高一暑假收心卷02（暑假测试）新高一数学人教B版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦人教B版必修第一册，通过120分钟150分的题量，以集合、函数、不等式等核心知识为载体，融合实际应用与创新定义，强化数学眼光、思维与语言的综合训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系、充要条件、函数奇偶性|基础概念辨析，如第4题奇函数与增函数判断| |多选题|3/18|函数性质、集合性质|多选项深度考察，如第10题非空数集性质推理| |填空题|3/15|方程根、反比例函数、集合容量|创新情境，如第14题集合子集容量求和| |解答题|5/77|集合运算、函数单调性、实际利润、创新定义、函数对称|综合应用与探究，如17题公司利润函数建模（应用意识）、18题性质P创新定义（创新意识）、19题函数对称证明（数学思维）|

暑假收心卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教B版必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2．已知，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】首先求解不等式： 将不等式变形为，因式分解得，解得. 充分性验证：若则成立，即成立. 必要性验证：若则，但不一定成立. 所以“”是“”的充分非必要条件. 3．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 4．下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 5．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 6．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 8．定义在上的函数满足：对任意，恒成立．则下列说法正确的是（    ） A．函数一定是常值函数 B．函数的函数值一定非负 C．若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点 D．若函数存在零点，则一定存在，使得 【答案】C 【解析】对于， 1）若，等式成立； 2）若， 若，等式成立． 若，，则必有，可知可以是常值函数或非负函数 若，或，等式不成立． 由以上讨论可知可以是常值函数或非负函数． A选项，任取一个非负非常值函数满足，但不是常值函数． B选项，任取一个负常值函数满足，但不是非负函数． C选项，若函数是上的严格增函数且存在零点，设，由于严格递增， 取，，有，，此时 ，与题设矛盾，故不存在零点． D选项，存在反例，满足条件．，，有． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A：，则，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，而， 所以，故C错误； 对于D：，则，故D正确. 故选：AD 10．已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. 11．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 代入得：． 13．已知和为平面坐标系中的两点，若反比例函数图象与线段AB有交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】设直线的方程为，则，解得， 直线的方程为，线段的方程为， 由，得当时，， 所以k的取值范围为. 14．已知集合M，将集合M的所有元素的乘积称为M的容量（若M中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0），若，则集合M所有子集的容量之和为__________. 【答案】 【解析】设， 将其括号打开得 ， 发现上述式子的除以外的每一个系数，刚好是集合M所有非空子集的容量， 故令，则， 而的系数是1，故集合M所有子集的容量之和为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 16．（15分） 已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 【解析】（1）函数，且，则，解得， ，所以. （2）由（1）知，，且， 则， 由，得，， 则，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（2）得函数在区间上单调递减， 则，， 所以函数在区间的最大值和最小值分别为38和11. 17．（15分） 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位：万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【解析】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由题意可知， 因为， 所以， 因为， 所以 ， 因为， 所以， 所以的取值范围为； （3）， 当时， ， 当且仅当时取等号，即时取等号， 即，， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大值为万元. 18．（17分） 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【解析】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质，所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或       ， 且都满足： . （3）证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 19．（17分） “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． ①求函数的对称中心； ②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围． 【解析】（1）函数的图象关于点对称， 所以， 令，得； （2）①， ，即满足， 所以函数的图象关于点对称； ②命题“，使得成立”是真命题， 又在上单调递增， 所以时，的值域为， 因函数的图象关于点对称，则， 当时，，则当时，， 则， 化简得. 命题“，，使得成立”是真命题, 即在上的值域是在上的值域的子集. 先考虑时，，其对称轴为直线， ①当时，在单调递增，，， 此时，需满足，解得，故得； ②当时，在单调递减，在单调递增， ，， 需满足，解得； ③当时，在单调递减， ，， 此时，需满足，解得，故得. 再分析时，，其对称轴为直线， ①当，即时，在单调递减， ，，此时， 需满足，解得，故得； ②当，即时，， ， 需满足，可得； ③当，即时，在单调递增， ，，此时， 需满足，解得，故. 综合函数在与的上的情况，可得. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教B版必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 8．定义在上的函数满足：对任意，恒成立．则下列说法正确的是（    ） A．函数一定是常值函数 B．函数的函数值一定非负 C．若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点 D．若函数存在零点，则一定存在，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 10．已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，是方程的两个根，则的值为______． 13．已知和为平面坐标系中的两点，若反比例函数图象与线段AB有交点，则k的取值范围为______． 14．已知集合M，将集合M的所有元素的乘积称为M的容量（若M中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0），若，则集合M所有子集的容量之和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 16．（15分） 已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 17．（15分） 某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位：万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 18．（17分） 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 19．（17分） “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． ①求函数的对称中心； ②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $