精品解析：2026年陕西西安高新第一中学九年级中考前数学阶段测试 试题

2026年西安高新一中七模数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每个小题只有一个选项符合题意） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较、算术平方根，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键．比较四个实数的大小即可得出结论． 【详解】解：， ， 最小的数是． 故选：D． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由三视图可得， 该几何体为圆柱和长方体的组合，上层为圆柱，下层为长方体，圆柱的底面直径和长方体的宽相等，圆柱的高和长方体的高近似相等， ∴只有选项C符合题意． 3. 如图，，如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出  的度数，再利用三角形外角的性质求出  的度数． 【详解】，，  （两直线平行，同位角相等）， 是 的外角， ， ， ， ． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照先算乘方，再算除法的顺序，结合积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】∵，， ∴原式 ． 5. 如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：由网格图可知， ，点到所在直线的距离为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ． 6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．若直线分别与轴、直线交于点，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程或方程组得到A（0，3），B（1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在y=-x+3中，令x=0，得y=3， 解得，， ∴A（0，3），B（1，2）， ∴△AOB的面积=×3×1=， 故选：C． 【点睛】本题考查了直线围成图形面积问题，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 7. 如图，已知菱形中，过中点E作，交对角线于点M，交的延长线于点F．连接，若，，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与的交点为H，过点D作，垂足为G，根据菱形的性质可得，，证明，可得，易证，可得，进而可得的长，由菱形的性质可证是等边三角形，得到，进而得到，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设与的交点为H，过点D作，垂足为G， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是中点， ∴， ∵，交对角线于点M， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，． 8. 已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在实数，3.13113113，中，无理数有_____ 个． 【答案】2 【解析】 【详解】解：在实数，3.13113113，中，无理数有，，共2个． 10. “幻方”最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中，如图，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都相等，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用—数字问题，先根据左侧三角形求出每个小三角形的三个顶点上的数字之和，再依次求出x，y，z的值，最后求和即可． 【详解】解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，证明△OBC的面积=△ABC的面积， 可得图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接BO，CO，OA． 由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形， ∴∠AOB=∠OBC=60°， ∴， ∴△OBC的面积=△ABC的面积， ∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积= （）． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型． 12. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，  ∴点与点关于原点对称， ∴点和点的横纵坐标互为相反数， ， ， 解得，，  ， 把 代入， 得， 解得． 13. 如图，在四边形中，，，，，，点在直线右侧，的面积为，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形面积公式，算出到距离，结合证在垂直平分线上，得，于是．依据三角形三边差定理，，最大值为．再分步计算，推出，得，结合和三角函数求得． 【详解】解：过点P作于点J，K，过点D作于点G，连接，如图， ∵，， ∴ 解得， ∵，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点K为的中点， 又∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴在中，； ∴的最大值为的长度． 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，且， ∴， ∴的最大值为． 三、解答题（共12小题，共计81分．解答题应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： . 15. 解不等式组：，并写出它的最小整数解． 【答案】不等式组的解集为 ，最小整数解为 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，最后确定最小整数解即可. 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为. 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】略 18. 如图，在四边形中，，是边上一点，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据已知条件可证得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形性质可得，根据等边对等角可得，进而证明． 【详解】略 19. 西安是个好地方，这座被历史浸润的古都，以其深厚的文化底蕴、壮丽的古迹遗址和独特的西北风味，吸引着八方来客．某天甲、乙、丙三人来西安旅游，他们分别从A、B两个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择A景点的概率为__________； （2）请利用树状图求出甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列举出所有可能的情况和甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的情况，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵分别从A、B两个景点中随机选择一个景点游览， ∴甲选择A景点的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有8种等可能的情况，其中甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的情况有7种， ∴甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的概率为． 20. 如图，走走和格格住在同一个小区不同单元楼，她们想要测量走走家所在单元楼的高度．首先她们在两栋单元楼之间选定一点，然后格格在自己家阳台处测得处的俯角为，走走站在处测得楼顶的仰角为 ，发现与 互余．过点作于点，已知米，米，米，点、、在一条直线上，，，，试求单元楼的高． 【答案】米 【解析】 【分析】根据题意得出，，，然后利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：，，， ∴四边形是矩形，， ∴米，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在与 中， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：单元楼的高为米． 21. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 … 1 3 5 … 输出 … 4 8 6 4 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的值为0时，输出的值为： ； （2）求的值； （3）当输出的值为0时，求输入的值． 【答案】（1）6 （2） （3）或9 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键． （1）把代入，即可得到结论； （2）将代入解方程即可得到结论； （3）分和两种情况讨论，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：当输入的值为0时，输出的值为， 故答案为：0； 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得 【小问3详解】 解：当时， ； 当时， ； 综上，输出的值为0时，输入的值为或9． 22. 国家的强盛和民族的复兴都离不开阅读带来的文化积淀和精神力量，我国首部针对全民阅读的行政法规《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行．某校学生会从该校七、八年级学生中各随机抽取10名，调查了他们每周课外阅读的时间（单位：h），并将统计结果进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 7 7 3.6 八年级 8 2 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中的值为_____，的值为_____，的值为_____； （2）根据以上数据，你认为该校七八年级哪个年级的学生的阅读习惯较好？请说明理由； （3）若该校共有七年级学生300名，八年级学生320名，请你估计该校七八年级学生中，每周课外阅读时间不少于8小时的总人数． 【答案】（1）7；8；8 （2） 解：八年级学生的阅读习惯更好， 理由如下： 八年级的平均数(8)大于七年级的平均数(7)； 八年级的中位数(8)大于七年级的中位数(7)； 八年级的方差(2)小于七年级的方差(3.6)，说明八年级学生的阅读时间更稳定； （3）314人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数和方差作决策即可； （3）利用样本估计总体． 【小问1详解】 解：七年级数据：7，7，6，9，5，7，6，11，4，8， 数字7出现了3次，出现次数最多，所以； 八年级数据：8，10，7，5，8，8，10，7，9，8， 平均数； 将八年级数据从小到大排序：5，7，7，8，8，8，8，9，10，10， 中间两个数是第5个和第6个，即8和8，中位数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级：数据中不少于8小时的有9、11、8，共3人，占比； 七年级总人数 300 人，估计人数：人； 八年级：数据中不少于8小时的有8、10、8、8、10、9、8，共7人，占比； 八年级总人数320人，估计人数： 人。 总人数：人． 23. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点M，与的另一个交点为E，过M作，垂足为N． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为10，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易得，根据直角三角形斜边中线的性质得出，进而得出，则，得出，即可求证是的切线； （2）连接，，易得，，由（1）知：，则M为的中点，根据，求出，可得的长，然后在中，解直角三角形求出，最后根据即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图1， ∵， ∴， 在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过O， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，， ∵是的直径， ∴，， 即，， 由（1）知：， ∴M为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 24. 如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 （1）如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； （2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）这串彩灯的最大长度为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点． （1）设抛物线的解析式为：，得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式； （2）表示出彩灯的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意设，点， ， 彩灯两端的最低点到水面的距离为，秋季水位会下降约， 彩灯的最低点M，N在直线上， 点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大，， 答：这串彩灯的最大长度为米． 25. 根据题意，完成以下问题 （1）【问题提出】如图1，已知，若，，则的长度为____________． （2）【问题探究】如图2，在矩形中，，，点 为边的中点，线段在上滑动且，求四边形周长的最小值． （3）【问题解决】如图3，四边形为某物流公司内部一规划区域平面图，其中，米，米，，．已知是半径为10米的专用卸货区，卸货车辆需在卸货区边缘任意点位处卸货．点为货物中转枢纽，且点到点的距离是卸货点 到点距离的一半，即．物流公司计划在道路上修建安检区域且米，在道路上修建物资分拨点，满足．当货物从中转枢纽沿运输到安检区域，经过安检后再沿运输到物资分拨点时，运输货物的通道是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形对应边成比例求出的长； （2）利用平移和轴对称确定当、G、D三点共线时，四边形周长最小，最小值为，构造直角三角形，根据勾股定理得出、的长，从而确定周长最小值； （3）通过构造相似三角形确定点F的运动轨迹，再通过平移和轴对称确定，当点F、M、三点共线时，最小，最小值为，构造直角三角形，根据勾股定理得出的长，构造相似三角形确定的长，从而确定的最小值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：将线段沿方向向右平移1个单位长度，使得点E和点重合，连接，再作点关于的对称点点，连接，交于点G，过点作，交的延长线于点H． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点为边的中点，， ∴， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ∵， ∴四边形周长， ∴当四边形周长最小时，也就是最小， ∵平移， ∴，， ∵点和点关于的对称， ∴，，， ∴， ∴根据两点之间线段最短，当、G、D三点共线时，最小，此时的最小值是线段的长，即四边形周长的最小值为， ∵点E沿方向向右平移和点重合， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴四边形周长的最小值为； 【小问3详解】 存在， 解：分别过点A、D作、，取中点O，连接、，将线段沿方向向左平移4米，使得点G和点重合，点N和点M重合，再作点关于的对称点点，交于点H，连接，交于点M，过点作，交的延长线于点K，过点G作． ∵， ∴在中，， ， ∴， 根据勾股定理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理，，， 在中，，， ∴， 根据勾股定理得，， 在中，， ， 设，则， 根据勾股定理得，， 即， ∴， 即，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点F在以点O为圆心、以长为半径的圆上运动， ∵点G沿方向平移4米得到点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵点和点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， 当点F、M、三点共线时，最小，最小值为， ． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、正方形的性质和判定、直角三角形的勾股定理、平移和轴对称确定最短路径、锐角三角函数解直角三角形、圆的定义、两点之间线段最短，解题关键是数形结合和转化思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年西安高新一中七模数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每个小题只有一个选项符合题意） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（ ）． A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．若直线分别与轴、直线交于点，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 如图，已知菱形中，过中点E作，交对角线于点M，交的延长线于点F．连接，若，，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在实数，3.13113113，中，无理数有_____ 个． 10. “幻方”最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中，如图，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都相等，则的值为______． 11. 如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______． 12. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 13. 如图，在四边形中，，，，，，点在直线右侧，的面积为，则的最大值为__________． 三、解答题（共12小题，共计81分．解答题应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组：，并写出它的最小整数解． 16. 化简：． 17. 如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在四边形中，，是边上一点，，．求证：． 19. 西安是个好地方，这座被历史浸润的古都，以其深厚的文化底蕴、壮丽的古迹遗址和独特的西北风味，吸引着八方来客．某天甲、乙、丙三人来西安旅游，他们分别从A、B两个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择A景点的概率为__________； （2）请利用树状图求出甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的概率． 20. 如图，走走和格格住在同一个小区不同单元楼，她们想要测量走走家所在单元楼的高度．首先她们在两栋单元楼之间选定一点，然后格格在自己家阳台处测得处的俯角为，走走站在处测得楼顶的仰角为 ，发现与 互余．过点作于点，已知米，米，米，点、、在一条直线上，，，，试求单元楼的高． 21. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 … 1 3 5 … 输出 … 4 8 6 4 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的值为0时，输出的值为： ； （2）求的值； （3）当输出的值为0时，求输入的值． 22. 国家的强盛和民族的复兴都离不开阅读带来的文化积淀和精神力量，我国首部针对全民阅读的行政法规《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行．某校学生会从该校七、八年级学生中各随机抽取10名，调查了他们每周课外阅读的时间（单位：h），并将统计结果进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 7 7 3.6 八年级 8 2 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中的值为_____，的值为_____，的值为_____； （2）根据以上数据，你认为该校七八年级哪个年级的学生的阅读习惯较好？请说明理由； （3）若该校共有七年级学生300名，八年级学生320名，请你估计该校七八年级学生中，每周课外阅读时间不少于8小时的总人数． 23. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点M，与的另一个交点为E，过M作，垂足为N． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为10，，求的长． 24. 如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 （1）如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； （2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 25. 根据题意，完成以下问题 （1）【问题提出】如图1，已知，若，，则的长度为____________． （2）【问题探究】如图2，在矩形中，，，点 为边的中点，线段在上滑动且，求四边形周长的最小值． （3）【问题解决】如图3，四边形为某物流公司内部一规划区域平面图，其中，米，米，，．已知是半径为10米的专用卸货区，卸货车辆需在卸货区边缘任意点位处卸货．点为货物中转枢纽，且点到点的距离是卸货点 到点距离的一半，即．物流公司计划在道路上修建安检区域且米，在道路上修建物资分拨点，满足．当货物从中转枢纽沿运输到安检区域，经过安检后再沿运输到物资分拨点时，运输货物的通道是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $