精品解析：江苏省扬州市弘扬中学2025-2026学年高一下学期第二次月考单招数学试题

弘扬中专2025-2026学年度第二学期第二次月考考试试题 高一单招数学 一、单选题（共40分） 1. 将圆的一般方程化为标准方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列有关棱柱、棱锥的说法中，正确的是（ ） A. 棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B. 棱柱的侧面都是平行四边形，但底面不是平行四边形 C. 各侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D. 底面是正多边形且各侧面是全等的三角形的棱锥是正棱锥 3. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知点，，线段AB的垂直平分线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 过点引直线，使、到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知直线l将圆C：平分，且与直线平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某几何体的三视图，其中主视图和左视图是两个全等的正方形，且边长为2，俯视图是直径为2的圆，则这个几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 10. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共20分） 11. 不等式的解集是__________. 12. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是________. 13. 已知球的半径为10，它的一个球截面的面积为，则球心到该球截面圆心的距离为________． 14. 过点作圆的切线，则切线方程为______. 15. 如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为1，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是_________. 三、解答题（共90分） 16. 已知指数函数（，且）的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数m的取值范围. 17. 已知是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且图象过点 和 ，当时，. （1）求 的值； （2）求不等式的解集. 19. 已知圆C和直线：，：，若圆C的圆心为且经过直线和的交点. （1）求圆C的标准方程； （2）直线l：与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程. 20. 已知圆C：． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程. 21. 已知圆M过，两点，且圆心M在上. （1）求圆M的方程； （2）已知直线l过点且与圆相切，求直线l方程 22. 已知正四棱锥的底面边长为2cm，侧棱长为5 cm （1）求正四棱锥的高 （2）求正四棱锥的表面积. 23. 如图所示为一个旋转体的轴截面，其中，上面是一个边长为的正三角形，: （1）求此几何体的体积； （2）求此几何体的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘扬中专2025-2026学年度第二学期第二次月考考试试题 高一单招数学 一、单选题（共40分） 1. 将圆的一般方程化为标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程通过配方的方法化为标准方程. 【详解】对于方程，进行配方得：， 所以圆的标准方程是， 故选：A. 2. 下列有关棱柱、棱锥的说法中，正确的是（ ） A. 棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B. 棱柱的侧面都是平行四边形，但底面不是平行四边形 C. 各侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D. 底面是正多边形且各侧面是全等的三角形的棱锥是正棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱以及棱锥的结构特点求解即可. 【详解】对A，长方体中相对的两个侧面也互相平行，但它们不是棱柱的底面，A错误. 对B，平行六面体底面就是平行四边形，B错误. 对C，各侧棱相等且满足底面是正多边形的棱锥才是正棱锥，C错误； 对D，由“底面是正多边形”可知底边长都相等，再由“各侧面是全等的三角形”可推得各侧棱也都相等，因此该棱锥为正棱锥，D正确 故选：D. 3. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较a、c与1的大小即可． 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因为在上单调递增， 所以， ∴， 故选：B． 4. 在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，利用函数的单调性及函数当时的函数值的范围，进行判断即可． 【详解】当时，函数在上单调递减； 函数在上单调递减，且当时，，故A正确，C错误； 当时，函数在上单调递增； 函数在上单调递减，且当时，，故B、D错误． 故选：A． 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到，再根据奇函数的性质求解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 所以， 当时，，则， 即， 故选：A. 6. 已知点，，线段AB的垂直平分线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的中点公式和两直线垂直关系易得答案. 【详解】因为，， 所以线段的中点坐标， 所以， 因为线段的中垂线， 所以中垂线的斜率为， 所以中垂线的直线方程为， 即. 故选：A. 7. 过点引直线，使、到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可设直线方程为，由点到直线的距离相等求得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为、到直线距离相等， 所以，解得：或， 所以直线方程为或， 整理得：或. 故选：． 8. 已知直线l将圆C：平分，且与直线平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平分圆的直线必过圆心，结合两直线平行的性质设方程，代入圆心坐标求解参数即可. 【详解】已知圆C：中，圆心， 设与直线平行的直线方程为， 因为直线l将圆C平分，所以圆心在直线l上， 将圆心代入得， 解得，所以直线l的方程为， 故选：D. 9. 如图是某几何体的三视图，其中主视图和左视图是两个全等的正方形，且边长为2，俯视图是直径为2的圆，则这个几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图确定几何体为圆柱体，应用圆柱侧面积求法求侧面积. 【详解】由三视图易知：几何体是高和底面直径均为2的圆柱体， 所以几何体的侧面积为. 故选：D 10. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用四棱锥体积公式，可得正八面体的体积，再根据正三角形面积公式可得正八面体的表面积. 【详解】 如图所示，连接，， 则四边形为正方形，且平面， 由正八面体可知， ， 则，， 所以， 表面积， 所以， 故选：B. 二、填空题（共20分） 11. 不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】不等式可转化为， ∵以为底的指数函数为减函数， ∴，即， 解得， ∴不等式的解集是. 故答案为：. 12. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据底面圆周长求解底面圆半径，再根据底面圆半径，母线以及圆锥的高之间的关系求解圆柱的高，再由圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设该圆锥的底面圆的半径为，高为，母线长为， 则，则， 得，则， 所以该圆锥的体积为. 故答案为：. 13. 已知球的半径为10，它的一个球截面的面积为，则球心到该球截面圆心的距离为________． 【答案】8 【解析】 【分析】求出截面圆的半径，然后利用球的半径、截面圆的半径结合勾股定理求出球心到该截面的距离. 【详解】如图所示，设截面圆的半径为，球心与截面圆圆心之间的距离为，球半径为. 由上述结构特征知，故， 则. 故答案为：. 14. 过点作圆的切线，则切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：即. 故答案为：. 15. 如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为1，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的切线的性质分析可知，当时，取得最小值，再由点到直线的距离公式结合勾股定理即可得解. 【详解】依题意，设直线为，则直线为，如图， 因为是的切线，所以，， 所以， 显然当时，取得最小值，则取得最小值， 因为圆心到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 三、解答题（共90分） 16. 已知指数函数（，且）的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入到解得的值，即可求出解析式； （2）由（1）可知指数函数为减函数，构造不等式，解得即可． 【小问1详解】 由题知图象过点，即，，， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 函数的解析式为，因为，所以在上是减函数； 因为，， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 17. 已知是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数即可求出结果； （2）根据的奇偶性和单调性即可求出结果. 【小问1详解】 因为为定义在上的奇函数，所以，所以． 此时，经验证，，故． 【小问2详解】 由（1）可知， 任取， 则， 因为，则， 所以 所以是上的增函数． 由恒成立， 得恒成立， 则， 所以恒成立， 因为， 所以． 实数的取值范围为：． 18. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且图象过点 和 ，当时，. （1）求 的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的定义，以及图象过点和，列出方程组，求解该方程组，即可求解； （2）先求出当时，函数的解析式，再分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 因为的图象过点，所以.① 因为是奇函数，且的图象过点， 所以的图象过点， 则.② 联立①②，解得. 【小问2详解】 由（1）知，时，， 当时，，则. 因为是奇函数，所以，则. 当时，，即，解得； 当时，，即，解得. 当时，,不合题意， 综上，不等式的解集是. 19. 已知圆C和直线：，：，若圆C的圆心为且经过直线和的交点. （1）求圆C的标准方程； （2）直线l：与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程； （2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案. 【小问1详解】 联立，解得， 故半径为， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得， 解得，即，解得， 故直线l的方程为，即. 20. 已知圆C：． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的标准方程确定圆心和半径，当存在时，设切线方程为，再由圆心到切线的距离等于半径列方程求出的值，最后讨论不存在时是否成立即可. （2）根据圆的弦的中点与圆心的连线，垂直于弦所在直线，可得，再由斜率公式求出，即可得出，再由直线的点斜式方程即可得出结论. 【小问1详解】 已知圆C：， 圆心为，半径， 当斜率存在时，设切线方程， 即， 则有圆心到切线的距离， 即，整理得， 解得，则， 所以切线方程为. 当斜率不存在时，切线方程为， 综上所述，过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 由题意可知，点为圆的弦的中点， 所以，， 又圆心为，则， 所以，则直线的方程为， 即. 21. 已知圆M过，两点，且圆心M在上. （1）求圆M的方程； （2）已知直线l过点且与圆相切，求直线l方程 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据圆心在直线上设出圆心，再由圆过的点列式求解半径即可，由圆的标准方程表示即可； （2）先讨论斜率是否存在，再由点斜式方程根据直线与圆相切的条件求解斜率即可. 【小问1详解】 因为圆心M在上， 设圆心为，半径为r， 又因为圆M过，两点，所以， 即，即， 整理可得，解得，圆心为， 所以半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为直线l过点且与圆相切， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，此时直线与圆相切，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，所以， 整理得，解得， 所以直线方程为，即， 综上，直线方程为或. 22. 已知正四棱锥的底面边长为2cm，侧棱长为5 cm （1）求正四棱锥的高 （2）求正四棱锥的表面积. 【答案】（1） （2）4+ 【解析】 【分析】（1）根据底面边长与侧棱长求高. （2）根据表面积公式解题. 【小问1详解】 底面正方形的对角线长度：边长=， 底面中心到底面一个顶点的距离：. 因为侧棱长为5 cm，所以高为. 【小问2详解】 底面积为，斜高为. 所以侧面面积：. 四个侧面的总面积：. 因此，正四棱锥的表面积为：底面积+四个侧面面积. 23. 如图所示为一个旋转体的轴截面，其中，上面是一个边长为的正三角形，: （1）求此几何体的体积； （2）求此几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）几何体是圆锥和圆柱的组合体，分别计算出圆锥和圆柱的体积，即可求得结果. （2）分别计算出圆锥和圆柱的表面积，即可求得结果. 【小问1详解】 由旋转体的轴截面可知： 此几何体由一个上部分为圆锥，下部分为圆柱的组合体，圆锥的半径，母线，圆柱的半径，高. 圆锥的高 cm . 【小问2详解】 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $