专题13 向量的内积（讲义）-2027年江西省（三校生对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题13 向量的内积 【复习目标】 1. 理解平面向量内积(数量积)的定义、几何意义； 2. 熟记向量内积的计算公式、模长、夹角公式，掌握向量垂直、平行的内积判定条件； 3. 牢记内积运算律，能区分实数乘法与向量内积的不同之处. 考点1 向量内积的概念及计算 向量的夹角的概念：对于非零向量和，作，作，称射线OA、OB所成的最小正角为向量和的夹角，记作. 当同向时，，当反向时，. 因此. 注意：两个向量的夹角是共起点时对应射线的夹角，求两个不共起点的向量夹角时先平移至共起点. 向量垂直：当时，称向量与向量互相垂直，记作⊥. 向量的内积(或数量积)：两个向量、的模与它们夹角的余弦值之积称为向量与的内积(或数量积)，记作·，即：. 【即时训练】 1．两个向量的内积仍然是向量. ················································································（A B） 【答案】B 【分析】根据向量的内积的定义即可判断. 【详解】两个向量的内积是实数，故选B. 2．若，，则. ···············································································（A B） 【答案】B 【分析】根据数量积的知识进行判断. 【详解】当为非零向量，且时，有，但，所以说法错误，故选B. 3．设非零向量，的夹角为，则的充要条件是. ·································（A B） 【答案】A 【分析】利用推出关系证明充要条件. 【详解】因为，所以充分性成立， 因为，所以必要性成立， 所以的充要条件是，故选A . 4．已知等边三角形的边长为2，则. ····················································（A B） 【答案】A 【分析】根据向量的内积运算易得答案. 【详解】等边三角形中，则向量的夹角为，所以， 故选A . 5．已知，与的夹角为，则（     ） A．12 B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】根据题意结合平面向量的内积公式即可得解. 【详解】，与的夹角为，则， 解得，故选. 6．设与为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积公式结合向量夹角范围即可解得. 【详解】，又知，，故选D. 7．若，则与夹角的范围是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量的夹角公式即可得解. 【详解】因为，则，因为，所以，故选. 8．已知向量和，满足，且，则和的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式可求解. 【详解】由题可知，，因为，所以，故选D. 9．如图所示，是顶角为的等腰三角形，且，则____________．    【答案】 【分析】根据向量内积的公式求解即可. 【详解】因为是顶角为的等腰三角形，所以. 因此，故答案为：. 10．已知与是相反向量，且，则__________. 【答案】－4 【分析】由相反向量的定义与平面向量的数量积的定义求解即可 【详解】因为与是相反向量，所以，且a与b的夹角为， 所以，故答案为： 考点2 向量内积的性质 (1). 向量的线性运算结果是向量，向量的内积运算结果是数量； (2). 零向量与任一向量的内积为0，即； (3). 对于非零向量，当同向时，，当反向时，； (4). 对于非零向量，有： ； ； . (5). 向量内积的运算律： 满足乘法交换律：； 满足数乘结合律：； 满足乘法分配律：； 不满足结合律：. 【即时训练】 11．.已知向量的夹角为，，则. ···································（A B） 【答案】A 【分析】根据向量模公式即可求解. 【详解】由题意得， ，故选A . 12．已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】利用平面向量内积的定义求出的值，根据平面向量的运算性质即可得解. 【详解】依题意，， 所以，故选. 13．向量，满足，，若与的夹角为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的内积性质即可得解. 【详解】因为，， 与的夹角为，所以 ，故，故选A . 14．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边同时平方得，整理得：，， 所以与的夹角为. 15．平面向量，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律以及定义式，结合向量夹角的计算方法，可得答案. 【详解】向量，则，即，因此，而，则，所以与的夹角是，故选C. 16．已知向量，均为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模长公式求解即可； 【详解】∵向量，均为单位向量，∴．∵，∴，解得， ∵，∴，故选C. 17．有一个边长为1的菱形，其中，则等于（     ） A．3 B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】先根据向量模长公式将进行转化，再结合向量内积的运算求解. 【详解】因为菱形的边长为，所以，可得，， 又，可得，所以，所以，故选B. 18．若向量满足则的夹角为_________． 【答案】 【分析】根据向量垂直的充要条件及向量内积的概念即可求解. 【详解】设的夹角为，则，由题可知，，即，所以，，，又，故可得，即的夹角为，故答案为：. 19．已知向量，满足，，，则_________. 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】向量，满足，，，， 所以，故答案为：. 20．已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为________． 【答案】 【分析】根据题意结合数量积运算律可得，代入夹角公式运算求解. 【详解】因为，即，则． 整理得，又因，为，所以，故答案为：. 1. (2026·江西·真题T05)“向量a , b的夹角是钝角”是“cos<a , b> <0”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量夹角的定义及余弦值的正负性即可求解. 【详解】若“向量a , b的夹角是钝角”，则cos<a , b> <0正确，所以充分性成立， 若“cos<a , b> <0”，则<a , b>为钝角或π，所以必要性不成立，故选B . 2. (2024·江西·真题T10)若A、B、C不共线，且，则. ·········（A B） 【答案】A 【分析】本题考察向量的模的性质. 【详解】因为，所以，所以 ，所以，所以，所以，所以结论正确，故选A . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题13 向量的内积 【复习目标】 1. 理解平面向量内积(数量积)的定义、几何意义； 2. 熟记向量内积的计算公式、模长、夹角公式，掌握向量垂直、平行的内积判定条件； 3. 牢记内积运算律，能区分实数乘法与向量内积的不同之处. 考点1 向量内积的概念及计算 向量的夹角的概念：对于非零向量和，作，作，称射线OA、OB所成的最小正角为向量和的夹角，记作________________. 当同向时，，当反向时，. 因此. 注意：两个向量的夹角是____________时对应射线的夹角，求两个不共起点的向量夹角时先平移至共起点. 向量垂直：当时，称向量与向量互相____________，记作___________. 向量的内积(或数量积)：两个向量、的模与它们夹角的余弦值之积称为向量与的内积(或数量积)，记作___________，即：. 【即时训练】 1．两个向量的内积仍然是向量. ················································································（A B） 2．若，，则. ················································································（A B） 3．设非零向量，的夹角为，则的充要条件是. ··································（A B） 4．已知等边三角形的边长为2，则. ····················································（A B） 5．已知，与的夹角为，则（     ） A．12 B．3 C．6 D． 6．设与为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 7．若，则与夹角的范围是（ 　　） A． B． C． D． 8．已知向量和，满足，且，则和的夹角为（ ） A． B． C． D． 9．如图，是顶角为的等腰三角形，且，则_________．   10．已知与是相反向量，且，则__________. 考点2 向量内积的性质 (1). 向量的线性运算结果是__________，向量的内积运算结果是__________； (2). 零向量与任一向量的内积为0，即； (3). 对于非零向量，当同向时，，当反向时，； (4). 对于非零向量，有： ； ； . (5). 向量内积的运算律： 满足乘法交换律：； 满足数乘结合律：； 满足乘法分配律：； 不满足结合律：. 【即时训练】 11．.已知向量的夹角为，，则. ···································（A B） 12．已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A． B． C． D．12 13．向量，满足，，若与的夹角为，则（     ） A． B． C． D． 14．已知平面向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 15．平面向量，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 16．已知向量，均为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 17．有一个边长为1的菱形，其中，则等于（     ） A．3 B． C．0 D．4 18．若向量满足则的夹角为_________． 19．已知向量，满足，，，则_________. 20．已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为________． 1. (2026·江西·真题T05)“向量a , b的夹角是钝角”是“cos<a , b> <0”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. (2024·江西·真题T10)若A、B、C不共线，且，则. ·········（A B） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $