3.5 圆内接四边形 同步练习 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习围绕圆内接四边形性质，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一性质到综合推理的知识进阶，适配新授课知识内化与推理能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆内接四边形对角互补、外角性质等核心概念|选择（1-5）、填空（6-8）直接应用性质计算角度，夯实基础认知| |中档层|结合等腰三角形、圆心角等知识|解答（9-10）、选择（11）需简单推理（如第10题证明角关系），培养推理意识| |提升层|综合圆的对称性、翻折变换等|填空（12-13）、解答（14-16）涉及多步推理（如第16题结合垂径定理），发展几何直观与创新意识|

3.5　圆内接四边形 分值：75分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.四边形ABCD内接于☉O，∠A=60°，∠B=80°，则∠C的度数为(　D　) A.60° B.80° C.100° D.120° 2.若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能为(　D　) A.3∶1∶2∶5 B.1∶2∶2∶3 C.2∶7∶3∶6 D.1∶2∶4∶3 3.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BD是对角线，∠ABD=40°，则∠C的度数是(　C　) A.50° B.60° C.80° D.100° 【解析】 ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=40°， ∴∠BAD=180°－∠ABD－∠ADB=100°， ∴∠C=180°－∠BAD=80°。 4.如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是(　B　) A.一般的平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【解析】 若圆的内接四边形的对角线的交点是圆心， 则两条对角线都是圆的直径， ∴四边形的两条对角线相等。 又∵圆心把两条直径都平分， ∴该四边形是对角线相等且互相平分的四边形，即矩形。 5.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是(　C　) A.50° B.55° C.65° D.70° 6.(3分)如图，点A，B，C在☉O上，∠B=90°，在上取一点D，则∠D的度数是　90　°。  7.(3分)如图，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是菱形，则∠D=　60　°。  【解析】 ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠B＋∠D=180°。 ∵四边形OABC是菱形， ∴∠B=∠AOC， ∴∠AOC＋∠D=180°。 又∵∠AOC=2∠D， ∴∠D=60°。 8.(3分)如图，在☉O中，点A在上，∠BOC=100°，则∠BAC=　130　°。  第8题图　　 第8题答图 【解析】 如答图，在优弧BC上取点D，连结CD，BD，则∠CDB=∠BOC=50°， ∴∠CAB=180°－∠CDB=130°。 9.(6分)如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线相交于点P，∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数。 解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠D=180°－∠ABC=80°， ∴在△PCD中，∠C=180°－∠P－∠D=70°。 10.(8分)如图，四边形ABCD内接于☉O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E。 (1)(4分)若∠BAC=40°，则∠ADC=　110　°；∠DAC=　20　°。  (2)(4分)求证：∠BAC=2∠DAC。 解：(1)∵AB=AC，∠BAC=40°， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠ADC=180°－∠ABC=180°－70°=110°。 ∵AC⊥BD，∴∠CBD=90°－∠ACB=20°， ∴∠DAC=∠DBC=20°。 (2)∵BD⊥AC，∴∠AEB=∠BEC=90°， ∴∠ACB=90°－∠CBD。 ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=90°－∠CBD， ∴∠BAC=180°－2∠ABC=2∠CBD。 又∵∠DAC=∠CBD， ∴∠BAC=2∠DAC。 11.如图，四边形ABCD内接于☉O，BC∥AD，AC⊥BD。若∠AOD=120°，OA=，则∠CAO的度数与BC的长分别为(　C　) A.10°， B.10°，1 C.15°， D.15°，1 第11题图 第11题答图 【解析】 如答图，设AC与BD的交点为E，连结OB，OC。 ∵BC∥AD，∴∠DBC=∠ADB， ∴， ∴∠AOB=∠COD，∠CAD=∠BDA。 ∵DB⊥AC，∴∠AED=90°， ∴∠CAD=∠BDA=45°， ∴∠AOB=∠COD=2∠CAD=90°。 又∵∠AOD=120°，OA=OD， ∴∠BOC=360°－90°－90°－120°=60°，∠OAD=∠ODA=30°， ∴∠CAO=∠CAD－∠OAD=15°。 ∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OB=OA=。 12.(3分)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BCD=135°，☉O的半径为5，则BD的长为　5　。  第12题图 第12题答图 【解析】 如答图，作直径DE，连结BE， 则∠A=∠E，∠EBD=90°。 ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠A＋∠BCD=180°。 又∵∠BCD=135°， ∴∠A=45°，∴∠E=45°。 ∵☉O的半径为5，∴DE=10， ∴易知BD=DE=5。 13.(3分)如图，△BCD内接于☉O，把向圆内翻折，A是翻折后劣弧CD上的一点，若∠CAD=100°，则∠BCA＋∠BDA=　20　°。  【解析】 如答图，作点A关于CD的对称点A'，则点A'在☉O上， 第13题答图 ∴∠A'=∠CAD=100°， ∴∠B=180°－∠A'=80°， ∴∠BCD＋∠BDC=180°－∠B=100°。 ∵∠CAD=100°， ∴∠ACD＋∠ADC=180°－∠CAD=80°， ∴∠BCA＋∠BDA=(∠BCD＋∠BDC)－(∠ACD＋∠ADC)=100°－80°=20°。 14.(8分)如图，☉O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F。 (1)(4分)若∠E=∠F，求证：∠ADC=∠ABC。 (2)(4分)若∠E=40°，∠F=42°，求∠A的度数。 第14题图 第14题答图 解：(1)∵∠ADC=∠E＋∠ECD，∠ABC=∠F＋∠FCB。 而∠E=∠F，∠ECD=∠FCB， ∴∠ADC=∠ABC。 (2)如答图，连结EF，并标注∠1和∠2。 ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠ECD=∠A。 ∵∠ECD=∠1＋∠2，∴∠A=∠1＋∠2。 ∵∠A＋∠1＋∠2＋∠AEB＋∠AFD=180°， ∴2∠A＋∠AEB＋∠AFD=180°。 又∵∠AEB=40°，∠AFD=42°， ∴2∠A=98°， ∴∠A=49°。 15.(10分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长BA至点F，使AF=AD=5，延长AD至点E，使EF∥BC。 (1)(4分)求证：∠ADC=∠F。 (2)(6分)若∠ACD=∠EAF，求BF的长。 解：(1)∵EF∥BC，∴∠F＋∠ABC=180°。 又∵∠ADC＋∠ABC=180°， ∴∠ADC=∠F。 (2)∵∠ACD=∠EAF=(180°－∠DAB)=∠DCB， ∴∠ACB=∠ACD， ∴AB=AD=5。 又∵AF=5，∴BF=AF＋AB=10。 16.(10分)[推理能力]如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的一点，AG，DC的延长线相交于点F。 (1)(4分)求证：∠FGC=∠AGD。 (2)(6分)若GD平分∠AGC，∠ADG=45°，AF=，求弦DC的长。 第16题图　　 第16题答图 解：(1)如答图，连结AC。 ∵AB是☉O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∴AD=AC，∠ADC=∠AGD。 ∵四边形ADCG内接于☉O， ∴易证∠FGC=∠ADC， ∴∠FGC=∠AGD。 (2)如答图，连结BG。 ∵AB是☉O的直径，弦CD⊥AB， ∴DE=CE。 ∵GD平分∠AGC， ∴∠AGD=∠CGD。 又∵∠FGC=∠AGD， ∴∠CGD=∠AGD=∠FGC。 又∵∠AGD＋∠CGD＋∠FGC=180°， ∴∠FGC=∠AGD=60°， ∴∠ADC=∠ACD=∠AGD=60°， ∴△ADC是等边三角形。 又∵AB⊥CD，∴∠CAE=∠DAE=30°。 ∵∠ADG=45°， ∴∠CAG=∠CDG=∠ADC－∠ADG=15°， ∴∠EAF=∠CAE＋∠CAG=45°。 又∵AF=， ∴在Rt△AEF中，AE=EF=AF=。 在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°， ∴DE=AE=1， ∴DC=2DE=2。 学科网（北京）股份有限公司 $3.5圆内接四边形 分值：75分 选择题每小题3分 基础对点练 1.四边形ABCD内接于⊙O,∠A=60°，∠B=80°，则∠C的度数为() A.60° B.80° C.100° D.120° 2.若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角∠A,∠B,∠C,∠D的度数之 比可能为() A.3:1:2:5 B.1:2:2:3 C.2:7:3:6 D.1:2:4:3 3.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD,BD是对角线，∠ABD=40°，则 ∠C的度数是() ●0 A.50° B.60° C.80° D.100° 4.如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD 定是() A.一般的平行四边形 B.矩形 C菱形 D.正方形 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是() 0 B C E A.50° B.55° C.65° D.70° 66分)如图，点A,B,C在©0上，∠B90,在AnC上取一点D,则∠D的 度数是 B 0 7.(3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,若四边形OABC是菱形，则∠D- 0。 D 0 B 83分)如图，在O0中，点A在BC上，∠B0C-100,则∠MC- °。 第8题图 9.(6分)如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA,CB的延长线相交于点 P,∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数。 D 4 D 10.(8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E。 (1)(4分)若∠BAC=40°，则∠ADC= °：∠DAC= 0。 (2)(4分)求证：∠BAC=2∠DAC。 0 B B综合提升练 11.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC∥AD,AC⊥BD。若∠AOD=120°，OA= V2:则∠CA0的度数与BC的长分别为() A.10°，V2 B.10°，1 C.15°，V2 D.15°，1 B C 第11题图 12.(3分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=135°， ⊙O的半径为5，则BD的长为 2 A 0。 B D 第12题图 13.(3分)如图，△BCD内接于OO,把CD向圆内翻折，A是翻折后劣弧CD上的 一点，若∠CAD=1O0°，则∠BCA+∠BDA= 0 D 14.(8分)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E, F。 (I)(4分)若∠E=∠F,求证：∠ADC=∠ABC。 (2)(4分)若∠E=40°，∠F=42°，求∠A的度数。 0 B 第14题图 15.(10分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长 BA至点F,使AF=AD=5,延长AD至点E,使EF∥BC。 (1)(4分)求证：∠ADC=∠F。 Q6分)若∠ACD号∠EAR,求BF的长. D *挑战备选练（选做) 16,(I0分推理能力]如图，AB是o0的直径，弦CDLAB于点，么G是AC上的 一点，AG,DC的延长线相交于点F。 (1)(4分)求证：∠FGC-∠AGD。 (2)(6分)若GD平分∠AGC,∠ADG-45°，AF-V6,求弦DC的长。 0 G D E B 第16题图