2027届高考数学一轮复习专项拔高抢分练类型3 “6+2+2+3”95分满分练4

**基本信息** 以“6+2+2+3”题型结构整合代数、几何、统计模块，通过典例解析系统呈现定义法、方程思想等解题方法，强化知识逻辑与核心素养的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|8题|复数共轭运算、集合补交步骤、数列中项性质、三角函数角变换、函数周期推导、向量线性表示|概念生成（复数模）→原理推导（函数周期）→应用拓展（向量运算）| |几何|3题|立体几何线面平行判定、解三角形正余弦定理、抛物线韦达定理应用|空间想象（圆锥形成）→逻辑推理（线面关系）→模型构建（抛物线方程）| |统计|2题|频率分布直方图计算、线性回归方程求解与预测|数据收集（体重数据）→数据分析（频率计算）→数据应用（回归预测）|

“6+2+2+3”95分满分练4 (70分钟　95分) 一、单选题(每小题5分,共30分) 1.复数z满足(3−4i)z=5i,则z·=(　　) A. B.1 C. D.2 2.若集合A={x|x2−5x−6≤0},B={x|y=ln (2x−14)},则(RA)∩B=(　　) A.(−1,7] B.(−1,6] C.(7,+∞) D.(6,+∞) 3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作,其书中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测影子的长度),夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长依次成等差数列,经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为49.5尺,夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺,则立秋的晷长为(　　) A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 4.已知cos (α+)=,则sin (2α−)=(　　) A.− B. C.− D. 5.已知函数f(x)满足:f(x)+f(x+2)+f(x)f(x+2)=1,f(−1)=0,则下列说法正确的有(　　) A.f(x)是周期函数 B.f(2 024)=0 C.f(2+x)=f(2−x) D.f(x)图象的一个对称中心为(0,1) 6.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象在y轴上的截距为,是该函数的最小正零点,则(　　) A.φ= B.f(x)+f'(x)≤2恒成立 C.f(x)在(0,)上单调递减 D.将y=f(x)的图象向右平移个单位,得到的图象关于y轴对称 二、多选题(每小题6分,共12分) 7.为了解学生的身体状况,某校随机抽取了100名学生测量体重,经统计,这些学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间,将数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则(　　) A.频率分布直方图中a的值为0.04 B.这100名学生中体重不低于60千克的人数为20 C.这100名学生体重的众数约为52.5 D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数为61.25 8.如图1,半圆O的直径为4,点B,C三等分半圆,P,Q分别为OB,OC的中点,将此半圆以OA为母线卷成如图2所示的圆锥,D为BC的中点,则在图2中,下列结论正确的有(　　) A.PQ= B.AD⊥平面OBC C.PQ∥平面ABC D.三棱锥P−ABC与Q−ABC公共部分的体积为 三、填空题(每小题5分,共10分) 9.(2025·天津高考)在△ABC中,D为AB边中点,=.记=a,=b,则=__________(用a,b表示).若||=5,且AE⊥CB, 则·=__________.  10.在△ABC中,三边a,b,c所对应的角分别是A,B,C,已知a,b,c成等比数列.若=,数列{an}满足an=,前n项和为Sn,则S2n=______________.  四、解答题(共43分) 11.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知acos B−bcos A=−a−c. (1)求B; 12.(15分)国家发改委和住建部等六部门发布通知,提到:2025年,农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升,现阶段我国生活垃圾有填埋、焚烧、堆肥等三种处理方式,随着我国生态文明建设的不断深入,焚烧处理已逐渐成为主要方式,根据国家统计局公布的数据,对2013~2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y(单位:座)进行统计,得到如下表格: 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 垃圾焚烧无害化 处理厂的个数y 166 188 220 249 286 331 389 463 (1)根据表格中的数据,可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系,请用相关系数加以说明(精确到0.01); (2)求出y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01),并预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数; (3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数,还能用(2)所求的线性回归方程预测吗?请简要说明理由. 13.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(2,t)到其焦点F的距离为3,A,B为抛物线C上异于原点的两点.延长AF,BF分别交抛物线C于点M,N,直线AN,BM相交于点Q. (1)若AF⊥BF,求四边形ABMN面积的最小值; (2)证明:点Q在定直线上. “6+2+2+3”95分满分练4参考答案 (70分钟　95分) 一、单选题(每小题5分,共30分) 1.复数z满足(3−4i)z=5i,则z·=(　　) A. B.1 C. D.2 【解析】选B.由题意知z===−+i, 所以z·=(−+i)·(−i)=+=1. 2.若集合A={x|x2−5x−6≤0},B={x|y=ln (2x−14)},则(RA)∩B=(　　) A.(−1,7] B.(−1,6] C.(7,+∞) D.(6,+∞) 【解析】选C.A={x|x2−5x−6≤0}={x|−1≤x≤6},B={x|y=ln (2x−14)} ={x|2x−14>0}={x|x>7},所以RA=(−∞,−1)∪(6,+∞), 所以(RA)∩B=(7,+∞). 3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作,其书中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测影子的长度),夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长依次成等差数列,经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为49.5尺,夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺,则立秋的晷长为(　　) A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 【解析】选D.因为夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长依次成等差数列,设其首项为a1,公差为d, 根据题意⇒⇒ 所以立秋的晷长为a4=1.5+3=4.5(尺). 4.已知cos (α+)=,则sin (2α−)=(　　) A.− B. C.− D. 【解析】选D.sin (2α−)=sin [2(α+)−=−cos[2(α+)] =1−2cos 2(α+)=1−2×=. 5.已知函数f(x)满足:f(x)+f(x+2)+f(x)f(x+2)=1,f(−1)=0,则下列说法正确的有(　　) A.f(x)是周期函数 B.f(2 024)=0 C.f(2+x)=f(2−x) D.f(x)图象的一个对称中心为(0,1) 【解析】选A.对于A,由于(f(x)+1)(f(x+2)+1)=1+f(x)+f(x+2)+f(x)f(x+2)=1+1=2, 故(f(x)+1)(f(x+2)+1)=2. 从而(f(x+2)+1)(f(x+4)+1)=2, 这就得到(f(x+2)+1)(f(x+4)+1)=(f(x)+1)(f(x+2)+1)≠0, 所以f(x+4)+1=f(x)+1,即f(x+4)=f(x). 所以f(x)是周期函数,故A正确; 对于B,C,D,取f(x)=,则f(x)满足条件, 但f(2 024)=−1,f(2−1)=f(1)=1≠0=f(3)=f(2+1),同时由于f(−1)=0,f(1)=1,从而(−1,0)关于(0,1)的对称点(1,2)并不在函数图象上,故B,C,D错误. 6.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象在y轴上的截距为,是该函数的最小正零点,则(　　) A.φ= B.f(x)+f'(x)≤2恒成立 C.f(x)在(0,)上单调递减 D.将y=f(x)的图象向右平移个单位,得到的图象关于y轴对称 【解析】选C.对于A,函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象在y轴上的截距为, 所以cos φ=,因为0<φ<,所以φ=,故A错误; 对于B,因为是该函数的最小正零点, 所以cos(ω·+)=0,所以ω·+=, 解得ω=2,所以f(x)=cos(2x+),f'(x)=−2sin(2x+), 所以f(x)+f'(x)=cos(2x+)−2sin(2x+)=cos(2x++θ)≤ (其中tan θ=2),故B错误; 对于C,当x∈(0,)时,2x+∈(,π),故C正确; 对于D,将y=f(x)的图象向右平移个单位,得到y=cos[2(x−)+ =cos(2x−), 是非奇非偶函数,图象不关于y轴对称,故D错误. 二、多选题(每小题6分,共12分) 7.为了解学生的身体状况,某校随机抽取了100名学生测量体重,经统计,这些学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间,将数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则(　　) A.频率分布直方图中a的值为0.04 B.这100名学生中体重不低于60千克的人数为20 C.这100名学生体重的众数约为52.5 D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数为61.25 【解析】选ACD.由(0.01+0.07+0.06+a+0.02)×5=1,解得a=0.04,故选项A正确; 体重不低于60千克的频率为(0.04+0.02)×5=0.3,所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为0.3×100=30,故选项B错误; 100名学生体重的众数约为=52.5,故选项C正确; 因为体重不低于60千克的频率为0.3,而体重在[60,65)的频率为0.04×5=0.2, 所以估计该校学生体重的75%分位数为60+5×=61.25,故选项D正确. 8.如图1,半圆O的直径为4,点B,C三等分半圆,P,Q分别为OB,OC的中点,将此半圆以OA为母线卷成如图2所示的圆锥,D为BC的中点,则在图2中,下列结论正确的有(　　) A.PQ= B.AD⊥平面OBC C.PQ∥平面ABC D.三棱锥P−ABC与Q−ABC公共部分的体积为 【解析】选ACD.对于A,连接OD,AC,AB,设圆锥的底面圆半径为r,则2πr=×4π,解得r=1, 因为在题图1中,点B,C三等分半圆, 所以在题图2中,点B,C为圆锥的底面圆周的三等分点,所以△ABC为等边三角形, 所以=2r=2, 所以BC=, 又因为点P,Q分别是OB,OC的中点, 所以PQ=BC=,故A正确; 对于B, 因为△ABC边长为的等边三角形,△OBC为等腰三角形,点D是BC的中点, 所以AD=,OD==, 而AO=2,所以AD2+OD2=+≠4=AO2,这表明AD与OD不垂直,故B错误; 对于C,因为点P,Q分别是OB,OC的中点, 所以PQ∥BC, 因为PQ⊄平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以PQ∥平面ABC,故C正确; 对于D,连接BQ,CP交于点E,连接AQ,OE并延长OE,则由对称性可知OE必定交BC于点D, 则三棱锥P−ABC与三棱锥Q−ABC公共部分即为三棱锥E−ABC, 因为点P,Q分别是OB,OC的中点, 所以点E为△OBC的重心,所以DE=OD=, 由上易知,圆锥的轴截面为边长为2的正三角形,所以圆锥的高为, 所以VE−ABC=VO−ABC=××(×××)×=, 所以三棱锥P−ABC与三棱锥Q−ABC公共部分的体积为,故D正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 9.(2025·天津高考)在△ABC中,D为AB边中点,=.记=a,=b,则=__________(用a,b表示).若||=5,且AE⊥CB, 则·=__________.  【解析】因为=+=+=+()=+ =+=a+b. 由, 得, 得a2+4ab=180, 则·=(a+b)·(a−b)=a2−b2+a·b =−a2−a·b=−(a2+4a·b)=−15. 答案:a+b　−15 10.在△ABC中,三边a,b,c所对应的角分别是A,B,C,已知a,b,c成等比数列.若=,数列{an}满足an=,前n项和为Sn,则S2n=______________.  【解析】因为a,b,c成等比数列, 所以b2=ac,即sin2B=sin Asin C, 又=, 所以=,即sin B=, 由cos B==≥>0知0<B<, 所以B=,an=2n|cos(nB)|=2n|cos()|=2n,n为偶数, an=an+1+1=2n+1+1,n为奇数, 所以S2n=(22+24+…+22n)+(22+1+24+1+…+22n+1) =2(22+24+…+22n)+n=2×+n=. 答案: 四、解答题(共43分) 11.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知acos B−bcos A=−a−c. (1)求B; 【解析】(1)因为acos B−bcos A=−a−c, 根据正弦定理,得sin Acos B−cos Asin B=−sin A−sin C=−sin A−(sin Acos B+cos Asin B), 化简得2sin Acos B=−sin A, 因为sin A>0,所以cos B=−, 因为B∈(0,π),所以B=. (2)若a=2,b=2,D为AC边的中点,求BD的长. 【解析】(2)在△ABC中,由余弦定理得=22+c2−2×2ccos , 所以c2+2c−24=0,解得c=4. 因为BD为△ABC的中线,所以2=+, 所以4||2=c2+a2+2ac·cos , 因为a=2,c=4,所以4||2=12, 解得||=. 12.(15分)国家发改委和住建部等六部门发布通知,提到:2025年,农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升,现阶段我国生活垃圾有填埋、焚烧、堆肥等三种处理方式,随着我国生态文明建设的不断深入,焚烧处理已逐渐成为主要方式,根据国家统计局公布的数据,对2013~2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y(单位:座)进行统计,得到如下表格: 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 垃圾焚烧无害化 处理厂的个数y 166 188 220 249 286 331 389 463 (1)根据表格中的数据,可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系,请用相关系数加以说明(精确到0.01); 【解析】(1)==,==, 相关系数r= = = =≈≈0.98, 因为y与x的相关系数r=0.98,接近1,所以y与x的线性相关程度很高, 所以可用线性回归模型拟合y与x的关系; (2)求出y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01),并预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数; 【解析】(2)== = =≈41.12, =−≈−41.12×=101.46, 所以y关于x的线性回归方程为=41.12x+101.46, 又2024年对应的年份代码x为12, 当x=12时,=41.12×12+101.46=594.9≈595, 所以预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为595; (3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数,还能用(2)所求的线性回归方程预测吗?请简要说明理由. 参考公式:相关系数r= 回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=,=−x 参考数据:yi=2 292,=204,=730 348, xiyi=12 041,5732=328 329,≈10.25,≈271.46 【解析】(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数,不能由(2)所求的线性回归方程预测,理由如下(答案合理即可): ①线性回归方程具有时效性,不能预测较远情况; ②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限,一段时间内不再新建; ③受国家政策的影响,可能产生新的生活垃圾无害化处理方式. 13.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(2,t)到其焦点F的距离为3,A,B为抛物线C上异于原点的两点.延长AF,BF分别交抛物线C于点M,N,直线AN,BM相交于点Q. (1)若AF⊥BF,求四边形ABMN面积的最小值; 【解析】(1)由抛物线定义可知,2+=3, 解得p=2, 即抛物线C的方程为y2=4x, 由题意,设A(x1,y1),M(x2,y2),直线AM的方程x=my+1(m≠0), 由,消去x得y2−4my−4=0,Δ=16m2+16>0恒成立, 由根与系数的关系可知:y1+y2=4m,y1·y2=−4, 故|AM|=x1+x2+p=m(y1+y2)+4=4(m2+1), 因为AF⊥BF,所以直线BN的方程为x=−y+1,于是|BN|=4(+1), 则SABMN=·|AM|·|BN|=×4(m2+1)×4(+1)=8(m2++2)≥32, 当且仅当m2=,即m=±1时等号成立, 所以四边形ABMN面积的最小值为32; (2)证明:点Q在定直线上. 【解析】(2)设B(x3,y3),N(x4,y4),Q(xQ,yQ), 因为A,B,M,N都在C上, 所以,xi=(i=1,2,3,4), 因为A,N,Q三点共线, 所以有=, 即=, 整理得:yQ=, 同理,因为B,M,Q三点共线, 可得yQ=, 即=, 解得4xQ=, 由(1)可知,y1·y2=y3·y4=−4,代入上式可得:4xQ==−4, 得xQ=−1, 即点Q在定直线x=−1上. - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $