精品解析：2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试中职数学试卷

2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 中职数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分. 2．作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案） 1. 已知集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程组即可得解. 【详解】集合，集合， ，解得， 所以， 故选：. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由含绝对值的不等式的基本解法即可解得. 【详解】解：因为，所以， 则，即， 所以不等式的解集为. 故选：C 3. 椭圆的焦距为2，则实数的值为（ ） A. 1 B. 1或9 C. 4 D. 4或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆焦点位置的不同，结合椭圆中、、的关系以及焦距公式来求解的值. 【详解】设为半焦距， 已知椭圆焦距为，则，可得. 对椭圆分两种情况讨论： 当焦点在轴上时，满足，，， 由可得，即， 当焦点在轴上时，满足，，， 由可得，即， 综上，的值为4或6， 故选：D. 4. 已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简得  且 ，再判断角所在的象限即可. 【详解】因为，， 所以角在第二象限. 故选：B. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，分母的性质及指数幂的运算法则列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得且， 所以定义域为， 故选：. 6. 已知直线：与直线：垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】直线：与直线：垂直， 所以，解得， 故选：. 7. 在2026年伦敦世乒赛男团比赛中，中国队队员甲要参加两盘比赛．设事件为“甲两盘都胜”，为“甲两盘都负”，为“甲恰有一盘胜”，为“甲至少有一盘胜”，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确各事件对应的比赛结果，再逐一判断事件的包含、交、并运算是否成立． 【详解】甲参加两盘比赛的所有结果对应3个互斥事件：A（两盘都胜）、C（恰有1盘胜）、B（两盘都负）， 事件D“至少有1盘胜”包含“恰有1盘胜”和“两盘都胜”两种情况，即． 对选项A：若事件A发生，则必然满足“至少有1盘胜”，即D一定发生，故，故A正确． 对选项B：事件B（两盘都负）和事件D（至少1盘胜）不可能同时发生，故，故B正确． 对选项C：A是两盘都胜，C是恰有1盘胜，二者的并集就是所有“至少1盘胜”的情况，故，故C正确． 对选项D：左边表示“两盘都胜或两盘都负”，右边，即所有比赛结果，二者不相等，故D错误． 故选：D． 8. 若函数（）的图象与直线只有一个交点，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过的取值范围确定的取值范围，结合正弦函数在上的图象与性质，判断直线与给定函数仅有一个交点时的取值即可 【详解】当时，， 所以，则， 函数在是一个完整周期的正弦曲线， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 若直线与图像只有一个交点，说明直线只经过函数的最高点或最低点， 因为当时函数与有两个或三个交点， 当时，函数与没有交点， 所以或， 故选：D. 9. 从数字，，，中任意取出3个数字（允许重复）组成三位数，且各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按组成三位数的三个数字的重复情况分类，分别计算每类对应的三位数个数后求和. 【详解】由题意，各位数字取自，且三个数字之和为6，分三类讨论： ① 三个数字完全相同：仅满足条件，可组成1个三位数222； ② 两个数字相同、一个数字不同：设相同数字为，不同数字为，则，其中且， 解得，即组合为，从3个数位中选1个放置4，剩余位置放置1，共个三位数； ③ 三个数字均不同：三个不同的正整数和为6，仅满足条件，三个不同数字的全排列为个， 对应6个不同的三位数。 综上，符合条件的三位数总个数为. 故选：A. 10. 已知函数则方程的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论当和时，列出方程即可得解. 【详解】函数，且， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以解集为， 故选：. 11. 已知圆锥曲线关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据离心率为1确定曲线为抛物线，再分对称轴为x轴、y轴两种情况设标准方程，代入已知点求解参数后计算对应准线方程即可. 【详解】圆锥曲线中离心率的曲线为抛物线. 若对称轴为x轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 对称轴为y轴的情况 设抛物线标准方程为， 将点代入方程，即，解得，进而准线. 综上，该曲线的准线方程为或. 故选：C. 12. 一个正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则它的高和斜高分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用正四棱锥的结构特征，结合勾股定理计算求解即可. 【详解】已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3， 侧棱、斜高以及底面正方形边长的一半构成直角三角形， 则斜高为， 斜高、高以及底面正方形边长的一半构成直角三角形， 则高为， 所以它的高和斜高分别为，， 故选：A. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案写在答题卡指定位置上） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的运算性质、诱导公式及特殊角的三角函数的值计算即可. 【详解】 . 故答案为：0. 14. 已知函数，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，再利用奇函数的性质求解的值. 【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数. 所以. 已知，所以. 故答案为：. 15. 经过点且倾斜角为的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据倾斜角求出直线斜率，再根据点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线倾斜角为，所以直线斜率为. 又因为直线过点，所以，化简得. 故答案为：. 16. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则两次的点数之和除以4的余数为3的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，总的基本事件个数为， 两次的点数之和除以4的余数为3有， 共个基本事件， 所以其概率为， 故答案为：. 17. 一个长方体形的铁块长、宽、高分别为6，4，9，将它熔化后铸成一个正方体形的铁块（不计损耗），则铸成的铁块的棱长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据熔化前后的体积不变，结合棱柱体积公式列出方程即可得解. 【详解】将长方体铁块熔化后铸成一个正方体形的铁块，则体积不变， 设正方体铁块的棱长为， 则，解得， 所以铸成的铁块的棱长为， 故答案为：. 18. 比较大小：________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定两个对数有意义的公共定义域，再根据自然对数的单调性比较真数大小，即可得到两个对数的大小关系 【详解】要使和有意义， 则，解得， 因为在上为增函数， 当时，，， 所以，则， 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分．将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 已知点，，．若点满足，且，求点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，表示出题干涉及的所有向量，利用平面向量共线、垂直的坐标运算性质列方程组，求解方程组即可得到点坐标。 【详解】设点的坐标为， 且点，，， 所以， ， ， ， 因为，， 所以，即， 解得， 所以点的坐标为. 20. 等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 【答案】 第10项 【解析】 【分析】先通过等差数列的前项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，， 根据等差数列前项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 21. 某单位有一块如图所示的四边形空地，测得，，，，． （1）求的值； （2）若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为元，需要投入多少资金？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出的长，再由余弦定理求出的值，最后由二倍角的余弦公式求值即可. （2）根据三角形的面积公式求值即可. 【小问1详解】 连接，因为， ，， 所以， 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 所以，则， 所以，， 所以，因为每平方米成本为元， 所以需要投入元. 22. 已知直线：与圆相切，且圆心的坐标为． （1）求圆的标准方程； （2）设，分别为圆与轴的交点，为圆与直线的切点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切时半径等于圆心到切线的距离，结合圆的标准方程形式求解； （2）先求圆与轴交点得到的长度，再求切点的坐标，利用三角形面积公式计算面积即可. 【小问1详解】 直线整理为一般式为， 因为直线与圆相切，故半径等于圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得：， 因此， 又因为圆心的坐标为， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 令，代入圆的方程得：， 整理得，解得， 可记作点的纵坐标为，点的纵坐标为， 故， 圆心与切点的连线垂直于切线，直线的斜率为，故直线的斜率为， 由点斜式得直线的方程为，即， 联立直线与直线的方程：，解得，即， 因为在轴上，故点到直线的距离为， 由三角形面积公式得：. 23. 已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为25，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数顶点式设解析式，代入已知点求解参数得到解析式； （2）解一元二次不等式得到  的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴判断区间单调性，求解对应区间的最值. 【小问1详解】 已知二次函数图象顶点为，设二次函数顶点式为， 将点 代入解析式得：，解得， 代入顶点式展开得：. 【小问2详解】 由题意 ，代入解析式得： ， 可得，解得， 即的取值范围为. 【小问3详解】 二次函数的二次项系数 ，图象开口向上，对称轴为直线 . 给定区间全部位于对称轴左侧， 因此函数在上单调递减. 函数在区间左端点处取得最大值： 函数在区间右端点  处取得最小值：. 24. 如图，矩形所在的平面与梯形所在的平面垂直，且，，，点， 分别是， 的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接通过证明四边形为平行四边形得到，进而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）先证明平面，从而确定为在平面上的射影，即为所求角，在中求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为， 分别是， 的中点， 所以， 因为为矩形，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面平面， 平面平面， 因为为矩形，所以， 所以平面，因为平面， 所以，因为， 所以，平面， 所以平面，即为在平面上的射影， 所以是直线与平面所成角， 在中，，则， 因为， 所以，即直线与平面所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 中职数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分. 2．作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案） 1. 已知集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的焦距为2，则实数的值为（ ） A. 1 B. 1或9 C. 4 D. 4或6 4. 已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：与直线：垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在2026年伦敦世乒赛男团比赛中，中国队队员甲要参加两盘比赛．设事件为“甲两盘都胜”，为“甲两盘都负”，为“甲恰有一盘胜”，为“甲至少有一盘胜”，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数（）的图象与直线只有一个交点，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 9. 从数字，，，中任意取出3个数字（允许重复）组成三位数，且各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数则方程的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆锥曲线关于坐标轴对称，其顶点在坐标原点，离心率为1，且经过点．则该曲线的准线方程为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 12. 一个正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则它的高和斜高分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案写在答题卡指定位置上） 13. 计算：________． 14. 已知函数，且，则________． 15. 经过点且倾斜角为的直线方程为________． 16. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则两次的点数之和除以4的余数为3的概率是________． 17. 一个长方体形的铁块长、宽、高分别为6，4，9，将它熔化后铸成一个正方体形的铁块（不计损耗），则铸成的铁块的棱长为________． 18. 比较大小：________． 三、解答题（本大题共6小题，共60分．将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 已知点，，．若点满足，且，求点的坐标． 20. 等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 21. 某单位有一块如图所示的四边形空地，测得，，，，． （1）求的值； （2）若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为元，需要投入多少资金？ 22. 已知直线：与圆相切，且圆心的坐标为． （1）求圆的标准方程； （2）设，分别为圆与轴的交点，为圆与直线的切点，求的面积． 23. 已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 24. 如图，矩形所在的平面与梯形所在的平面垂直，且，，，点， 分别是， 的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $