满分阅卷案例2　立体几何类，　解析几何类、导数类答题-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何、导数、解析几何等核心考点，依据高考命题规律构建知识网络，通过考点梳理明确考查要求，方法指导提炼通性通法，真题讲解剖析满分策略，助力学生系统突破难点。 资料以满分阅卷案例为载体，融合数学思维与数学语言，如立体几何中用坐标法转化空间问题培养几何直观，导数题通过求导推理判断极值发展逻辑思维，设置分层练习适配不同学情，保障复习高效，提升学生应试能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

满分阅卷案例2　立体几何类解答题 【阅卷案例】(15分)(2025·全国一卷T17)如图所示的四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,AB⊥AD. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=AB=,AD=+1,BC=2,P,B,C,D在同一个球面上,设该球面的球心为O. (i)证明:O在平面ABCD上; (ii)求直线AC与直线PO所成角的余弦值. 【标准答案】 【阅卷现场·评分细则】 【满分答题规则】 【标准答案】(1)方法1:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB, …………2分 又因为AB⊥AD,AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD. …………4分 因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. ………………6分 方法2:因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AD. ……2分 又因为AB⊥AD,AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB. ………………4分 因为AD⊂平面PAD,所以平面PAB⊥平面PAD. ………………6分 (2)(i)因为AB,AD,AP两两垂直,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A−xyz, …………………7分 则B(,0,0),C(,2,0),D(0,+1,0),P(0,0,). …………………8分 设球心O(x,y,z),半径为R, 则OP=OB=OC=OD=R, 所以, …………………9分 所以即O(0,1,0), …………………10分 所以O在平面ABCD上. ………………11分 (ii)如(2)(i)中图, =(,2,0),=(0,1,−), …………………13分 设直线AC与直线PO所成角为θ, 则cos θ=|cos <,>|===,所以直线AC与直线PO所成角的余弦值为. …………………15分 第(1)问得分点及说明: 方法1的得分点: (1)PA⊥AB,得2分; (2)AB⊥平面PAD,得2分; (3)平面PAD⊥平面PAB,得2分. 方法2的得分点: (1)PA⊥AD,得2分; (2)AD⊥平面PAB,得2分; (3)平面PAD⊥平面PAB,得2分. 踩点说明: (1)有PA⊥AB,或PA⊥AD,就得2分,两个都没有,不得分; (2)方法1中没有AD∩PA=A,扣1分,方法2中没有AB∩PA=A,扣1分; (3)方法1中没有AB⊂平面PAB,扣1分,方法2中没有AD⊂平面PAD,扣1分. 第(2)问(i)得分点及说明: 得分点: (1)建系,得1分; (2)给出相应的各点的坐标,得1分; (3)列出关于球心坐标的方程组,得1分; (4)解方程组,得到球心坐标,得1分,结果错误,即使有过程也不得分. (5)球心在平面ABCD上,得1分. 踩点说明: (1)建系,坐标,各得1分;没有说明AB,AD,AP两两垂直,扣1分; (2)列出方程组,解得结果,各得1分,结果错误,不得分,没有中间步骤的得分. 第(2)问(ii)得分点: (1)向量,的坐标各得1分; (2)计算夹角余弦,得1分; (3)指出线线角的余弦值,得1分. 规则1.得步骤分:是得分点的步骤,有则给分,无则没分,步步为“赢”,求得满分. 如第(1)问方法1中,分3个步骤,PA⊥AB,AB⊥平面PAD,平面PAD⊥平面PAB,线线垂直各得2分,第(2)问(i)中,建系,给坐标,各得1分. 规则2.得关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分. 如第(1)问中,证明面面垂直,关键是证明线面垂直,所以三个垂直各得2分,第(2)问(ii)中,用向量法解决线线角问题,关键是求两个线对应的向量坐标,所以两个向量分别得1分,步骤不是关键的,没有结果不得分. 规则3.得转化分:解题中的化简过程不得分,但是转化过程应该有,尤其是在没得出结果时也能得分. 如第(1)问中,要证明面面垂直,转化为证明线面垂直,再转化为线线垂直,这些转化方法是立体几何证明线面平行与垂直关系常用的方法,第(2)问(i)中,看到有AB,AD,AP两两垂直联想到建立空间直角坐标系,转化为代数问题,这是向量法在立体几何中的应用,有了这些转化,就很容易得分. 规则4.通性通法得分:评分细则针对最基本的方法给分. 如第(1)问中,证明面面垂直,想到先证明线面垂直,这是证明面面垂直的通性通法,第(2)问(i)中,先建系,给出各点的坐标,列出关于未知坐标的方程组,求得点的位置,这是利用空间向量解决立体几何问题的通性通法,这样做就容易踩到得分点. 规则5.得计算分:解题过程中计算准确,是得满分的根本保证. 如第(2)问中通过建立空间直角坐标系,通过空间点的坐标列出有关的方程组,转化为代数问题,都需要计算准确,这是保证立体几何题目得满分的根本.尤其是立体几何中应用向量法求空间角的大小,必须过好“运算关”,否则立体几何得满分,无从谈起. 满分阅卷案例3　导数类解答题 【阅卷案例】(17分)(2025·全国二卷T18)已知函数f(x)=ln(1+x)−x+x2−kx3,其中0<k<. (1)证明:f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一的极值点和唯一的零点; (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0,+∞)上的极值点和零点. (i)设函数g(t)=f(x1+t)−f(x1−t),证明:g(t)在区间(0,x1)上单调递减; (ii)比较2x1与x2的大小,并证明你的结论. 【标准答案】 【阅卷现场·评分细则】 【满分答题规则】 【标准答案】(1)由题意f'(x)=−1+x−3kx2=x2·, ……1分 令f'(x1)=0,得x1=−1∈(0,+∞), ……………2分 当0<x<x1时,f'(x)>0,f(x)在(0,x1)上单调递增; ……………3分 当x>x1时,f'(x)<0,f(x)在(x1,+∞)上单调递减, …………4分 故f(x)在(0,+∞)上有唯一极大值点x1, ……………5分 又f(0)=0,则f(x1)>f(0)=0, 且当x→+∞时,f(x)→−∞, 所以f(x)在(x1,+∞)上有唯一零点x2, 综上所述,f(x)在区间(0,+∞)上有唯一极大值点和唯一零点. …………7分 (2)(i)由(1)中f'(x1)=0知=3k, 即x1=, ……………8分 则g'(t)=f'(x1+t)+f'(x1−t) ………………9分 =−·, ……………11分 因为t∈(0,x1),所以(x1+1)2>>t2, 则g'(t)<0, ……………12分 所以g(t)在(0,x1)上单调递减. ……………13分 (ii)结论:2x1>x2. …………14分 方法1:由(i)知,g(0)>g(x1), …………15分 所以f(2x1)<f(0)=0=f(x2). …………16分 由(1)知,f(x)在(0,x2)上均有f(x)>0,在(x2,+∞)上有f(x)<0, 则2x1>x2. …………17分 方法2:由(i)知,g(x1)<g(0)=0, 即f(2x1)−f(0)<0 …………15分 又因为f(0)=0,故f(2x1)<0=f(x2). …………16分 因为f(x)在区间(x1,+∞)上单调递减, 所以2x1>x2. …………17分 第(1)问的得分点及说明: 得分点: (1)求导数,得1分; (2)求导数的零点,得1分; (3)判断导数符号,给出递增区间,得1分; (4)判断导数符号,给出递减区间,得1分; (5)判断极值点,得1分; (6)判断零点,得2分. 踩点说明: (1)阅卷时分“5(单调区间)+2(极值点)”两段得分,全则得满分7分,否则再按照得分点分步赋分; (2)某一步错误,以下的就不再给分; (3)求导结果错误,本大题得0分; (4)步骤中没有导数符号的判断直接给单调区间,扣1分; (5)依据图象得到唯一零点,扣1分; (6)没有给出零点的范围,不扣分; (7)指出极值点,而没有指出极大值点,不扣分. 第(2)问(i)得分点及说明: 得分点: (1)求得极值点x1=,得1分; (2)对g(t)正确求导,得3分,其中化简步骤,占2分; (3)判断g'(t)<0,得1分; (4)判断g(t)的单调性正确,得1分. 踩点说明: (1)阅卷时分“4(化简求导)+2(判断导数符号)”两段赋分,正确就给满分6分,否则再按照得分点逐一赋分; (2)某一步错误,以下的就不再给分; (3)g(t)表达式错误,仅得1分; (4)g(t)正确,而g'(t)的表达式错误,本小问仅得2分; (5)没有导数符号的判断而直接得到单调递减,不得分. 第(2)问(ii)得分点及说明: 方法1得分点: (1)结论正确,得1分; (2)g(0)>g(x1),得1分; (3)f(2x1)<0,得1分; (4)指出2x1在f(x)的负值区间内,得1分. 方法2得分点: (1)结论正确,得1分; (2)g(0)>g(x1),得1分; (3)f(2x1)<0=f(x2),得1分; (4)指出2x1与x2都在f(x)的单调递减区间内,得1分. 踩点说明: (1)阅卷时分“1(结论)+3(判断)”两段赋分; (2)有f(2x1)<f(x2)就得2分; (3)没有指出x2与2x1都在区间(x1,+∞)内,扣1分. 规则1.得步骤分:是得分点的步骤,有则给分,无则没分. 如第(1)问,求导数正确,就得1分,求导数的零点,得1分,第(2)问(i)中求出用f'(x)表示g'(t),得1分,化简g'(t)的表达式,得2分, 判断g'(t)<0,得1分,因此还是分步骤写过程容易得分,步步为“赢”! 规则2.得关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分. 如第(2)(i)化简g(t)解析式正确才得分,错误就不得分, (ii)中,有f(2x1)<f(x2)就得2分,没有则不得分,步骤不是关键的,没有结果不得分. 规则3.得转化分:解题中的化简过程一般不要,但是转化过程应该有,尤其是在没得出结果时也能得分. 如第(2)问(ii)的各种方法中,化简函数g(t)和g'(t)的表达式,结果正确,就可得2分,第(2)问(ii)中,比较2x1,x2的大小,转化为比较f(2x1),f(x2)的大小,进而转化为常规的f(x)的单调性应用问题,这样就可以得转化分. 规则4.通性通法得分:评分细则针对最基本的方法给分. 如第(1)问和第(2)问(i)都是先求导,再令导数等于零,求得导数的零点x1,在x1分成的两个区间上判断导数符号,从而给出原函数的单调性,这是应用导数研究函数单调性、极值的通性通法,这样就容易踩到得分点. 规则5.得计算分:解题过程中计算准确,是得满分的根本保证. 如第(1)问中求导数后通分计算,第(2)问中计算g(t)及g'(t)的表达式,都需要计算准确,高考中对考生的数学运算要求很高,所以必须过好“运算关”,得满分才有保障. 满分阅卷案例4　解析几何类解答题 【阅卷案例】(17分)(2025·全国一卷T18)设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AR|·|AP|=3. (i)设P(m,n)(m≠0),求点R的坐标(用m,n表示); (ii)设O为坐标原点,M是椭圆上的动点,直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍,求|PM|的最大值. 【标准答案】 【阅卷现场·评分细则】 【满分答题规则】 【标准答案】(1)⇒⇒, …………………4分 所以椭圆C的标准方程为+y2=1 …………………5分 (2)(i)设R(x0,y0),A(0,−1), 因为|AP|·|AR|=3, =(m,n+1),所以·=3, 因为=(x0,y0+1), 所以mx0+(n+1)y0=2−n①, ……………7分 AP:y=x−1, 因为R在AP上,所以y0=x0−1, 得(n+1)x0−my0=m②, ………………9分 联立①②⇒. 即R(,). ………………11分 (ii)kOR=,kOP=, ………………13分 所以=,m2+(n+4)2=18, 故P点在以T(0,−4)为圆心,3为半径的圆上. …………14分 设M(x1,y1),则=9−9, 所以|PM|max=|MT|max+3 ………………15分 =+3 =+3 =+3, ………………16分 当y1=∈[−1,1]时,|PM|max=3+3. ………………17分 第(1)问的得分点及说明: 得分点: (1)有a2+b2=10,得1分; (2)有=,得1分; (3)运用a2−b2=c2转化,得1分; (4)解方程组得,得1分; (5)正确给出方程,得1分. 踩点说明: (1)不写方程组,只给标准方程,仅得2分; (2)以上前三个得分点,每一个都可以独立给1分; (3)只写出焦点坐标及下顶点A,右顶点B的坐标不得分; (4)不写a2−b2=c2,不扣分; (5)结果正确,又有过程,就得5分. 第(2)问(i)的得分点及说明: (1)列出方程①,得2分; (2)列出方程②,得2分; (3)解出方程组,得到R的坐标,得2分. 第(2)问(ii)的得分点及说明: (1)写出kOR,kOP,各得1分; (2)写出点P的轨迹方程,得1分; (3)转化|PM|≤|MT|+3,得1分; (4)转化为二次函数,得1分; (5)得到最大值,得1分. 规则1.得步骤分:是得分点的步骤,有则给分,无则没分. 如第(1)问,三个独立方程及解方程组,每步得1分,第(2)问(i)中,列出方程①,②,各得2分,(ii)中,写出两个斜率,各得1分,所以分步骤写过程,步步为“赢”,容易得满分. 规则2.得关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分. 如第(1)问中,标准方程正确,又有过程,就得满分5分.第(2)问(i)中方程①,②都是关键得分点,没有①,②就不得分,所以解题步骤要写关键点,只有过程,没有结果或结果错误不得分. 规则3.二级结论的应用:关于圆锥曲线的性质,可以作为二级结论在高考解答中应用,可以简化计算. 如第(2)问(ii)中,圆外一点M到圆上一点P的距离的最大值等于点M到圆心的距离与半径的和,得1分. 规则4.得转化分:解题中的化简过程一般不要,但是转化过程应该有,尤其是在没得出结果时也能得分. 如第(2)问(ii)中,求椭圆上一点M和圆上一点P之间距离的最大值问题,转化为M到圆心的距离的最大值问题,最后再转化为椭圆上一点M到定点的距离最大值问题,所以每一步转化的应用都是得分点,应用正确就会得分. 规则5.通性通法得分:评分细则针对最基本的方法给分. 如第(2)问(i)中,应用两点间的距离公式及三点共线斜率相等,列出方程组,转化为代数问题,都是解析几何的通性通法,高考的标准答案就是用通性通法作答,这样做很容易得满分. 规则6.数学运算的要求:解析几何中的计算很关键,运算不过关,很难得高分. 如第(1)问中解关于a,b,c的方程组,第(2)问(i)中,解由①②联立所得的方程组,都需要有较好的数学运算素养,没有较强的数学运算能力,解析几何不可能得满分. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $