精品解析：陕西省宝鸡市渭滨区职业教育中心2026届高三下学期第12周考数学试题

宝鸡市渭滨区职业教育中心2026届高三下 第12周考数学试题 考试时间：2026.05.15 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1. 已知集合，则 A的非空真子集有（ ） A. 13个 B. 14个 C. 15个 D. 16个 2. 设 均为单位向量，则“”是 “  ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. ，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 7. 设，则“ ” 是 “ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 9. 等差数列 中 ，，则该数列前16项的和为（ ） A. 20 B. 40 C. 80 D. 160 10. 下列与向量垂直的向量为（ ） A. B. C. D. 11. 正方体外接球和内切球的体积比为（ ） A. B. C. D. 12. 箱子里有6张卡片，分别写着如下定义域为R的函数：， ，，， ，现从箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，则所得新函数为奇函数的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13. 若_____________. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_________． 15. 某职教中心400名学生进行高考体检，编号为1，2，3，…，400，现用系统抽样法抽取50名学生进行抽检，若33号学生被抽到，则第7组被抽到的学生编号为________． 16. 若某圆锥的母线长为，底面周长为，则此圆锥的体积为________． 三、解答题（共6题，共70分，17题10分，其余每题12分） 17. 已知向量，， （1）若，求的值； （2）求的余弦值. 18. 已知 （1）求的值. （2）若为第三象限角，求的值. 19. 已知等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）设，，，求数列的前n 项和. 20. 已知以为圆心的圆与直线相交于两点，且 为直角三角形 . （1）求弦的长； （2）求圆的方程. 21. 润家购物广场为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示： 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上 顾客数（人） 30 25 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占. （1）确定的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. 22. 某海景酒店有间海景房，若每间房一天的住宿费用为元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元（），则入住的房间数会相应减少x间． （1）求该海景酒店每天的收入y元关于x的函数解析式； （2）若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡市渭滨区职业教育中心2026届高三下 第12周考数学试题 考试时间：2026.05.15 时间：120分钟 分数：150分 一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1. 已知集合，则 A的非空真子集有（ ） A. 13个 B. 14个 C. 15个 D. 16个 【答案】B 【解析】 【分析】先确定集合A的元素个数，再利用含n个元素的集合的非空真子集个数公式计算结果. 【详解】集合A共含有4个元素，则非空真子集有个. 故选：B. 2. 设 均为单位向量，则“”是 “  ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方的运算性质，结合单位向量的定义和向量垂直的充要条件，分别验证充分性和必要性即可得出结论. 【详解】已知  为单位向量，因此 若 ，则 展开得： 代入 ，整理得 ，即 . 因此 ，充分性成立. 若，根据向量垂直的充要条件得. ， 因此 ，即 ，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可转化为， 解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 4. 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组即可得解. 【详解】， 则，解得， 所以定义域为， 故选：. 5. ，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用指数函数与对数函数的单调性比较大小即可求解. 【详解】因为对数函数，底数，在上为增函数， ，即； 因为对数函数，底数，在上为增函数， ，即； 因为指数函数，底数，所以在上为减函数， ，即， 所以， 故选：. 6. 已知，，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先利用三角函数诱导公式化简已知等式得到，再结合的取值范围筛选出符合条件的解即可. 【详解】. 因为且，所以. 又因为，所以或. 故选：D. 7. 设，则“ ” 是 “ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，判断两个命题的推出关系即可. 【详解】若满足，无法推出，例如取，故充分性不成立； 若满足，由于，因此必然有，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦长公式求解即可. 【详解】圆的圆心为. 则圆心到直线的距离. 弦长的一半为1，． 故选：A． 9. 等差数列 中 ，，则该数列前16项的和为（ ） A. 20 B. 40 C. 80 D. 160 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及其前项和公式求解即可. 【详解】等差数列 中 ，， 则该数列前16项的和为. 故选：D. 10. 下列与向量垂直的向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两平面非零向量垂直的充要条件为数量积等于0，逐一计算各选项向量与已知向量的数量积即可判断. 【详解】选项A.不妨设，则，不满足垂直条件； 选项B.不妨设，则，不满足垂直条件； 选项C.不妨设，则，满足垂直条件； 选项D.不妨设，则，不满足垂直条件. 故选：C. 11. 正方体外接球和内切球的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体棱长，分别推导其内切球、外接球的半径，结合球的体积公式计算体积比即可. 【详解】设正方体的棱长为， 正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，所以内切球半径， 正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 因为正方体的体对角线长为，所以外接球半径， 则正方体外接球体积，内切球体积， 所以正方体外接球和内切球的体积比为. 故选：D. 12. 箱子里有6张卡片，分别写着如下定义域为R的函数：， ，，， ，现从箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，则所得新函数为奇函数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断6个函数的奇偶性，结合奇偶函数乘法性质确定符合条件的组合数，再利用古典概型公式计算概率. 【详解】因为卡片上的函数均为定义域为R的函数， 所以定义域均关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 因为， 所以为非奇非偶函数， 因为，所以为偶函数， 因为，所以为奇函数， 因为，所以为偶函数， 因为， 所以为奇函数， 所以6张卡片中，有个为奇函数，个为偶函数， 若从6张卡片中任取2张卡片共有种可能， 将卡片上的函数相乘得到一个新函数， 若新函数为奇函数，则取出的卡片为一奇一偶，有， 所以所得新函数为奇函数的概率是， 故选：A. 二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13. 若_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性代入即可解得 【详解】因为当时，， 所以 由于函数为奇函数， 则， 故答案为： 15. 某职教中心400名学生进行高考体检，编号为1，2，3，…，400，现用系统抽样法抽取50名学生进行抽检，若33号学生被抽到，则第7组被抽到的学生编号为________． 【答案】49 【解析】 【分析】先计算系统抽样的抽样间隔，再根据33号所在组数，利用等距特征计算第7组被抽到的编号. 【详解】已知总体有名学生，要抽取名学生，则抽样间隔. 第组（）的编号范围为， 由不等式，解得，即33号为第5组抽到的学生编号. 第7组与第5组的组数差为， 因此第7组被抽到的学生编号为. 故答案为：. 16. 若某圆锥的母线长为，底面周长为，则此圆锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的底面半径及高，再利用圆锥的体积公式计算. 【详解】设圆锥的底面半径为， 因为底面周长为，所以，即， 又圆锥的母线长为，则圆锥的高， 则此圆锥的体积为. 故答案为：. 三、解答题（共6题，共70分，17题10分，其余每题12分） 17. 已知向量，， （1）若，求的值； （2）求的余弦值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据平面向量线性运算的坐标表示求出与的坐标，利用平面向量的平行列出方程即可得解. （）根据平面向量的夹角公式即可得解. 【小问1详解】 向量，， ，， 因为，则， 解得. 【小问2详解】 向量，， 则，，， 所以. 18. 已知 （1）求的值. （2）若为第三象限角，求的值. 【答案】（1）. （2），. 【解析】 【分析】（）根据诱导公式求出，利用诱导公式化简所求式子即可得解. （）根据同角三角函数基本关系式即可得解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为，为第三象限角， 则，解得， 所以，. 19. 已知等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）设，，，求数列的前n 项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等差数列的已知两项建立方程组求解首项和公差，得到通项公式； （2）将拆分为等差数列和等比数列分别求和，合并得到前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，. 由等差数列通项公式，结合，， 可得方程组：， 两式作差得，解得. 将代入，解得. 因此数列的通项公式为：. 【小问2详解】 将代入，得：, 可知是首项，公比的等比数列. 因为，所以的前项和为与的前项和之和： 等差数列的前项和：, 等比数列的前项和： 因此的前项和为：. 20. 已知以为圆心的圆与直线相交于两点，且 为直角三角形 . （1）求弦的长； （2）求圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的弦心距，再结合等腰直角三角形的性质求解弦长 （2）根据（1），求出半径，利用圆心以及半径，求出圆的标准方程 【小问1详解】 圆心到直线的距离. 因为、均为圆的半径，故. 又为直角三角形，因此直角顶点为，即为等腰直角三角形. 弦心距为等腰直角斜边上的高，根据等腰直角三角形性质，斜边上的高等于斜边的， 即，因此. 【小问2详解】 设圆的半径为，即. 在等腰直角中，由勾股定理得，即，解得. 已知圆的圆心为，因此圆的标准方程为. 21. 润家购物广场为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示： 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上 顾客数（人） 30 25 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占. （1）确定的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. 【答案】（1），，顾客一次购物结算时间的平均值估计为1.9分钟 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据总人数和超过8件顾客的占比求解，再通过平均数的计算公式求解， （2）利用古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，100位顾客中一次购物量超过8件的人数为， 该类顾客对应表格中9至12件、13至16件、17件以上的群体， 因此有，解得， 结合总人数为100，可得，代入，解得， 所以顾客一次购物的结算时间的平均值估计为（分钟）. 【小问2详解】 结算时间不超过2分钟的顾客包含一次购物量1至4件、5至8件、9至12件的群体，总人数为， 所以一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 22. 某海景酒店有间海景房，若每间房一天的住宿费用为元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元（），则入住的房间数会相应减少x间． （1）求该海景酒店每天的收入y元关于x的函数解析式； （2）若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？ 【答案】（1）（） （2）每间房住宿费用定为元，当日最高收入为元 【解析】 【分析】（1） 根据“日收入=单房定价×入住房间数”的等量关系建立函数解析式即可. （2）利用开口向下的二次函数的最值性质求解最优定价和最高收入即可. 【小问1详解】 由题意可知，每间房的定价为元， 实际入住房间数为间，其中， 则（）. 【小问2详解】 由（1）可得，（）， 其中二次项系数，该函数图像开口向下， 对称轴为，因为且， 所以当时，最大，最大值为元. 此时每间房住宿费用为元， 即每间房住宿费用定为元，当日最高收入为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $