高一暑假收心卷01（暑假测试）新高一数学人教B版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦人教B版必修第一册，通过基础概念（如集合运算、充分必要条件）与综合应用（如利润函数模型、“闭函数”新定义）的梯度设计，培养数学抽象与推理能力，适配暑期复习衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|充分必要条件（第1题）、函数奇偶性（第4题）|结合生活情境（如“努力学习与成功”）考查概念，体现数学眼光| |多选|3/18|集合关系（第9题）、命题否定（第10题）|多角度辨析易错点，强化逻辑推理| |填空|3/15|不等式恒成立（第12题）、基本不等式求最值（第13题）|聚焦运算能力，提升解题规范性| |解答|5/77|利润函数模型（第16题）、“闭函数”探究（第19题）|融合实际应用与创新探究，发展模型意识与创新思维|

暑假收心卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教B版必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 2．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 3．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 4．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 6．学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 7．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 10．下列说法错误的是（    ） A．已知集合，且，则实数为或 B．当时，的最小值是 C．不等式解集为或 D．命题“”的否定是 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 13．已知，均为正数，若，则最小值为________. 14．已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 16．（15分） 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 17．（15分） 已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 18．（17分） 已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 19．（17分） 对于定义在上的函数 ，如果存在实数 （），使得对任意的 ，都有 ，且存在使得，存在使得 ，则称是上的“闭函数”，区间称为的“闭区间”. (1)判断函数在区间上是否为“闭函数”，并说明理由； (2)若函数在区间上是“闭函数”，求实数的取值范围； (3)若函数是R上的“闭函数”，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教B版必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 2．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，， 所以． 3．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 4．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 5．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 6．学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【解析】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 7．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 8．设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若 ，即 ，则 ，不等式 恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当 时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当 时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】BC 【解析】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 10．下列说法错误的是（    ） A．已知集合，且，则实数为或 B．当时，的最小值是 C．不等式解集为或 D．命题“”的否定是 【答案】ACD 【解析】对选项A：∵ ，∴ 或 ， 解得 或 或 . 根据集合元素的互异性， 若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，则 ，满足互异性，故 ，选项A错误. 对选项B：∵ ，∴ ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为，选项B正确. 对选项C：不等式 等价于 ， 解得 或 ，选项C中将 纳入解集，忽略分母不为的要求，错误. 对选项D：全称命题的否定为特称命题，仅否定结论，不改变量词的限定范围， 故命题“”的否定为“”， 选项D中错误修改了限定范围为 ，错误. 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【答案】AB 【解析】A：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确. B：函数定义域为，关于原点对称， 若，则，， 若，则，， ∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确. C：令，在上，， 当时，，不满足单调递增的定义，故C错误. D：取，满足， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 13．已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【解析】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 14．已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由方程有两个不等实根，，由判别式可得，解得， 根据韦达定理，得到， 所以， 因为在上单调递增， 所以，所以， 即，解得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 【解析】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. 16．（15分） 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量（总收益=总成本+利润.）. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）设月产量为台，利润为元，则总成本为元， 因， 则当时，； 当 时，. 故； （2）当时，， 所以当时，取得最大值25000； 当时，是减函数， 所以. 所以当时，的最大值为25000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元. 17．（15分） 已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 【解析】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 18．（17分） 已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，证明如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数. （2）在上是单调递减的函数，理由如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． （3）由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 19．（17分） 对于定义在上的函数 ，如果存在实数 （），使得对任意的 ，都有 ，且存在使得，存在使得 ，则称是上的“闭函数”，区间称为的“闭区间”. (1)判断函数在区间上是否为“闭函数”，并说明理由； (2)若函数在区间上是“闭函数”，求实数的取值范围； (3)若函数是R上的“闭函数”，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数在区间上，当时，取最小值； 当或时，取最大值. 所以对任意，有，且存在使，存在或使. 因此函数在区间上是“闭函数”，闭区间为. （2）因为函数在区间上单调. 若，则在上单调递减，所以，即. 由“闭函数”定义得，所以.此时闭区间为. 同理，若，则在上单调递增，闭区间为. 若，则为常函数，也是闭函数. 所以实数的取值范围为R. （3）因为函数表示点到点和点的距离之和. 即，如图： 因为点在上，作点关于轴的对称点，所以， 由几何意义知，，而点在上， 所以当三点共线时，函数取得最小值. 当时，，所以的最小值为，值域为. 若是R上的“闭函数”，则需存在使，但值域为无穷区间，所以不存在有限闭区间. 因此不存在实数使是R上的“闭函数”. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $