专题02 四种命题-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题02 四种命题 一、知识梳理 （一）命题的基本概念 1. 命题定义：可以判断真假的陈述句叫做命题.命题分为真命题、假命题. 2. 命题的形式 命题中含有“如果......,那么......”或者“若......,则......”的表达，我们称其为数学命题的一般形式，即“若p,则q”.p称为命题的条件，q称为命题的结论. （二）四种命题的定义与关系 设原命题的形式为“若，则”. 1. 逆命题：交换原命题的条件和结论，即“若，则”. 2. 否命题：同时否定原命题的条件和结论，即“若，则”. 注：否定关键词：“且” 变 “或”、“全是” 变 “不全是”、“等于” 变 “不等于” 等. 3. 逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即“若，则”. （三）四种命题的真假关系 1. 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 2. 原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真. （四）命题的否定 1. 区分否命题和命题的否定：否命题是条件、结论全否定；命题的否定只否定结论. 2、 题型精练 题型1 将命题改写为 “若p，则q” 形式并判断真假 [典例 1] 把命题 “三角形中，大边对大角” 改写成 “若，则” 的形式，并判断真假. [典例 2] 将命题 “矩形的对角线相等” 改写成 “若，则” 的形式，并判断真假. 题型2 写出命题的逆命题、否命题、逆否命题 [典例 1] 命题 “若，则或”，分别写出它的逆命题、否命题、逆否命题. [典例 2]写出命题 “若，则全为” 的逆命题、否命题、逆否命题. 题型3 判断四种命题的真假 [典例 1]判断命题 “如果，那么互为相反数” 的逆命题的真假. [典例 2]判断命题 “若，则” 的逆命题、否命题、逆否命题的真假. 三、知识检测 一、单选题 1．命题“三角形中，大边对大角”，改成“若，则”的形式，则 A．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题 B．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题 C．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题 D．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题 2．“已知，，，是实数，若，，则”，下列表述错误的是（   ） A．该命题的逆命题是：已知，，，是实数，若，则， B．该命题的否命题是：已知，，，是实数，若或，则 C．该命题的逆否命题是：已知，，，是实数，若，则或 D．该命题的逆否命题是：已知，，，是实数，若，则或 3．命题“若，则”的逆否命题为（    ） A．“若，则” B．“若，则” C．“若，则” D．“若，则” 4．“若，则”的逆命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．“如果，且，则x、y全为0”的否命题是（ ）. A．若且，则x、y全不为0 B．若且，则x、y不全为0 C．若且x、y全为0，则x2＋y2＝0 D．若且x、y不全为0，则 6．设，命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是（    ） A．若方程有实数根，则 B．若方程有实数根，则 C．若方程没有实数根，则 D．若方程没有实数根，则 二、判断题 7．命题“如果，那么、互为相反数”的逆命题是真命题．( ) 8．“如果明天下雨，那么明天就上课”的否命题是“如果明天下雨，那么明天就不上课”．( ) 9．如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确．( ) 10．命题“若，则”的逆命题是真命题.( ) 三、填空题 11．命题，的否定是__________． 12．命题“若，则”的逆否命题是______. 13．命题“若，则”的逆否命题是 ________． 14．有下列四个命题：①若“，则互为倒数的逆命题；②面积相等的三角形全等的否命题；③“若，则有实数解”的逆否命题；④“若，则”的逆否命题.其中真命题为______. 15．命题“矩形的对角线相等”的否命题是________. 16．命题：“菱形的对角线互相垂直”的条件是________，结论是________. 17．命题“对顶角相等”改写成“若，则”的形式是__． 四、解答题 18．设原命题为“若，则 全为0”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. 19． 写出原命题“如果两个三角形相似，那么它们的对应边成比例”的逆命题，并判断逆命题的真假性. 20． 已知命题“如果，那么”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 21．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 22．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 23．写出下列命题的逆命题，判断下列命题中的条件是否为结论的必要条件. (1)如果直线经过第一、二、三象限，那么； (2)如果，那么是第四象限角. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四种命题 一、知识梳理 （一）命题的基本概念 1. 命题定义：可以判断真假的陈述句叫做命题.命题分为真命题、假命题. 2. 命题的形式 命题中含有“如果......,那么......”或者“若......,则......”的表达，我们称其为数学命题的一般形式，即“若p,则q”.p称为命题的条件，q称为命题的结论. （二）四种命题的定义与关系 设原命题的形式为“若，则”. 1. 逆命题：交换原命题的条件和结论，即“若，则”. 2. 否命题：同时否定原命题的条件和结论，即“若，则”. 注：否定关键词：“且” 变 “或”、“全是” 变 “不全是”、“等于” 变 “不等于” 等. 3. 逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即“若，则”. （三）四种命题的真假关系 1. 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 2. 原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真. （四）命题的否定 1. 区分否命题和命题的否定：否命题是条件、结论全否定；命题的否定只否定结论. 2、 题型精练 题型1 将命题改写为 “若p，则q” 形式并判断真假 [典例 1] 把命题 “三角形中，大边对大角” 改写成 “若，则” 的形式，并判断真假. 答案：三角形中，若一边较大，则其对的角也大；真命题. 分析：本题考查命题改写为 “若，则” 形式、命题真假判断. 详解：该命题大前提为 “三角形中”，条件为 “一边较大”，结论为 “该边所对的角较大”，改写为：三角形中，若一边较大，则其对的角也大.根据三角形边角关系，此命题为真命题. [典例 2] 将命题 “矩形的对角线相等” 改写成 “若，则” 的形式，并判断真假. 答案：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题. 分析：本题考查命题改写为 “若，则” 形式、指出命题的条件与结论. 详解：拆分命题条件与结论，条件：一个四边形是矩形，结论：它的对角线相等.改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等.由矩形性质可知该命题为真命题. 题型2 写出命题的逆命题、否命题、逆否命题 [典例 1] 命题 “若，则或”，分别写出它的逆命题、否命题、逆否命题. 答案：逆命题：若或，则； 否命题：若，则且； 逆否命题：若且，则. 分析：本题考查逆命题、否命题、逆否命题的书写，含逻辑连接词 “且、或” 的命题否定. 详解：原命题：若，则. 1. 逆命题：交换条件与结论，若或，则； 2. 否命题：条件、结论同时否定，“或” 否定为 “且”，即若，则且； 3. 逆否命题：条件结论互换并同时否定，即若且，则. [典例 2]写出命题 “若，则全为” 的逆命题、否命题、逆否命题. 答案:逆命题：若全为，则； 否命题：若，则不全为； 逆否命题：若不全为，则. 分析：本题考查四种命题的书写，“全为” 的否定形式. 详解：“全为” 的否定为 “不全为”，结合四种命题定义改写即可. 题型3 判断四种命题的真假 [典例 1]判断命题 “如果，那么互为相反数” 的逆命题的真假. 答案：真命题. 分析：本题考查逆命题书写、命题真假判断. 详解：原命题逆命题：如果互为相反数，那么. 根据相反数定义，互为相反数的两个数和为，故逆命题为真命题. [典例 2]判断命题 “若，则” 的逆命题、否命题、逆否命题的真假. 答案：逆命题假，否命题假，逆否命题假. 分析：本题考查四种命题真假判断，不等式性质应用. 详解：原命题：若，则.当时，，原命题为假. 1. 逆命题：若，则，为真； 2. 否命题：若，则，为真； 3. 逆否命题：若，则，为假. 三、知识检测 一、单选题 1．命题“三角形中，大边对大角”，改成“若，则”的形式，则 A．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题 B．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题 C．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题 D．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题 答案：A 分析：本题考查指出命题的条件和结论知识点.分析好大前提、条件、结论. 详解：命题中“三角形中”是大前提，条件应该是“大边”，结论是“对大角”，所以正确选项为A. 【点睛】本题考查命题的“若p，则q”形式的书写，难度较易.一般情况下，命题由前提、条件、结论组成. 2．“已知，，，是实数，若，，则”，下列表述错误的是（   ） A．该命题的逆命题是：已知，，，是实数，若，则， B．该命题的否命题是：已知，，，是实数，若或，则 C．该命题的逆否命题是：已知，，，是实数，若，则或 D．该命题的逆否命题是：已知，，，是实数，若，则或 答案：D 分析：本题考查写出原命题的否命题及真假判断、写出原命题的逆否命题及真假判断、写出原命题的逆命题及真假判断知识点.根据题意，结合逆命题、否命题、逆否命题的概念，即可求解. 详解：因为原命题是“已知是实数，若，则.” 所以逆命题是：已知是实数，若，则，故选项A正确，不符合题意； 所以否命题是：已知是实数，若或，则，故选项B正确，不符合题意； 所以逆否命题是：已知是实数，若，则或，故选项C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意. 故选：D. 3．命题“若，则”的逆否命题为（    ） A．“若，则” B．“若，则” C．“若，则” D．“若，则” 答案：D 分析：本题考查写出原命题的逆否命题及真假判断知识点.根据逆否命题的定义求解即可. 详解：逆否命题即将原命题的条件和结论都否定后再互换， 故命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”, 故选：D. 4．“若，则”的逆命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 答案：D 分析：本题考查写出原命题的逆命题及真假判断知识点.根据逆命题的定义写出命题的逆命题即可. 详解：命题“若，则”的逆命题为：若，则. 故选：D. 5．“如果，且，则x、y全为0”的否命题是（ ）. A．若且，则x、y全不为0 B．若且，则x、y不全为0 C．若且x、y全为0，则x2＋y2＝0 D．若且x、y不全为0，则 答案：B 分析：本题考查命题的概念知识点.由否命题的概念判断选项即可. 详解：“”的否定是“”，“x、y全为0”的否定是“x，y不全为0”． 所以“如果x、y，且，则x、y全为0”的否命题是： 若x、y且，则x、y不全为0 故选:B. 6．设，命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是（    ） A．若方程有实数根，则 B．若方程有实数根，则 C．若方程没有实数根，则 D．若方程没有实数根，则 答案：D 分析：本题考查写出原命题的逆否命题及真假判断、指出命题的条件和结论知识点.根据逆否命题的定义可求解. 详解：“若，则方程有实数根”的逆否命题是 若方程没有实数根，则. 故选：D 二、判断题 7．命题“如果，那么、互为相反数”的逆命题是真命题．( ) 答案：正确 分析：本题考查判断命题的真假知识点.将原命题的题设与结论互换，即为原命题的逆命题，然后进行判断. 详解：原命题的逆命题为：“如果x，y互为相反数，那么”，该命题为真命题. 故答案为：正确. 8．“如果明天下雨，那么明天就上课”的否命题是“如果明天下雨，那么明天就不上课”．( ) 答案：错误 分析：本题考查写出原命题的否命题及真假判断知识点.否命题的定义是对原命题的条件和结论都进行否定. 详解：“如果明天下雨，那么明天就上课”的否命题是“如果明天不下雨，那么明天就不上课”. 故答案为：错误. 9．如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确．( ) 答案：错误 分析：本题考查写出原命题的逆命题及真假判断知识点.根据逆命题的定义即可得解. 详解：如果一个命题正确，那么它的逆命题不一定正确， 故答案为：错误. 10．命题“若，则”的逆命题是真命题.( ) 答案：错误 分析：本题考查写出原命题的逆命题及真假判断知识点.先写出逆命题，再判断真假即可得解. 详解：命题“若，则”的逆命题为“若 ，则”，该命题为假命题， 因为还可以等于-2， 故答案为：错误. 三、填空题 11．命题，的否定是__________． 答案：，. 分析：本题考查全称命题或特称命题的否定知识点.根据全称命题的否定形式即可得解. 详解：命题，的否定是，. 故答案为：，. 12．命题“若，则”的逆否命题是______. 答案：若，则 分析：本题考查写出原命题的逆否命题及真假判断知识点.把原命题的条件否定做结论，原命题的结论否定做条件，即可写出原命题的逆否命题. 详解：由逆否命题的定义可知，命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”. 故答案为：若，则. 13．命题“若，则”的逆否命题是 ________． 答案：若，则或 分析：本题考查写出原命题的逆否命题及真假判断知识点.根据命题“若p，则q”的逆否命题是 “若，则p”，写出对应的命题即可． 详解：命题“若-1<m<1，则m<3”的题设为：-1<m<1，结论为：m<3， 所以命题“若-1<m<1，则m<3”的逆否命题是“若，则或”. 故答案为：若，则或.. 14．有下列四个命题：①若“，则互为倒数的逆命题；②面积相等的三角形全等的否命题；③“若，则有实数解”的逆否命题；④“若，则”的逆否命题.其中真命题为______. 答案：①②④ 分析：本题考查写出原命题的逆否命题及真假判断、写出原命题的逆命题及真假判断、判断命题的真假知识点.逐个对命题的真假性进行判断即可解得. 详解：对于①“若，则互为倒数”的逆命题；即为若互为倒数，则，是真命题． 对于②“面积相等的三角形全等”的否命题是：面积不相等的三角形不全等，是真命题． 对于③“若，则方程有实根”的逆否命题的真值即为原命题的真值，而原命题中，方程有实根，，因此条件和结论不相同，不是真命题． 对于④“若，则”的逆否命题的真值即为原命题的真值，由于，是真命题． 故真命题为：①②④. 故答案为：①②④. 15．命题“矩形的对角线相等”的否命题是________. 答案：“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等” 分析：本题考查命题的概念知识点.否命题是条件否定，结论否定，即可得解. 详解：否命题是条件否定，结论否定， 所以命题“矩形的对角线相等”的否命题是“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等” 故答案为：“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等” 16．命题：“菱形的对角线互相垂直”的条件是________，结论是________. 答案：一个四边形是菱形　 它的对角线互相垂直 分析：本题考查指出命题的条件和结论知识点.先把命题写成“如果...那么...”的形式，再找出命题的条件和结论. 详解：该命题可写成：若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．所以，命题的条件是一个四边形是菱形，命题的结论是它的对角线互相垂直． 故答案为(1). 一个四边形是菱形　    (2). 它的对角线互相垂直 【点睛】本题主要考查命题的组成，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 17．命题“对顶角相等”改写成“若，则”的形式是__． 答案：“若两个角是对顶角，则这两个角相等” 分析：本题考查指出命题的条件和结论知识点.从命题中找出条件和结论，然后改成“若p，则q”的形式即可. 详解：命题“对顶角相等”改写成“若p，则q”的形式是“若两个角是对顶角，则这两个角相等”． 故答案为：“若两个角是对顶角，则这两个角相等”． 四、解答题 18．设原命题为“若，则 全为0”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. 答案：答案见解析 分析：本题考查写出原命题的逆否命题及真假判断、写出原命题的否命题及真假判断、写出原命题的逆命题及真假判断、判断命题的真假知识点.根据逆命题、否命题、逆否命题的定义结合命题真假的判断即可求解. 详解：原命题为“若，则全为0”， 则逆命题为“若全为0，则”，是真命题； 否命题为“若，则不全为0”，是真命题； 逆否命题为“若不全为0，则”，是真命题. 19．写出原命题“如果两个三角形相似，那么它们的对应边成比例”的逆命题，并判断逆命题的真假性. 答案：逆命题：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们相似；真命题. 分析：本题考查写出原命题的逆命题及真假判断知识点.先通过交换原命题的条件与结论构造出逆命题，再依据三角形相似的判定定理判断逆命题的真假. 详解：逆命题：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们相似. 真假性：根据相似三角形的判定定理（对应边成比例的三角形相似），逆命题为真. 20．已知命题“如果，那么”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 答案：答案见解析 分析：本题考查写出原命题的逆否命题及真假判断、写出原命题的否命题及真假判断、写出原命题的逆命题及真假判断知识点.根据逆命题，否命题和逆否命题的概念改写即可. 详解：已知命题“如果，那么”，原命题为真命题， 则逆命题为“如果，那么”， 若，则或，则逆命题为假命题， 否命题为“如果，那么”， 如果即，且，那么，故否命题为假命题， 逆否命题为“如果，那么”， 逆否命题与原命题同真同假，所以逆否命题为真命题. 21．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 答案：(1)答案见解析 (2)答案见解析 分析：本题考查判断命题的真假、命题的概念知识点.（1）（2）首先利用命题的形式进行转换，进一步判定结果； 详解：（1）当时，无实根，改为：若，则无实根． 由于，．故该命题为真命题． （2）一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除，改为：若一个整数的个位数是0，则这个数一定能被5整除，也能被2整除， 易知此命题为真命题． 22．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 答案：(1)若，则ac2＞bc2，是假命题 (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题 (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题 分析：本题考查判断命题的真假知识点.（1）可以举反例证明； （2）实数的平方必为非负数； （3）由2×3=6，即可判断. 详解：（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除， 若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由2×3=6， 则2,3也为该数的因数，故该命题正确. 23．写出下列命题的逆命题，判断下列命题中的条件是否为结论的必要条件. (1)如果直线经过第一、二、三象限，那么； (2)如果，那么是第四象限角. 答案：(1)答案见详解 (2)答案见详解 分析：本题考查直线的斜截式方程及辨析、由三角函数式的符号确定角的范围或象限、判断命题的必要不充分条件、命题的概念知识点.根据逆命题和必要条件的概念分析即可. 详解：（1）原命题的逆命题为，如果，那么直线经过第一、二、三象限， 因为直线经过第一、二、三象限可得， 但，可得直线可能经过第一、三、四象限， 所以条件p不是结论q的必要条件. （2）原命题的逆命题为，如果是第四象限角，那么， 因为如果，可得或，那么是第一或四象限角， 但是第四象限角，可得， 所以条件p是结论q的必要条件. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $