25-26七年级上·山西阳泉·期末）如图是某布匹上的一组有规律的印花图案，第1个图案中有6个“”，第2个图案中有10个“”，第3个图案中有14个“”，．．．，第个图案中有___________个“”．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】 本题主要考查了图形变化规律的探索，熟练掌握通过观察前几个实例的数量关系来推导一般表达式是解题的关键．观察每个图案里“”的数量变化，找到每增加一个图案时数量的变化规律，再写出第个图案的数量表达式． 【详解】解：第1个图案：， 第2个图案：， 第3个图案：， ， ∴ 每增加1个图案，“”的数量就增加4个， ∴ 第个图案中“”的数量为 ， 故答案为：． 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人． (1)观察上图，根据规律将表格补充完整． 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（    ）人． 【答案】(1)10；12 (2) 【分析】（1）根据所给图形的规律解答即可； （2）从规律中抽象出n张餐桌的表达式，1张时 ，2张时 ，依此类推可得规律，据此解答． 【详解】（1）解：由图得：4张餐桌可坐人数： ，5张餐桌可坐人数： ； （2）解：推导n张餐桌的表达式：由规律可知， n张餐桌可坐人数为 ； 综上所述可得，按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐人 ． 10．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 11．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解； （2）根据已知等式，找出规律即可； （3）先代入，再利用裂项相消的方法求解即可． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 12．（25-26七年级上·广东惠州·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 【答案】(1) (2) (3)①2500；②2400 【分析】（1）根据已知等式填写即可； （2）把已知等式发现规律即可； （3）①根据，确定； ②转化成的差，根据规律求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第④个等式为：； （2）解：因为；；；…， 所以； （3）解：①原式； ②原式 ． 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】A 【分析】通过观察图形中木棍数量的变化，归纳出第n个图案的木棍数的规律． 【详解】解：由题意可知，第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第个图案用的木棍根数是， 当时，木棍根数为． 2．（2026·辽宁锦州·二模）唐三彩是唐代经典的低温釉陶器，也是我国古代陶瓷艺术的杰出代表（如图1）．如图2，小颖依据该唐三彩器物的纹样，用木棒摆放如下规律图案：第①个图案中有10根木棒，第②个图案中有16根木棒，第③个图案中有22根木棒，…，按照这一规律，第⑤个图案中木棒的根数是（     ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】D 【分析】先计算相邻两个图案的木棒数量差值，判断木棒数变化的规律，因为已知前三个图案的木棒数，且相邻两项差值固定，所以可确定该规律的表达式，将代入公式，计算得到对应木棒数． 【详解】找规律： 第①个图案：根木棒， 第②个图案：根木棒 ， 第③个图案：根木棒 ， 可得规律：第个图案的木棒根数为 ，后一个图案比前一个图案多6根木棒， ∴第⑤个图案的木棒数： 将代入公式，得 ， ∴第⑤个图案有34根木棒， 3．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从系数、的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第个代数式． 【详解】解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为， 则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为， 则的次数规律为； 第个代数式为． 4．（25-26七年级上·四川凉山·期末）少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个基础图形组成的有规律的图案：第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，…，如图，按此规律排列下去，第个图案中的基础图形个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过前三个图案的基础图形数量，总结出第个图案的基础图形数量的表达式，再代入计算求解． 【详解】解：观察图案可知： 第1个图案的基础图形个数为， 第2个图案的基础图形个数为， 第3个图案的基础图形个数为， 由此可归纳出规律：第个图案的基础图形个数为． 当时，． 所以第个图案中的基础图形个数为， 故选：B． 5．（2026·河南漯河·二模）观察式子：，则该多项式的第项是______． 【答案】 【分析】分别对单项式中的指数和分母的常数进行规律分析，归纳得到第项的表达式． 【详解】解：当时，第1项为， 当时，第2项为， 当时，第3项为， 当时，第4项为， ... 依此类推，可得该多项式的第项为， 故答案为：． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形⋯按此规律，第506个图案中有______个正三角形． 【答案】2026 【分析】观察前三个图案并结合已知条件，发现后一个图案比前一个图案多4个正三角形，归纳出第n个图案中正三角形个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：∵第1个图案中有6个正三角形， 第2个图案中有10个正三角形， ， 第3个图案中有14个正三角形，， 每增加一个图案，正三角形个数增加4个， ∴第n个图案中正三角形的个数为：． 当时，正三角形的个数为：． 7．（2026·甘肃白银·一模）如图，分形树是一种体现自然生长规律的数学模型，其“自相似、渐繁茂”的生长特征既蕴含着简洁统一的数学美，也隐喻着自然界高效有序的生长智慧．分形树的生长规律如下：第1个图形由1条主干组成，第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，…，以此类推，每个新图形都是在前一个图形的每条末端树枝顶端生长出2条新树枝，那么第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】由前面几个特殊情况，分析得到规律即可． 【详解】解：第1个图形由1条主干组成，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第4个图形是在第3个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； … 以此类推，第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是． 8．（2026·浙江宁波·二模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 【答案】66 【分析】根据题意，分析展开式中从左起第三项的系数的变化规律，可得的第三项系数为，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中从左起第三项的系数为． 9．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)22 (3) 【详解】（1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人． （2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了 （张）桌子． （人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人． （3）解：人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人． 10．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察所给的式子即可求出； （2）根据题意把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式为 （2）解： 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是由大小相同的五角星摆出的一组有规律的图形，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，，按照这样的规律摆下去． (1)第个图形中有_____颗五角星； (2)请你用含的代数式表示第个图形中五角星的数量； (3)求第个图形中五角星的数量． 【答案】(1) (2)颗 (3)颗 【分析】本题考查了图形变化以及列代数式： （1）根据所给图形，依次求出图形中五角星的个数，根据发现的规律求出第 6 个图形中的五角星即可； （2）根据（1）中发现的规律即可； （3）根据发现的规律求出代入数值计算． 【详解】（1）由所给图形可知，第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 所以第个图形中五角星的数量是颗， 当时， ， 故答案为：． （2）由（1）可知，第个图形中五角星的数量是颗． （3）当时，（颗）， 所以第个图形中五角星的数量是颗． 12．（25-26七年级上·陕西延安·期末）用边长相同的正方形和三角形两种瓷砖进行设计、拼接，铺设地面．如图，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，⋯⋯依此类推． (1)用含的代数式表示第个图案中三角形的个数； (2)张叔叔用这种图案铺设地面，若每块正方形瓷砖8元，每块三角形瓷砖12元，当时，求购买瓷砖共需花费的钱数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到规律是解题的关键. （1）观察图案可知后面一个图形比前面一个图形的正三角形数量多3，据此列式求解即可； （2）先找到规律第个图案有个正方形，进而求出当时，正方形的个数和正三角形的个数，然后分别算出两种瓷砖的花费，然后求和即可． 【详解】（1）解：第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，后面一个图形比前面一个图形的正三角形数量多3， ∴第个图案中有个正三角形． （2）第1个图案有1个正方形， 第2个图案有2个正方形， 第3个图案有3个正方形， 第4个图案有4个正方形， ……， 以此类推可知，第个图案有个正方形， ∴当，即第个图案中，有个正方形，有个正三角形， ∴铺设地面共需花元购买瓷砖． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练04 整式中数字类和图形类规律探究问题 【知识点1 数字类规律】 ①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为或或 ②数字规律：数字规律需要视题目而确定 字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式 【知识点2 算式类规律】 算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。 常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。 【知识点3 图形类规律】 通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。 【题型1 数列的规律】 1．（2025·云南昆明·校考模拟预测）观察下列按一定规律排列的数：，1，9，1，，1，81，1，…，则第15个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）观察下列式子的规律：、、、、…，则第个式子为 ． 【题型2 数（图）表的规律】 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）将正整数1，2，3，4，5，6，…按如表数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如表示14，则2024用数对表示为 ． 1 2 3 4 9 8 7 6 5 10 11 12 13 14 15 16 25 24 23 22 21 20 19 18 17 …… 4．（2025·山东泰安·校考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________． 第一行                   第二行                   第三行                    第四行                    第五行                    【题型3 算式的规律】 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据上述规律，请判断下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·黑龙江·阶段练习）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 请用上面得到的规律计算： ． 【题型4 图形的规律（一次类）】 7．（24-25七年级上·山西阳泉·期中）如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基础图形，第2个图案中有7个基础图形，第12个图案中的基础图形个数为（　　）    A．35 B．36 C．37 D．38 8．（24-25七年级上·江苏·期中）用小棒按照如下方式摆图形摆第10个图形需要 根小棒． 【题型5 图形的规律（二次类）】 9．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是 ． 10．（24-25七年级上·海南·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是 个．第n个图形中圆的个数是 个． 【题型6 图形的规律（指数类）】 11．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）有许多非常复杂的几何图形可以由简单的数学规则创造出来．比如谢尔宾斯基三角形，它的构造方法是：以一个等边三角形为初始图形，每次将等边三角形分割成4个边长为原来一半的小三角形，并去掉其中间的小三角形，将这个过程反复进行下去，就可以得到无限细节的谢尔宾斯基三角形，如下图所示，按此规律，第n个图形中剩余的三角形（黑色三角形）的个数为 ． 【题型7 循环规律类问题】 13．（2023·江苏扬州·统考二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去，第1000次输出的结果是（   ） A．4 B． C．1 D． 1．（25-26七年级上·山西大同·期末）观察下列图形的个数规律，则第n个图形中的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）有一数列，前五个数依次为、、、、，…，则这个数列的第n项是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期末）观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）1883年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称为康托尔集．如图，取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段，…，将这样的操作无限地重复下去，余下的线段的长度趋于0，将它们看成无穷个点，称为康托尔集，那么经过第n个阶段后，留下的线段的长度之和为（    ） 开始构造： A． B． C． D．无法确定 5．（2026·河南三门峡·二模）观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 6．（2026·山西运城·一模）将形状、大小完全相同的小圆点“•”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中小圆点的个数为___________． 7．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第1个图形用了8根火柴棒，第2个图形用了14根火柴棒，第3个图形用了20根火柴棒，…，则第5个图形需要的火柴棒的根数为_________． 8．（25-26七年级上·山西阳泉·期末）如图是某布匹上的一组有规律的印花图案，第1个图案中有6个“”，第2个图案中有10个“”，第3个图案中有14个“”，．．．，第个图案中有___________个“”．（用含的代数式表示） 9．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人． (1)观察上图，根据规律将表格补充完整． 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（    ）人． 10．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 11．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 12．（25-26七年级上·广东惠州·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 2．（2026·辽宁锦州·二模）唐三彩是唐代经典的低温釉陶器，也是我国古代陶瓷艺术的杰出代表（如图1）．如图2，小颖依据该唐三彩器物的纹样，用木棒摆放如下规律图案：第①个图案中有10根木棒，第②个图案中有16根木棒，第③个图案中有22根木棒，…，按照这一规律，第⑤个图案中木棒的根数是（     ） A．28 B．30 C．32 D．34 3．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川凉山·期末）少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个基础图形组成的有规律的图案：第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，…，如图，按此规律排列下去，第个图案中的基础图形个数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南漯河·二模）观察式子：，则该多项式的第项是______． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形⋯按此规律，第506个图案中有______个正三角形． 7．（2026·甘肃白银·一模）如图，分形树是一种体现自然生长规律的数学模型，其“自相似、渐繁茂”的生长特征既蕴含着简洁统一的数学美，也隐喻着自然界高效有序的生长智慧．分形树的生长规律如下：第1个图形由1条主干组成，第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，…，以此类推，每个新图形都是在前一个图形的每条末端树枝顶端生长出2条新树枝，那么第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是________．（用含的代数式表示） 8．（2026·浙江宁波·二模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 9．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 10．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________； (2)求的值． 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是由大小相同的五角星摆出的一组有规律的图形，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，，按照这样的规律摆下去． (1)第个图形中有_____颗五角星； (2)请你用含的代数式表示第个图形中五角星的数量； (3)求第个图形中五角星的数量． 12．（25-26七年级上·陕西延安·期末）用边长相同的正方形和三角形两种瓷砖进行设计、拼接，铺设地面．如图，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，⋯⋯依此类推． (1)用含的代数式表示第个图案中三角形的个数； (2)张叔叔用这种图案铺设地面，若每块正方形瓷砖8元，每块三角形瓷砖12元，当时，求购买瓷砖共需花费的钱数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $