专题03 充分条件与必要条件-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题03 充分条件与必要条件 一、知识梳理 （一）充分条件与必要条件 设命题：若，则， 1.若，且，则称是充分不必要条件. 2.若，且，则称是必要不充分条件. 3.若，则称与互为充要条件 4.若且，则称是的既不充分也不必要条件 口诀：“小范围推出大范围，大范围推不出小范围” 2、 题型精练 题型1 直接判断充分、必要、充要关系 [典例 1] 命题 “” 是命题 “” 的什么条件？ [典例 2] “且” 是 “” 的什么条件？ 题型2 利用条件传递性判断关系 [典例 1] 已知是的充分不必要条件，是的必要条件，判断是的什么条件？ 题型3 根据条件关系求参数取值范围 [典例 1] 若 “” 是 “” 的充分条件，求实数的取值范围。 [典例 2] 已知，，若是的必要不充分条件，求的取值范围。 题型4 一元二次不等式与条件关系综合 [典例 1] “” 是 “” 的什么条件？ 三、知识检测 一、单选题 1．命题“”是命题“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知a，b是实数，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．条件是成立的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．命题是的约数,命题是的约数,则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“若，则”中，“”，是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“直线过原点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“为第一象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．条件“”是“”成立的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 9．已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 10．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 11．是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入） 12．已知是的充分非必要条件，是的必要条件，是的必要条件， 那么​的一个_____条件是. (从 “充分非必要、必要非充分、充要和既不充分也不必要” 中选一个) 13．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为_________；若“”是“”的充分条件但“”不是“”的必要条件, 则实数的取值范围为_________. 14．“”是“”的_______________条件.（用“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”或“既不充分也不必要条件”填空） 15．若集合其中为实数. （1）若是的充要条件，则=______； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围可以选择下列哪些序号______.①②③④⑤ 16．四种条件关系： （1）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，那么是的___条件. （2）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，那么是的___条件. （3）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”也为真命题，那么是的___条件. （4）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”也为假命题，那么是的___条件. 17．“x是偶数”是“x能被4整除”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 18．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的充要条件，命题丙是命题甲的______条件. 19．若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是__________． 20． “”是“”的__________条件． 三、解答题 21．已知p：“”，q：“”，r：“”. (1)判断p是q的什么条件； (2)利用条件关系的传递性，判断r是q的什么条件. 22．已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 23．已知，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 充分条件与必要条件 一、知识梳理 （一）充分条件与必要条件 设命题：若，则， 1.若，且，则称是充分不必要条件. 2.若，且，则称是必要不充分条件. 3.若，则称与互为充要条件 4.若且，则称是的既不充分也不必要条件 口诀：“小范围推出大范围，大范围推不出小范围” 2、 题型精练 题型1 直接判断充分、必要、充要关系 [典例 1] 命题 “” 是命题 “” 的什么条件？ 答案：充分不必要条件 分析：本题考查充分条件、必要条件的基本判断，利用命题推出关系判定。 详解：若，一定能推出，即，充分性成立； 若，不一定推出（如），即，必要性不成立。 因此 “” 是 “” 的充分不必要条件。 [典例 2] “且” 是 “” 的什么条件？ 答案：充分不必要条件 分析：本题考查充分不必要条件的判断，结合实数乘法符号法则解题。 详解：由且，可得，充分性成立； 若，则同号，可能，无法推出且，必要性不成立。 故为充分不必要条件。 题型2 利用条件传递性判断关系 [典例 1] 已知是的充分不必要条件，是的必要条件，判断是的什么条件？ 答案：必要不充分条件 分析：本题考查充分、必要条件的传递性推理。 详解：由题意：，；。 可得，但，，因此是的必要不充分条件。 题型3 根据条件关系求参数取值范围 [典例 1] 若 “” 是 “” 的充分条件，求实数的取值范围。 答案： 分析：本题考查由充分条件求参数。 详解：设，。由题可知：,故的范围小， 结合数轴可得：。 [典例 2] 已知，，若是的必要不充分条件，求的取值范围。 答案： 分析：本题考查必要不充分条件与一元二次不等式、参数范围求解。 详解：解不等式，得或。 是的必要不充分条件是小范围，是大范围， 结合数轴可得：。 题型4 一元二次不等式与条件关系综合 [典例 1] “” 是 “” 的什么条件？ 答案：充分不必要条件 分析：本题考查一元二次不等式求解与充分不必要条件判断。 详解：解得或。 ，充分性成立； ，必要性不成立。 故为充分不必要条件。 三、知识检测 一、单选题 1．命题“”是命题“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 分析：本题考查判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确知识点.根据不等式的基本性质以及充分性和必要性的概念求解即可. 详解：可以推出，故充分性成立， 当成立时，若，则有，可得，故必要性不成立， 所以命题“”是命题“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知a，b是实数，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 分析：本题考查判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确知识点.根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 详解：且同号，不等式两边同除以得，故充分性成立； 当时，满足，此时且，故必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，og 故选：A. 3．条件是成立的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 分析：本题考查判断命题的充分不必要条件、对数的运算性质的应用知识点.由，而，并结合充要条件的定义可判断. 详解：由，可得，即； 当时，不一定成立，例如时，都不存在，即. 所以条件是成立的充分条件. 故选：A 4．命题是的约数,命题是的约数,则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 分析：本题考查判断命题的必要不充分条件知识点.由充分条件,必要条件的定义即可得解. 详解：是36的约数 是12的约数12. 则,则是的必要不充分条件． 故选:B. 5．“若，则”中，“”，是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 分析：本题考查判断命题的充分不必要条件知识点.根据充分不必要条件的判断求解. 详解：若，则无论b取何值，一定成立， 若，则或，无法推出， 故“”，是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．“”是“直线过原点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 分析：本题考查充要条件的判断与证明知识点.根据充分条件和必要条件的概念判断. 详解：若，则直线方程变为， 当时，，这表明直线一定过原点，充分性成立； 若直线过原点(0,0)，可得，即，必要性成立， 故“”是“直线过原点”的充要条件. 故选：C. 7．“”是“为第一象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 分析：本题考查判断命题的必要不充分条件、由三角函数式的符号确定角的范围或象限知识点. 详解：等价于或， 当时，为第一象限角；当时，为第三象限角； 所以“”是“为第一象限角”的必要不充分条件. 故选：B. 8．条件“”是“”成立的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 答案：A 分析：本题考查判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质知识点.结合等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 详解：由可得或3， 当时，成立， 而成立时，不一定等于1. 所以是的充分不必要条件. 故选:A. 9．已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 分析：本题考查充要条件的判断与证明、求含sinx的函数的奇偶性知识点.根据奇函数的定义和充分条件与必要条件的概念分析即可. 详解：已知函数， 若，则，， 所以， 当为偶数时，，为奇函数， 当为奇数时，，为奇函数， 所以若，则函数为奇函数，充分性成立， 若函数为奇函数，根据奇函数的性质可知， 则必要性成立， 所以“”是“函数为奇函数”的充要条件， 故选：A. 10．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 分析：本题考查探求命题为真的充要条件、由对数函数的单调性解不等式知识点.利用对数的单调性得到大小关系即可. 详解：在单调递增. 因此时，成立.反之也成立. 因此是的充要条件. 故选：C. 二、填空题 11．是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入） 答案：必要非充分 分析：本题考查判断命题的充分不必要条件知识点.通过分析两个条件之间的推出关系，判断充分必要条件. 若，则一定有，故“”能推出“”； 若，当时，不满足，故“”不能推出“”. 所以是的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 12．已知是的充分非必要条件，是的必要条件，是的必要条件， 那么​的一个_____条件是. (从 “充分非必要、必要非充分、充要和既不充分也不必要” 中选一个) 答案：必要非充分 分析：本题考查判断命题的必要不充分条件知识点.利用推出的传递性，结合充分、必要的定义进行求解即可. 详解：因为p是r的充分非必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件， 所以有，但r不能推出；，， 即，，，故，且不能推出， 所以是的一个必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 13．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为_________；若“”是“”的充分条件但“”不是“”的必要条件, 则实数的取值范围为_________. 答案： 分析：本题考查根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数知识点.根据充分条件以及必要条件的定义集合的包含关系得出实数的取值范围. 详解：∵若“”是“”的充分条件，∴，∴ ∵若“”是“”的充分条件但“”不是“”的必要条件, ∴，∴ 故答案为：， 14．“”是“”的_______________条件.（用“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”或“既不充分也不必要条件”填空） 答案：必要不充分 分析：本题考查判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式知识点.根据一元二次不等式的解法求解，再由充分条件与必要条件的概念分析即可. 详解：已知，解得或， 若“”，则或， 所以“”不能推出“”， 若“”则“”， 所以“”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 15．若集合其中为实数. （1）若是的充要条件，则=______； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围可以选择下列哪些序号______.①②③④⑤ 答案: /0.5 ①⑤ 分析：本题考查根据充分不必要条件求参数、根据充要条件求参数知识点.（1）根据充要条件的定义，得到A=B，进而分类讨论b，可得答案. （2）根据充分不必要条件的定义，得到A是B的真子集，进而分类讨论b，可得答案. 详解：（1）A是B的充要条件，则A=B， 时，，不符题意，故， 当b>0时，，此时若，则，解得，符合题意； 当时，，此时，，不符题意； 故答案为：. （2）若A是B的充分不必要条件，得到A是B的真子集， 故由（1）得，时，不符题意，当b>0时，，此时，A是B的真子集， 得到，解得，故满足条件的是：①⑤. 故答案为：（1）；（2）①⑤. 16．四种条件关系： （1）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，那么是的___条件. （2）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，那么是的___条件. （3）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”也为真命题，那么是的___条件. （4）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”也为假命题，那么是的___条件. 答案： 充分不必要 必要不充分 充分必要 既不充分也不必要. 分析：本题考查判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、探求命题为真的充要条件、既不充分也不必要条件知识点. 17．“x是偶数”是“x能被4整除”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 答案：必要不充分 分析：本题考查判断命题的必要不充分条件知识点.根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 详解：当x是偶数时，x不一定被4整除，比如当x=2时，是偶数，但不能被4整除，故充分性不成立； 当x能被4整除时，x一定能被2整除，所以x是偶数，故必要性成立， 所以“x是偶数”是“x能被4整除”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 18．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的充要条件，命题丙是命题甲的______条件. 答案：必要不充分 分析：本题考查必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质、充要条件的判断与证明知识点.根据题目条件，理清命题甲与命题丙的逻辑关系即可. 详解：因为命题甲是命题乙的充分不必要条件， 即命题甲命题乙，命题乙命题甲， 命题丙是命题乙的充要条件，即命题乙命题丙， 所以命题丙命题甲，命题甲命题丙， 即命题丙是命题甲的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 19．若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是__________． 答案： 分析：本题考查充分条件的判定及性质、解含有参数的含绝对值的不等式知识点. 详解：试题分析：本题考查知识点.由，得，因为不等式成立的充分条件是，则有，所以，解得． 20． “”是“”的__________条件． 答案：必要不充分 分析：本题考查判断命题的必要不充分条件、求特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角知识点.利用充分条件与必要条件的定义即可求解. 详解：若，则或，充分性不成立； 若，则，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 三、解答题 21．已知p：“”，q：“”，r：“”. (1)判断p是q的什么条件； (2)利用条件关系的传递性，判断r是q的什么条件. 答案：(1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 分析：本题考查判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式知识点.（1）结合一元二次不等式的解法，根据充分条件的定义判断即可； （2）根据条件关系的传递性判断即可； 详解：（1）若，则，故充分性成立； 但时，或，故必要性不成立， 故p是q的充分不必要条件. （2）因为，则，充分性成立； 但，则不一定成立，必要性不成立； 所以r是q的充分不必要条件. 22．已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 答案：(1) (2)[4,6] 分析：本题考查并集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数知识点.（1）根据并集概念求出答案； （2）根据题意得到，得到不等式组，求出答案. 详解：（1）当时，，则． （2）因为“”时“”的充分条件，所以． 由，解得． 综上，的取值范围是[4,6]． 23．已知，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围. 答案： 分析：本题考查根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数知识点.先求出的解集，再根据p是q的必要而不充分条件，结合集合的包含关系得到关于m的不等式（组），解之即可得解. 详解：，， 是q的必要而不充分条件， 是的真子集， 设，， 当时，则，得，符合题意； 当时，，所以（等号不同时成立），即； 综述，或，即实数m的取值范围是或. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $