专题13 向量的内积（练习）-2027年江西省（三校生对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦向量内积，以概念判断-性质应用为逻辑主线，通过分层训练与真题融入，培养数学思维与应用意识，构建从基础到综合的一轮复习路径。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点1（概念及计算）|9题|概念判断（1-3）、基础计算（4-9）|从内积概念生成到夹角、模长计算，结合三角形应用| |考点2（性质）|11题|性质应用（10-19）、综合计算（20）|由内积性质推导，延伸至垂直、轨迹等应用| |真题|2题|逻辑推理（充要条件、向量关系判断）|对接考情，强化数学语言表达与理性思维|

编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题13 向量的内积 考点1 向量内积的概念及计算 1．两个向量的内积仍然是向量. ···············································································（A B） 【答案】B 【分析】根据向量的内积的定义即可判断. 【详解】两个向量的内积是实数，故选B . 2．已知两个向量 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°. ···········································（A B） 【答案】B 【分析】根据向量的夹角的定义即可判断. 【详解】两个向量的夹角是公起点时两条射线的夹角，所以∠NMP＝120°，故选B . 3．已知平面向量的夹角为，且，则. ······································（A B） 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义易得答案. 【详解】因为平面向量的夹角为，且，所以，故选B . 4．如果，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求解的夹角，再根据向量的内积公式进行计算. 【详解】，，所以，故选A . 5．在中，，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的内积的定义即可解答. 【详解】已知在中， ，所以， 因为，所以，所以，故选A. 6．在中，，，，则（     ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据向量内积的定义求值即可. 【详解】已知，，故选A . 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，即可求解. 【详解】因为， 所以，故选A . 8．已知，，且，则向量与向量的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用内积公式求夹角即可. 【详解】因为，，且，则； 因为，所以向量与向量的夹角为，故选B. 9．已知在中，，则的形状为（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据向量内积计算公式判断的范围即可． 【详解】∵，，且，∴． ∵，∴，即是钝角，∴是钝角三角形，故选C． 考点2 向量内积的性质 10．若向量的夹角为，且满足，则. ······························（A B） 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的内积，即可求解. 【详解】因为，所以，故选B . 11．在平面内，、是两个定点，则满足的动点的轨迹是一个圆. ················（A B） 【答案】A 【分析】由向量内积得到向量垂直，根据圆周角定理即可判断. 【详解】由可得，即可以得到，根据圆的圆周角定理可知， 直径所对的圆周角为直角，得到动点的轨迹是一个圆，故选A. 12．已知，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积公式进行化简求解. 【详解】已知，因此 ，故选B. 13．若，且与也互相垂直，则k的值为（     ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直则内积为零进行计算即可解得. 【详解】由题意可得，且， 所以，解得，故选B. 14．已知向量，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积公式分别计算，再利用向量数量积的分配律将展开即可求解. 【详解】因为向量，，，所以， ，即，故选D. 15．设均为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的内积公式求模即可. 【详解】，故选B. 16．若向量满足，则_________. 【答案】 【分析】由题意平方化简求解的模即可. 【详解】∵，∴，∴，故答案为:. 17．已知向量，，且，则__________. 【答案】 【分析】根据向量数量积运算得解. 【详解】，，故答案为：. 18．已知向量的夹角为，，则________． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积公式求出答案. 【详解】因为，所以，．故答案为： . 19．已知正方形的边长为1，，，，则为__________． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则和模长进行计算. ，故答案为： . 20．向量，满足，，且，设与的夹角为θ，则θ等于_______． 【答案】 【分析】根据向量垂直得，再由向量的内积运算律求值即可. 【详解】已知， ，则， 由，得，即，所以，解得，因为， 所以θ等于，故答案为：. 1. (2026·江西·真题T05)“向量a , b的夹角是钝角”是“cos<a , b> <0”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量夹角的定义及余弦值的正负性即可求解. 【详解】若“向量a , b的夹角是钝角”，则cos<a , b> <0正确，所以充分性成立， 若“cos<a , b> <0”，则<a , b>为钝角或π，所以必要性不成立，故选B . 2. (2024·江西·真题T10)若A、B、C不共线，且，则. ·········（A B） 【答案】A 【分析】本题考察向量的模的性质. 【详解】因为，所以，所以 ，所以，所以，所以，所以结论正确，故选A . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题13 向量的内积 考点1 向量内积的概念及计算 1．两个向量的内积仍然是向量. ···············································································（A B） 2．已知两个向量 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°. ···········································（A B） 3．已知平面向量的夹角为，且，则. ·······································（A B） 4．如果，则等于（     ） A． B． C． D． 5．在中，，则角等于（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则（     ） A． B． C．7 D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，且，则向量与向量的夹角为（     ） A． B． C． D． 9．已知在中，，则的形状为（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 考点2 向量内积的性质 10．若向量的夹角为，且满足，则. ······························（A B） 11．在平面内，、是两个定点，则满足的动点的轨迹是一个圆. ················（A B） 12．已知，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 13．若，且与也互相垂直，则k的值为（     ） A． B．6 C．3 D． 14．已知向量，，，则（       ） A． B． C． D． 15．设均为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 16．若向量满足，则_________. 17．已知向量，，且，则__________. 18．已知向量的夹角为，，则________． 19．已知正方形的边长为1，，，，则为__________． 20．向量，满足，，且，设与的夹角为θ，则θ等于_______． 1. (2026·江西·真题T05)“向量a , b的夹角是钝角”是“cos<a , b> <0”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. (2024·江西·真题T10)若A、B、C不共线，且，则. ·········（A B） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $