衔接点01 数的整除与倍数特征（讲义，上海专用沪教版）数学小升初衔接

衔接点01 数的整除与倍数特征 小学视角 初中展望 小学阶段初步认识了自然数，会判断一个数能否被2、3、5整除，能列举一个数的因数和倍数，核心素养侧重数感和初步的推理意识。 进入初中后，数的范围扩展到有理数、实数，整除的概念将迁移到整式、多项式的整除（如多项式除以单项式），因数分解的思想直接对应因式分解，倍数特征的推理方法也常用于代数式的恒等变形，对逻辑严密性要求更高。 衔接引导 本讲是初中数学学习的“第一块基石”。很多同学觉得整除和因数倍数在小学已经学过，但初中阶段要求你用更严谨的数学语言去描述“整除”和“除尽”的区别，理解“相互依存”的关系，并能快速判断2、3、5、4、9、11的倍数。别小看这些基础，它们直接关系到后面“分解素因数”“最大公因数与最小公倍数”以及“分式约分”的学习。希望你能在这一讲中真正把概念吃透，而不是只记结论。 考点阐释 一、整除的概念（核心区分） 1）定义：整数a除以整数b（b≠0），商是整数且没有余数，就说a能被b整除（或b能整除a）。 2）整除 ≠ 除尽： 整除：被除数、除数、商都是整数，余数为0。例如：24÷8＝3，是整除。 除尽：余数为0，但商不一定是整数。例如：7÷2＝3.5，是除尽，但不是整除。 3） 判断口诀：(三整一零）整数、整数、商整数，余数为零才是整除。 二、因数与倍数（相互依存） 1）若a能被b整除，则b是a的因数，a是b的倍数。不能单独说谁是因数或倍数。 2）找因数：成对列举（如12的因数：1×12，2×6，3×4 → 1,2,3,4,6,12）。 找倍数：依次乘1,2,3,…（如5的倍数：5,10,15,20,…）。 3）重要性质：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；最小倍数是它本身，没有最大倍数。 三、倍数特征（必背清单） 除数 特征 举例 2 个位是0、2、4、6、8 128、370 5 个位是0或5 125、490 3 各位数字之和能被3整除 276（2+7+6=15，能被3整除） 4 末两位能被4整除 732（32能被4整除） 9 各位数字之和能被9整除 1089（1+0+8+9=18，能被9整除） 11 奇数位和与偶数位和的差能被11整除 121（1+1-2=0，能被11整除） 方法总结 2、5看“个位”，3、9看“数字和”，4看“末两位”，11看“奇偶位差”。不要混淆。 四、衔接必备运算定律（为有理数运算预热） 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c) 乘法分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c 这些定律在后续的分数、有理数运算中会反复使用，现在复习正是时候。 解题方略 一句话记忆口诀： 整除除尽要分清，三个整数加余零； 因数成对倍乘起，最大最小都是己； 2、5看个位，3、9看数位，4看末两位，11看奇偶位差对。 题型1 整除与除尽的辨析 【解题技巧】识别标志：题目问“下面哪个是整除”“哪个是除尽”“判断正误”。 解题路径： 逐条对照“整除三要素”——①被除数、除数、商是否都为整数；②除数是否为0；③余数是否为0。三条全满足才是整除；若只满足“余数为0”但商不是整数，则是除尽。 易错提醒：注意除数本身不能是小数或0，比如“4÷0.5＝8”虽然商是整数，但除数0.5不是整数，所以不是整除。很多同学只看商不看除数，容易掉坑。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ） A．15和3 B．8和5 C．1.2和0.6 D．3和6 例2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列算式中，属于整除的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 变式1．（25-26六年级上·上海·期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（     ） A．6和3 B．0.4和0.2 C．17和51 D．4和42 变式2．（25-26六年级上·上海·期末）下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．1.5和1.5 变式3.（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）根据，下列说法正确的是（   ） A．54能整除9 B．9能被54整除 C．54是9的因数 D．54能被9整除 变式4.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的个数有（   ） ①32能被4整除：②能被整除；③13能整除13；④25不能被5整除； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列算式中表示整除的是（   ） A． B． C． D． 题型2 找因数或倍数 【解题技巧】识别标志：题目要求“写出xx的所有因数”“写出xx的5个倍数”。 解题路径： 找因数用“成对列举法”：从1开始依次试除，若能整除，则除数和商就是一对因数，写到两个因数开始重复或靠近时停止。例如找18的因数：1×18、2×9、3×6 → 1、2、3、6、9、18。 找倍数用“依次乘法”：用这个数依次乘1、2、3、4……直到满足题目要求的个数或范围。 易错提醒：不要漏掉1和它本身；写倍数时不要忘记0倍（若题目没有特别说明，小学阶段倍数通常从1倍开始算）。 例1．（25-26六年级上·上海静安·期末）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（   ） A．12 B．18 C．21 D．45 例2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 例3．（25-26六年级上·上海宝山·期中）的因数中最大的因数是_______． 变式1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）14的因数有______． 变式2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）40以内正整数，是9的倍数的是______． 变式3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一个数的最小倍数是32，最大因数也是32，这个数是_______________． 变式4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）写出12的所有因数：_________________． 变式5．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）按照从小到大的顺序写出60的所有因数，并求出既是3的倍数，又是60的因数的数． 题型3：根据因数或倍数的性质求数 【解题技巧】识别标志：题目问“下面哪些数能被2/3/5整除”或直接给一组数要求筛选。 解题路径：识别标志：题目给出“最大因数是几”“最小倍数是几”或“一个数既是A的因数又是A的倍数”。 解题路径： 记住两条核心性质： ① 一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身。 ② 一个数的最小因数是1，没有最大的倍数。 这两条是解决此类问题的“钥匙”。例如：若某数的最大因数是18，则该数就是18，它的最小倍数也是18。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的因数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 例2．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）已知，则它的所有因数有（    ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）对于20、6和5这三个数，下列说法中正确的是（   ） A．20能被6整除 B．5整除20 C．6是20的因数 D．5是20的倍数 变式1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（）． A．3是9的因数 B．能被3除尽的数都是偶数 C．15是倍数，5是因数 D．偶数除以3的商一定是奇数 变式2.（25-26六年级上·上海·阶段检测）的最大因数与它的最小倍数的积是__________． 变式3.（25-26六年级上·上海宝山·期中）的因数中最大的因数是_______． 变式4.（25-26六年级上·上海普陀·期中）27的因数有______． 题型4 能被2、3、5整除的数特征的判断 【解题技巧】识别标志：题目问“下面哪些数能被2/3/5整除”或直接给一组数要求筛选。 解题路径： 锁定对应特征，逐一验证： 除数 看哪里 怎么判 2 个位 是否为0、2、4、6、8 5 个位 是否为0或5 3 各位数字之和 和能否被3整除 4 末两位 末两位能否被4整除 9 各位数字之和 和能否被9整除 11 奇数位和−偶数位和 差能否被11整除 解题策略：按照“特征→验证→标注”的流程操作，不要跳步，避免把3的特征错用在个位上。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）能被2整除的数一定是（   ） A．素数 B．合数 C．偶数 D．奇数 例2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各数中，能同时被2、5整除的数是（    ） A．16 B．25 C．35 D．100 例3．（25-26六年级上·上海青浦·期末）写出一个能同时被2、3和5整除的数：__________． 例4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果237减去正整数后所得的整数能同时被2和5整除，最小值是_____． 变式1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）用0、5、8组成的三位数同时能被2、5整除，则最小的三位数是______． 变式2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）在82、75、90这3个数中，______既是2的倍数，又是5的倍数． 变式3．（25-26六年级上·上海虹口·期中）能被5整除的最小的三位数是_________． 变式4．（25-26六年级上·上海·期中）四位数2025至少加上______可以同时被2、3、5整除（填写一个正整数）． 变式5．（24-25六年级上·上海·期中）在75、50、42、40、66、105中，既是2的倍数又能被5整除的数有___________． 题型5：整除知识在实际问题中的应用 【解题技巧】识别标志：题目有实际场景（分苹果、排队、分糖果等），核心是“平均分完没有剩余”。 解题路径： 本质是“求因数”或“求公因数”的问题。把总数分解成若干份，每份数量相等且无剩余 → 每份数必须是总数的因数。若涉及多个总数，则需找公因数或公倍数。 操作步骤：① 理解题意，确定是“分完”还是“正好站满”等；② 将实际问题转化为“求某个数的因数（或倍数）”的数学问题；③ 列出所有符合条件的因数/倍数；④ 根据题目附加条件（如人数范围、不少于几等）筛选最终答案。 例1．（24-25六年级上·上海·阶段测试）有盏灯，分别对应编号为至的个开关．现有编号为至的个人按动这些开关．第个人按所有的倍数的开关，第个人按所有的倍数的开关，依此类推，第个人按所有的倍数的开关．若初始灯全亮，则最终有_________盏灯是亮着的． 例2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）50名学生面向老师站成一排按从左到右的顺序依次报 1，2，3，……，50．报完后，老师让所有报双数的学生向后转，接着又让报5的倍数的学生向后转．最后，又让报3的倍数的学生向后转．此时还有多少学生面向老师？ 例3．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）已知与分别表示不超过100的正整数，且， (1)若，则与的最小值分别是多少？ (2)如果，则与分别表示哪些数？ 变式1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 变式2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）从一块正方形的木板上锯下宽为3厘米的一个木条后，剩下木板的面积是108平方厘米，则锯下的木条面积是____________平方厘米． 变式3．（24-25六年级上·上海·期末）给出一种新规定：对于正整数n，规定（n）表示n的不同因数的个数．比如，5的不同因数是1和5，所以，8的不同因数是1、2、4和8，所以，等等．请你在理解这种新规定的基础上进行计算，那么______． 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）个位上是__________的数，既是2的倍数，又是5的倍数． 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）在数，，，，中，能被整除的数有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 3.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列算式中表示整除的算式是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．2能被1整除 B．6能被3整除 C．6能整除3 D．能被2、5整除的最小正整数是10 5．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）用5、4、0三个数字组成的所有三位数都能被（    ）整除 A．2 B．3 C．5 D．2、3和5 6.（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果，那么m的因数有______个，倍数有_____个． 7.（25-26六年级上·上海·阶段检测）a，b，c，d是互不相等的正整数，且，那么的值是______． 8.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）控制论之父维纳在某年曾经说过：“我现在的年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干成一番大事业”．请问，他是在______岁的时候说的这个话． 9.（25-26六年级上·上海·期中）小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 10.（25-26六年级上·上海·阶段检测）从0、2、3、4、5、8中选出四个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的最大四位数是_______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点01 数的整除与倍数特征 小学视角 初中展望 小学阶段初步认识了自然数，会判断一个数能否被2、3、5整除，能列举一个数的因数和倍数，核心素养侧重数感和初步的推理意识。 进入初中后，数的范围扩展到有理数、实数，整除的概念将迁移到整式、多项式的整除（如多项式除以单项式），因数分解的思想直接对应因式分解，倍数特征的推理方法也常用于代数式的恒等变形，对逻辑严密性要求更高。 衔接引导 本讲是初中数学学习的“第一块基石”。很多同学觉得整除和因数倍数在小学已经学过，但初中阶段要求你用更严谨的数学语言去描述“整除”和“除尽”的区别，理解“相互依存”的关系，并能快速判断2、3、5、4、9、11的倍数。别小看这些基础，它们直接关系到后面“分解素因数”“最大公因数与最小公倍数”以及“分式约分”的学习。希望你能在这一讲中真正把概念吃透，而不是只记结论。 考点阐释 一、整除的概念（核心区分） 1）定义：整数a除以整数b（b≠0），商是整数且没有余数，就说a能被b整除（或b能整除a）。 2）整除 ≠ 除尽： 整除：被除数、除数、商都是整数，余数为0。例如：24÷8＝3，是整除。 除尽：余数为0，但商不一定是整数。例如：7÷2＝3.5，是除尽，但不是整除。 3） 判断口诀：(三整一零）整数、整数、商整数，余数为零才是整除。 二、因数与倍数（相互依存） 1）若a能被b整除，则b是a的因数，a是b的倍数。不能单独说谁是因数或倍数。 2）找因数：成对列举（如12的因数：1×12，2×6，3×4 → 1,2,3,4,6,12）。 找倍数：依次乘1,2,3,…（如5的倍数：5,10,15,20,…）。 3）重要性质：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；最小倍数是它本身，没有最大倍数。 三、倍数特征（必背清单） 除数 特征 举例 2 个位是0、2、4、6、8 128、370 5 个位是0或5 125、490 3 各位数字之和能被3整除 276（2+7+6=15，能被3整除） 4 末两位能被4整除 732（32能被4整除） 9 各位数字之和能被9整除 1089（1+0+8+9=18，能被9整除） 11 奇数位和与偶数位和的差能被11整除 121（1+1-2=0，能被11整除） 方法总结 2、5看“个位”，3、9看“数字和”，4看“末两位”，11看“奇偶位差”。不要混淆。 四、衔接必备运算定律（为有理数运算预热） 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c) 乘法分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c 这些定律在后续的分数、有理数运算中会反复使用，现在复习正是时候。 解题方略 一句话记忆口诀： 整除除尽要分清，三个整数加余零； 因数成对倍乘起，最大最小都是己； 2、5看个位，3、9看数位，4看末两位，11看奇偶位差对。 题型1 整除与除尽的辨析 【解题技巧】识别标志：题目问“下面哪个是整除”“哪个是除尽”“判断正误”。 解题路径： 逐条对照“整除三要素”——①被除数、除数、商是否都为整数；②除数是否为0；③余数是否为0。三条全满足才是整除；若只满足“余数为0”但商不是整数，则是除尽。 易错提醒：注意除数本身不能是小数或0，比如“4÷0.5＝8”虽然商是整数，但除数0.5不是整数，所以不是整除。很多同学只看商不看除数，容易掉坑。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ） A．15和3 B．8和5 C．1.2和0.6 D．3和6 【答案】A 【知识点】数的整除 【分析】本题考查整除的概念，若整数a除以非零整数b，商为整数且余数为零，则称a能被b整除，根据概念逐一判断选项即可． 【详解】解：∵整除要求被除数和除数都为整数，且第一个数除以第二个数的商为整数， 选项C中和都不是整数，不符合整除要求，排除C； ∵，商是整数， ∴选项A符合题意； ∵，商不是整数， ∴选项B不符合题意； ∵，商不是整数， ∴选项D不符合题意． 例2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列算式中，属于整除的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数的整除 【分析】此题考查整除的意义：整除必须是整数除以一个不为0的整数，商是整数，而没有余数． 根据整除的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A中，除数为0.5，不是整数，不符合整除的定义； 选项B中，28、7、4均为整数，符合整除的定义； 选项C中，商不是整数，不符合整除的定义； 选项D中，商不是整数，不符合整除的定义； 故选B． 例3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】数的整除 【分析】本题主要考查数的整除．整除的条件是两个数都是整数，且第一个数除以第二个数的商是整数． 【详解】解：∵ 整除要求两个数都是整数，且第一个数第二个数的商为整数． 选项A：和都是整数，但，不是整数， 不能被整除． 选项B：和都不是整数， ∴ 不符合整除条件． 选项C：和都是整数，且，是整数， 能被整除． 选项D：不是整数， ∴ 不符合整除条件． 故选：C． 变式1．（25-26六年级上·上海·期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（     ） A．6和3 B．0.4和0.2 C．17和51 D．4和42 【答案】A 【知识点】数的整除 【详解】解：A选项：，和都是整数，商为整数且余数为零，则能被整除，符合要求； B选项：和都不是整数，不符合整除的定义，不符合要求； C选项：，商不是整数，则不能被整除，不符合要求； D选项：，商不是整数，则不能被整除，不符合要求． 变式2．（25-26六年级上·上海·期末）下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．2.5和5 B．25和5 C．25和75 D．1.5和1.5 【答案】C 【知识点】数的整除 【分析】本题考查整除的定义，需明确整除要求被除数、除数均为整数，且除数不为0，商为整数且余数为0． 【详解】解：∵整除的定义为整数b除以非零整数a，商为整数且余数为0，则a整除b． ∴首先排除含小数的选项A、D． ∵对于B选项， ，商不是整数． ∴25不能整除5． ∵对于C选项，，商为整数且余数为0． ∴25能整除75，符合题意． 故选：C. 变式3.（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）根据，下列说法正确的是（   ） A．54能整除9 B．9能被54整除 C．54是9的因数 D．54能被9整除 【答案】D 【知识点】数的整除 【分析】本题考查整除的概念．根据整数除法的定义，若（a、b、c均为整数），则b能整除a，或a能被b整除．由可知，9能整除54，即54能被9整除． 【详解】解：∵ ，且54、9、6均为整数， ∴ 9能整除54，即54能被9整除． ∴ 选项D正确． 选项A：54能整除9，但整数，故错误． 选项B：9能被54整除，但整数，故错误． 选项C：9是54的因数，但整数，实际9是54的因数，故错误． 故选：D 变式4.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的个数有（   ） ①32能被4整除：②能被整除；③13能整除13；④25不能被5整除； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】数的整除 【分析】本题考查了整除的概念，注意掌握整除的概念和前提，以及整除的特征． 根据整除的概念：如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，则a能被b整除，或b能整除a判断即可． 【详解】解：①，32能被4整除，正确； ②和是小数，不能整除，错误； ③，13能整除13，正确； ④，25能被5整除，错误； ∴正确的有2个， 故选B． 变式5.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列算式中表示整除的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数的整除 【分析】本题主要考查整除的性质，整除是指一个整数除以另一个不为零的整数，得到的商也是整数．据此分析即可． 【详解】解：A．因为的除数、被除数都是小数，故选项错误； B．因为的除数、被除数、商都是整数，故选项正确； C．因为有余数，故选项错误； D．因为的商不是整数，故选项错误． 故选：B． 题型2 找因数或倍数 【解题技巧】识别标志：题目要求“写出xx的所有因数”“写出xx的5个倍数”。 解题路径： 找因数用“成对列举法”：从1开始依次试除，若能整除，则除数和商就是一对因数，写到两个因数开始重复或靠近时停止。例如找18的因数：1×18、2×9、3×6 → 1、2、3、6、9、18。 找倍数用“依次乘法”：用这个数依次乘1、2、3、4……直到满足题目要求的个数或范围。 易错提醒：不要漏掉1和它本身；写倍数时不要忘记0倍（若题目没有特别说明，小学阶段倍数通常从1倍开始算）。 例1．（25-26六年级上·上海静安·期末）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（   ） A．12 B．18 C．21 D．45 【答案】A 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】此题考查了因数和倍数，熟练掌握一个数的因数和倍数的找法是解本题的关键． 选项的四个数中12、18、21、45是3的倍数，而这四个数中只有12是60的因数，据此即可求解． 【详解】解：在12、18、21、45四个整数中，是3的倍数有12、18、21、45， 这四个数中60的因数有12， 所以既是3的倍数，又是60的因数的数是12， 故选：A． 例2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 【答案】A 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】本题考查了倍数，掌握倍数的定义是解答本题的关键． 根据倍数的定义解答即可． 【详解】解：∵，且a， b为正整数， ∴，即a是b的倍数． 故选A． 例3．（25-26六年级上·上海宝山·期中）的因数中最大的因数是_______． 【答案】 【知识点】因数和倍数的求法 【详解】本题考查分解因数，熟记因数相关定义是解决问题的关键． 由可知，21的因数有1、3、7、21，其中最大的是即可得到答案． 【分析】解：， 21的因数有1、3、7、21， 则其中最大的是， 故答案为：． 变式1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）14的因数有______． 【答案】 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题考查因数，把14写成和即可得到答案． 【详解】解：， ∴因数为， 故答案为：． 变式2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）40以内正整数，是9的倍数的是______． 【答案】、、、 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题考查倍数． 根据倍数的定义，计算即可． 【详解】解：，符合题意， ，符合题意， ，符合题意， ，符合题意， ，不符合题意， ∴40以内正整数，是9的倍数的是、、、． 故答案为：、、、． 变式3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）一个数的最小倍数是32，最大因数也是32，这个数是_______________． 【答案】32 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】本题主要考查了最小倍数和最大因数的性质，根据最小倍数和最大因数都是它本身，即可得到答案 【详解】解：∵一个数的最小倍数和最大因数都是它本身， ∴这个数是32， 故答案为：32． 变式4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）写出12的所有因数：_________________． 【答案】1，2，3，4，6，12 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】本题主要考查了因数的认识，解题的关键是不要漏掉因数；根据12可以分成三组整数因数相乘的性质，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴12的所有因数：1，2，3，4，6，12； 故答案为：1，2，3，4，6，12． 变式5．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）按照从小到大的顺序写出60的所有因数，并求出既是3的倍数，又是60的因数的数． 【答案】60 的所有因数是1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；既是 3 的倍数，又是 60 的因数的数是 3、6、12、15、30、60 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题主要考查了求因数．根据因数的定义解答即可． 【详解】解：60 的所有因数是（从小到大写）： 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；既是 3 的倍数，又是 60 的因数的数是 3、6、12、15、30、60 题型3：根据因数或倍数的性质求数 【解题技巧】识别标志：题目问“下面哪些数能被2/3/5整除”或直接给一组数要求筛选。 解题路径：识别标志：题目给出“最大因数是几”“最小倍数是几”或“一个数既是A的因数又是A的倍数”。 解题路径： 记住两条核心性质： ① 一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身。 ② 一个数的最小因数是1，没有最大的倍数。 这两条是解决此类问题的“钥匙”。例如：若某数的最大因数是18，则该数就是18，它的最小倍数也是18。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的因数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】该题考查了因数，A由三个质数相乘得到，其因数个数为各质数指数加1后的乘积，即． 【详解】解：∵，且2、5、7均为质数， ∴ 的因数个数为个， 分别为1、2、5、7、10、14、35、70． 故选：D． 例2．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）已知，则它的所有因数有（    ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题考查了因数的概念及求法，解题的关键是先求出的值，再找出其所有因数． 先根据已知条件求出的值，再找出的所有因数，最后统计因数的个数． 【详解】解：已知，找出20的所有因数： ，所以1和20是因数； ，所以2和10是因数； ，所以4和5是因数． 综上，20的因数有、、、、、，共6个． 故选：D． 例3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）对于20、6和5这三个数，下列说法中正确的是（   ） A．20能被6整除 B．5整除20 C．6是20的因数 D．5是20的倍数 【答案】B 【知识点】数的整除、因数和倍数的求法 【分析】本题考查整除、因数和倍数的概念．解题关键是明确整除、因数、倍数的定义：“若整数除以非零整数，商为整数，且余数为零，我们就说能被整除（或说能整除）；如果（、、都是整数），那么和就是的因数，就是和的倍数”．按定义求解即可． 【详解】A．，不正确，故本选项不符合题意； B．，正确，故本选项符合题意； C．20的因数有：1、2、4、5、10、20，6不是20的因数，不正确，故本选项不符合题意； D．，6不是4的倍数，不正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 变式1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（）． A．3是9的因数 B．能被3除尽的数都是偶数 C．15是倍数，5是因数 D．偶数除以3的商一定是奇数 【答案】A 【知识点】因数和倍数的求法、 3的倍数特征 【分析】本题考查因数和倍数的概念，根据因数和倍数的定义逐一判断即可． 【详解】解：， 是的因数，故A正确； 能被整除，但是奇数，不一定是偶数， ∴B错误； 倍数和因数需成对出现，C中未指明参照对象， ∴C错误； 是偶数，，是偶数，不是奇数， ∴D错误． 故选：A． 变式2.（25-26六年级上·上海·阶段检测）的最大因数与它的最小倍数的积是__________． 【答案】 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】根据因数与倍数的性质，先确定的最大因数和最小倍数，再计算二者的乘积即可． 【详解】解：的最大因数是， 的最小倍数是， 计算两者的积：． 变式3.（25-26六年级上·上海宝山·期中）的因数中最大的因数是_______． 【答案】 【知识点】因数和倍数的求法 【详解】本题考查分解因数，熟记因数相关定义是解决问题的关键． 由可知，21的因数有1、3、7、21，其中最大的是即可得到答案． 【分析】解：， 21的因数有1、3、7、21， 则其中最大的是， 故答案为：． 变式4.（25-26六年级上·上海普陀·期中）27的因数有______． 【答案】 1，3，9，27 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题考查了因数，解题的关键是掌握因数的定义．两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数，根据定义直接写出即可． 【详解】解：， 则27的因数有1，3，9，27． 故答案为：1，3，9，27． 题型4 能被2、3、5整除的数特征的判断 【解题技巧】识别标志：题目问“下面哪些数能被2/3/5整除”或直接给一组数要求筛选。 解题路径： 锁定对应特征，逐一验证： 除数 看哪里 怎么判 2 个位 是否为0、2、4、6、8 5 个位 是否为0或5 3 各位数字之和 和能否被3整除 4 末两位 末两位能否被4整除 9 各位数字之和 和能否被9整除 11 奇数位和−偶数位和 差能否被11整除 解题策略：按照“特征→验证→标注”的流程操作，不要跳步，避免把3的特征错用在个位上。 例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）能被2整除的数一定是（   ） A．素数 B．合数 C．偶数 D．奇数 【答案】C 【知识点】数的整除、 2、5的倍数特征、 奇数与偶数的认识 【分析】本题考查偶数的定义，解题关键是明确偶数的定义：“能被2整除的整数叫作偶数”．根据定义分析即可． 【详解】A．素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．例如2能被2整除，是素数，但4能被2整除，是合数不是素数，所以能被2整除的数不一定是素数，不正确，故本选项不符合题意； B．合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数(0除外)整除的数．2能被2整除，但2是素数不是合数，所以能被2整除的数不一定是合数，不正确，故本选项不符合题意； C．根据偶数的定义，能被2整除的数一定是偶数，正确，故本选项符合题意； D．奇数是不能被2整除的整数，所以能被2整除的数不是奇数，不正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 例2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列各数中，能同时被2、5整除的数是（    ） A．16 B．25 C．35 D．100 【答案】D 【知识点】数的整除、 2、5的倍数特征 【分析】本题考查能被和整除的数的特征． 根据能被和整除的数的特征，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．能被2整除，不能被5整除，不符合题意； B．能被5整除，不能被2整除，不符合题意； C．能被5整除，不能被2整除，不符合题意； D．能被2整除，也能被5整除，符合题意． 故选：D． 例3．（25-26六年级上·上海青浦·期末）写出一个能同时被2、3和5整除的数：__________． 【答案】30（不唯一） 【知识点】数的整除、 2、5的倍数特征 【分析】本题考查了除法中整除的应用，掌握最小公倍数的定义是解答本题的关键．能同时被2、3和5整除的数必须是2、3和5的公倍数，即30的倍数． 【详解】解：因为2、3和5都是质数， 所以它们的最小公倍数是， 因此，任何30的倍数都能同时被2、3和5整除、例如，30、60、90等． 故答案为：30（不唯一）． 例4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果237减去正整数后所得的整数能同时被2和5整除，最小值是_____． 【答案】7 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】本题考查了整除，熟练掌握整除的意义是解题的关键． 根据能被和同时整除，推出能被整除，进而解题． 【详解】解：由题意知，能被和同时整除，即能被整除， 当最小时，最大，小于且能被整除的最大数是， 此时． 故答案为： ． 变式1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）用0、5、8组成的三位数同时能被2、5整除，则最小的三位数是______． 【答案】580 【知识点】数的整除、 2、5的倍数特征 【分析】本题考查了数的整除，由于该数需同时被2和5整除，根据2和5的倍数特征，个位数字必须为0，因此，三位数的个位固定为0，百位不能为0，故从剩余数字5和8中选择较小的5作为百位，十位为8，组成最小三位数580，熟练掌握2和5的倍数特征是解此题的关键． 【详解】解：∵要同时被2和5整除， ∴个位必须为0， ∴百位可选5或8， ∵为得到最小三位数， ∴百位取较小数字5，十位为剩余数字8， 故数为580， 故答案为：580． 变式2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）在82、75、90这3个数中，______既是2的倍数，又是5的倍数． 【答案】90 【知识点】因数和倍数的求法、 2、5的倍数特征 【分析】本题考查倍数．根据2和5的倍数的特征进行判断即可解答． 【详解】解：，，， 故90既是2的倍数，又是5的倍数， 故答案为：90． 变式3．（25-26六年级上·上海虹口·期中）能被5整除的最小的三位数是_________． 【答案】100 【知识点】数的整除、 2、5的倍数特征 【分析】本题主要考查了数的整除，能被5整除的数的个位数字是0或5，最小的三位数100的个位为0，因此能被5整除． 【详解】解：能被5整除的最小的三位数是100． 故答案为：100． 变式4．（25-26六年级上·上海·期中）四位数2025至少加上______可以同时被2、3、5整除（填写一个正整数）． 【答案】15 【知识点】 2、5的倍数特征、 3的倍数特征 【分析】本题考查了、、的倍数特征，掌握、、的倍数特征是解题的关键．根据、、的倍数特征求解即可．要同时被2、3、5整除，即被30整除．计算2025除以30的余数，然后求需要加上的最小正整数使和成为30的倍数． 【详解】解：由于2、3、5互质，它们的公倍数是30的倍数． ，余数为， 所以需要加上 即能被2、3、5整除． 故答案为：． 变式5．（24-25六年级上·上海·期中）在75、50、42、40、66、105中，既是2的倍数又能被5整除的数有___________． 【答案】50和40 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】本题考查了2的倍数特征、5的倍数的特征． 既是2的倍数又能被5整除的数，其个位数字必须为0，因此只需从给定数中找出个位为0的数即可． 【详解】解：在75、50、42、40、66、105中，个位为0的数有50和40，因此既是2的倍数又能被5整除的数有50和40． 故答案为：50和40． 题型5：整除知识在实际问题中的应用 【解题技巧】识别标志：题目有实际场景（分苹果、排队、分糖果等），核心是“平均分完没有剩余”。 解题路径： 本质是“求因数”或“求公因数”的问题。把总数分解成若干份，每份数量相等且无剩余 → 每份数必须是总数的因数。若涉及多个总数，则需找公因数或公倍数。 操作步骤：① 理解题意，确定是“分完”还是“正好站满”等；② 将实际问题转化为“求某个数的因数（或倍数）”的数学问题；③ 列出所有符合条件的因数/倍数；④ 根据题目附加条件（如人数范围、不少于几等）筛选最终答案。 例1．（24-25六年级上·上海·阶段测试）有盏灯，分别对应编号为至的个开关．现有编号为至的个人按动这些开关．第个人按所有的倍数的开关，第个人按所有的倍数的开关，依此类推，第个人按所有的倍数的开关．若初始灯全亮，则最终有_________盏灯是亮着的． 【答案】 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】本题考查约数，完全平方数，解题的关键是正确理解题意． 根据灯的开关被按动的次数与灯的亮灭状态的关系，结合完全平方数的性质，即可求解． 【详解】解：∵初始灯全亮， ∴一盏灯，被按动奇数次是灭的，被按动偶数次是亮的， 根据题意可知，一盏灯的开关被按动的次数，等于这盏灯编号的因数个数， ∵完全平方数的因数个数为奇数，非完全平方数的因数个数为偶数，，， ∴至中的完全平方数共有，，，，，，共个， ∴最终亮着的灯有（盏）， 故答案为：． 例2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）50名学生面向老师站成一排按从左到右的顺序依次报 1，2，3，……，50．报完后，老师让所有报双数的学生向后转，接着又让报5的倍数的学生向后转．最后，又让报3的倍数的学生向后转．此时还有多少学生面向老师？ 【答案】 【知识点】数的整除、因数和倍数的求法 【分析】通过计算每个学生被向后转的次数（即被2、5、3整除的次数）的奇偶性，确定最终方向．面向老师的学生包括未被任何数整除的学生和被恰好两个数整除但不被三个数整除的学生． 【详解】解：由题意可得：转一次的背向老师，转二次的背向老师，转三次的面向老师， 所以面向老师的学生是转次或转次的学生， 个数中的倍数是个，的倍数个，的倍数个， 与的公倍数即的倍数有个， 与的公倍数即的倍数有个， 与的公倍数即的倍数有个， 与与的公倍数即的倍数有个， 所以， 转次的学生有（个）， 转次的学生有（个）， 故第三次转向后，面向老师的总人数变为（人）． 例3．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）已知与分别表示不超过100的正整数，且， (1)若，则与的最小值分别是多少？ (2)如果，则与分别表示哪些数？ 【答案】(1)， (2)，；，；，；， 【知识点】数的整除、 3的倍数特征 【分析】本题考查了3的倍数，整除，解题的关键是掌握3的倍数的特点； （1）由已知可得，根据整除的特性即可得解； （2）由已知可得，则是3的倍数，再对A进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 是不超过100的正整数，且， 的最小值为12， ， 的最小值为6， 与的最小值分别是12，6． （2）解：， ， 是不超过100的正整数，且， 是3的倍数， 当时，，不满足，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 的值为；；；． 变式1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题主要考查了求一个数的因数，根据完满数的定义，需计算各数的所有因数之积，若等于该数的平方，则为完满数，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、12的因数有1、2、3、4、6、12，所有因数的积为， ∴12不是完满数，故此选项不符合题意． B、14的因数有1、2、7、14，所有因数的积为， ∴14是完满数，故此选项符合题意． C、16的因数有1、2、4、8、16，所有因数的积为， ∴16不是完满数，故此选项不符合题意． D、18的因数有1、2、3、6、9、18，所有因数的积为， ∴18不是完满数，故此选项不符合题意． 故选：B． 变式2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）从一块正方形的木板上锯下宽为3厘米的一个木条后，剩下木板的面积是108平方厘米，则锯下的木条面积是____________平方厘米． 【答案】36 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题主要考查了分解因数，解题的关键是读懂题意正确的分解因数；先根据正方形的边长相等，因为一边截取3，所以108的两个因数差为3，把108分解因数得到答案即可； 【详解】解：由题意可知：边长×（边长-3）=108， ∵， 而要使108的两个因数相差3，那么， ∴正方形的边长为12厘米， ∴（平方厘米） ∴锯下的木条面积是36平方厘米， 故答案为：36． 变式3．（24-25六年级上·上海·期末）给出一种新规定：对于正整数n，规定（n）表示n的不同因数的个数．比如，5的不同因数是1和5，所以，8的不同因数是1、2、4和8，所以，等等．请你在理解这种新规定的基础上进行计算，那么______． 【答案】13 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题考查了求一个数的因数的方法．先找出6的所有因数，其个数为的值，同样找出36的所有因数，其个数为的值，再把这两个值相加即可． 【详解】解：6的因数有：1、2、3、6，共4个，所以； 24的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个，所以； ， 故答案为：13． 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）个位上是__________的数，既是2的倍数，又是5的倍数． 【答案】0 【知识点】 2、5的倍数特征 【分析】根据2的倍数特征和5的倍数特征，找出同时满足两个条件的个位数字即可． 【详解】解：2的倍数的特征为个位上是0，2，4，6，8的数，5的倍数的特征为个位上是0或5的数，同时满足两个条件的个位数字只有0，因此个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数． 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）在数，，，，中，能被整除的数有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】数的整除 【分析】利用“个位是偶数的整数能被整除”的性质，逐一判断即可得到结果． 【详解】∵能被整除的整数的特征是个位数字为， ∴符合条件的数为和，共有个． 3.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列算式中表示整除的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数的整除 【分析】本题考查数的整除． 根据整除的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，商不是整数，不符合题意； B．，被除数和除数不是整数，不符合题意； C．，除数不是整数，不符合题意； D．，是表示整除的算式，符合题意． 故选：D． 4.（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．2能被1整除 B．6能被3整除 C．6能整除3 D．能被2、5整除的最小正整数是10 【答案】C 【知识点】数的整除 【分析】本题考查整除的概念．根据整除的定义，若整数能被整数整除，则存在整数使得．需逐一验证各选项是否符合该定义． 【详解】解：A：2能被1整除．故A正确． B：6能被3整除．故B正确． C：6不能整除3．故C错误． D：2和5的最小公倍数为，能被2、5整除的最小正整数是10．故D正确． 故选：C． 5．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）用5、4、0三个数字组成的所有三位数都能被（    ）整除 A．2 B．3 C．5 D．2、3和5 【答案】B 【知识点】数的整除 【分析】先确定由5、4、0组成的所有三位数，再分别依据2、3、5的整除判定规则，分析这些数是否能被选项中的数整除． 【详解】解：用5、4、0三个数字组成的三位数有、、、； ，9能被3整除， 所以这四个数都能被3整除； 的个位是5，不能被2整除，故选项A、D错误； ∵的个位是4，不能被5整除，故选项C错误； 综上，用5、4、0三个数字组成的所有三位数都能被3整除，答案为B． 6.（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果，那么m的因数有______个，倍数有_____个． 【答案】 8 无数 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题考查了找一个数因数的方法，倍数，找因数的方法：把一个数写成两个数乘积的形式，然后一对对的列举下来即可；一个数的倍数一般有无数个，据此解答即可． 【详解】解：如果，那么m的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，共8个； 30乘以任意整数都是m的倍数，所以m的倍数有无数个． 故答案为：8；无数． 7.（25-26六年级上·上海·阶段检测）a，b，c，d是互不相等的正整数，且，那么的值是______． 【答案】32 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题考查了因数整除的知识点，通过整除441的因数，找出满足条件的互不相等的正整数a，b，c，d，进而求出的值． 【详解】解：由题意知，， ∵a，b，c，d是互不相等的正整数， ∴， ∴a，b，c，d对应这四个数， ∴． 故答案为：32． 8.（24-25六年级上·上海杨浦·期中）控制论之父维纳在某年曾经说过：“我现在的年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领域干成一番大事业”．请问，他是在______岁的时候说的这个话． 【答案】18 【知识点】因数和倍数的求法 【分析】本题主要考查了实验法．本题先通过缩小范围然后再试验．首先一个数的立方是四位数，四次方是六位数，得出年龄在18和21之间，然后再去掉20、21，因为它的个位数字分别是“0”，“1”；然后再试一试，可得答案为18． 【详解】解：∵， ∴他的年龄大于或等于18岁； ∵，， ∴他的年龄小于22岁 ∴他的年龄可能为18，19，20，21，22， ∵个位数是0和1的数，无论是几次方，个位数扔是0和1，重复， ∴21，22不符合题意， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以他是在18岁的时候说的这个话． 故答案为：18 9.（25-26六年级上·上海·期中）小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 【答案】D 【知识点】数的整除 【分析】本题考查了数的整除，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 齿轮咬合时转过的齿数相等，小齿轮4分钟转圈，转过齿，大齿轮转过的圈数需为整数，故其齿数需为的因数． 【详解】解：∵小齿轮齿数，每分钟转3圈， ∴4分钟转圈， 转过齿数：齿． ∵齿轮咬合，转过的齿数相等，且大齿轮需回到初始位置， ∴大齿轮转过的圈数为整数， 设大齿轮齿数为，则， ∴需为的因数． 选项中，（整数）， 而、、均不能整除， 故选：D． 10.（25-26六年级上·上海·阶段检测）从0、2、3、4、5、8中选出四个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的最大四位数是_______． 【答案】 【知识点】 2、5的倍数特征、 3的倍数特征 【分析】本题考查了倍数，熟练掌握2，3和5的倍数特征是解题关键．先得出这个四位数末尾数字必须是0，且各个数位上的数字的和必须被3整除，再使千位上数字、百位上数字尽可能大，最后确定十位上的数字，由此即可得． 【详解】解：能同时被2、3、5整除的数，其末尾数字必须是0，且各个数位上的数字的和必须被3整除， 要使这个四位数最大，则先选千位上的数字为8，再在剩下的数字中选最大的5为百位上的数字，此时十位上的数字只能是2（，15能被3整除）， 所以这个最大的四位数是， 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $