第70卷 离散型随机变量 -考点训练卷 2027年河北省对口升学《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦离散型随机变量基础考点，以三阶递进体系中的微目标训练为核心，通过辨析、计算、应用题型构建从概念到综合的认知链条，培养数据意识与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2题|判断离散型随机变量及表示|从实例抽象概念，区分离散与连续变量| |分布列性质与计算|选择4-5、填空21-22、解答26-27|分布列参数求解、实际情境分布列构建|基于分布列性质（概率和为1）推导参数，结合组合、独立重复试验构建模型| |数字特征|选择6-8、12-15、17-18、填空23-25|期望方差计算及应用|由分布列推导期望方差公式，强化公式应用与参数求解| |应用与综合|选择9-11、16、19-20、解答28-30|正态分布、实际问题期望计算|结合生活情境（如支教选师、滑雪试滑），运用模型意识解决综合问题|

编写说明：2027年河北省对口升学《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河北省对口升学《数学考纲百套卷》 第70卷 离散型随机变量 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.下面是离散型随机变量的是（   ） A．电灯炮的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（   ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 3．关于正态曲线的形状，下列描述正确的是（   ） A．由确定，越大，曲线越“矮胖” B．由确定，越大，曲线越“矮胖” C．由确定，越大，曲线越“瘦高” D．由确定，越大，曲线越“瘦高” 4.下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（   ） X 3 4 5 6 P A． B． C． D． 5. 若离散型随机变量的分布列如下图所示． 0 1 则实数的值为（   ） A．或 B． C． D．或 6.已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（   ） X 0 1 2 3 P A． B． C． D． 7．已知离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 则（   ） A． B． C． D． 8.随机变量的分布列如下表，则等于（   ） 0 1 A． B． C． D． 9．小航跳绳跳一次成功的概率为，则在3次独立重复试验中，小航跳绳恰好成功2次的概率为（   ） A． B． C． D． 10．若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 11．袋中装有大小相同的5个球，分别标有五个号码，在有放回的条件下依次取出2个球，设2个球的号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（   ） A． B． C． D．9 12. 已知随机变量，则的值为（   ） A. B. C. D. 13.已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．设是一个离散型随机变量，其分布列为： 1 2 3 则的数学期望为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．随机变量X的分布列如下: X 0 1 P 若，则的值是（   ） A． B． C． D． 16. 已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A. B. C. D. 17.若随机变量的概率分布列如下表： 0 2 4 0.3 0.2 0.5 则等于（   ） A．2039 B．2027 C．3.04 D．15.2 18．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数) X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 19.某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（   ） A． B． C． D． 20．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（（   ） A．176 B．182 C．184 D．186 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 21.设随机变量的分布列为，（，2，3），则的值为___________. 22.设X是一个离散随机变量，其分布列为： －1 0 1 则实数的值为___________. 23．随机变量，，则实数的值为 . 24．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则 . 25.某同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则Y的方差 ． 三、解答题（本大题共5小题，第26、27小题8分，第28题9分、第29、30题10分，共 45 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 26. 从4名数学教师和2名语文教师中任选3名教师到山区某一学校支教，表示选到的语文教师人数，求随机变量的概率分布. 27.为备战年北京冬奥会，某竞技滑雪运动员精心编排了一套难度系数较高的动作，通过一段时间的训练，每次完美完成这套动作的概率为，求在赛前的4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数的概率分布. 28．在某次语文考试中，考生的成绩服从正态分布．（参考数据：） (1)求考生成绩位于区间内的概率； (2)若此次考试共有1000名考生，试估计成绩在区间内的考生人数． 29．某学院为了调查本校学生2026年3月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； （2）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列. 30．某职业技术大学招收的8名机械工程专业新生中有2名优秀生，现随机将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中. (1)求2名优秀生被分配到同一个班的概率； (2)设随机变量表示分配到甲班的优秀生的人数，求的概率分布； (3)求随机变量的期望和方差. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省对口升学《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河北省对口升学《数学考纲百套卷》 第70卷 离散型随机变量 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.下面是离散型随机变量的是（   ） A．电灯炮的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 【答案】B 【详解】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意； 对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意； 对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意； 对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意. 故选：B. 2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（   ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【答案】C 【详解】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示． 故选：C． 3．关于正态曲线的形状，下列描述正确的是（   ） A．由确定，越大，曲线越“矮胖” B．由确定，越大，曲线越“矮胖” C．由确定，越大，曲线越“瘦高” D．由确定，越大，曲线越“瘦高” 【答案】A 【分析】利用正态曲线的性质即可得解. 【详解】根据正态曲线的性质，决定曲线的位置和对称性； 曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”. 故选：A. 4.下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（   ） X 3 4 5 6 P A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得， 故选：C. 5. 若离散型随机变量的分布列如下图所示． 0 1 则实数的值为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【详解】依题意，，解得，所以实数的值为. 故选：C. 6.已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（   ） X 0 1 2 3 P A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据， 故选：C. 7．已知离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得的值，再利用概率的加法公式计算即可. 【详解】根据分布列的性质，有，则. 所以. 故选：D. 8.随机变量的分布列如下表，则等于（   ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分布列可知，故， 故选：C. 9．小航跳绳跳一次成功的概率为，则在3次独立重复试验中，小航跳绳恰好成功2次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布的计算公式即可求解. 【详解】小航跳绳恰好成功2次的概率为. 故选：A. 10．若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】因为随机变量，且，. 故选：A. 11．袋中装有大小相同的5个球，分别标有五个号码，在有放回的条件下依次取出2个球，设2个球的号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（   ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的可能取值分析即可. 【详解】第一次取球可能取出的号码为，第二次取球可能取出的号码为， 则2个球的号码之和为共个， 故选：D. 12. 已知随机变量，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布公式即可解得. 【详解】根据二项分布公式，得． 故选：A 13.已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即，解得：， 所以，． 故选：A． 14．设是一个离散型随机变量，其分布列为： 1 2 3 则的数学期望为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由得，，∴. 故选：B. 15．随机变量X的分布列如下: X 0 1 P 若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用随机变量分布列的性质和期望的计算，求解参数. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知， ①，又②，联立① ，② ，解得，. 故选：A. 16. 已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：C 17.若随机变量的概率分布列如下表： 0 2 4 0.3 0.2 0.5 则等于（   ） A．2039 B．2027 C．3.04 D．15.2 【答案】A 【详解】据题意，得， 所以， 故选：A. 18．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数) X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率的性质求出参数，再根据概率的定义、期望以及方差的公式求解即可. 【详解】因为，解得，故A错误； 由分布列知，故B错误； ，故C正确； ， 故D错误. 故选：C. 19.某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为， ；；， 则实验次数的分布列如下：                                         所以此人实验次数的期望是. 故选：B. 20．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（（   ） A．176 B．182 C．184 D．186 【答案】B 【分析】根据已知条件求出随机变量X的分布列，利用分布列即可求出随机变量的X的均值. 【详解】依题意可得X的可能值为200，180，160. ，，， X的分布列为 200 180 160 0.4 0.3 0.3 所以. 故选：B. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 21.设随机变量的分布列为，（，2，3），则的值为___________. 【答案】 【详解】依题意，，解得，所以a的值为， 故答案为：. 22.设X是一个离散随机变量，其分布列为： －1 0 1 则实数的值为___________. 【答案】 【详解】由离散型随机变量分布列的性质，知，故，因为，解得. 故答案为：. 23．随机变量，，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】随机变量，则正态曲线关于对称，∵， ∴，解得， 故答案为：. 24．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则 . 【答案】 【分析】根据分布列的性质及数学期望求出的值，即可求得. 【详解】由题意知， 由得，解得， 故. 故答案为：. 25.某同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则Y的方差 ． 【答案】 【详解】同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是， 且在各路口是否遇到红灯是相互独立的． 记为遇到红灯的次数，则，，，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，第26、27小题8分，第28题9分、第29、30题10分，共 45 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 26. 从4名数学教师和2名语文教师中任选3名教师到山区某一学校支教，表示选到的语文教师人数，求随机变量的概率分布. 【答案】见解析. 【分析】先根据题意得出可能的取值并求出对应的概率，即可画出概率分布列. 【详解】 所以的概率分布列为： 0 1 2 P 27.为备战年北京冬奥会，某竞技滑雪运动员精心编排了一套难度系数较高的动作，通过一段时间的训练，每次完美完成这套动作的概率为，求在赛前的4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数的概率分布. 【答案】见解析 【分析】分别求出为时的概率，列出分布列即可. 【详解】已知每次完美完成这套动作的概率为，则不完美完成这套动作的概率为，且每次完成完美完成这套动作的事件是相互独立的，已知完美完成这套动作的次数， 则可以取， ， ， ， ， . 所以分布列为 28．在某次语文考试中，考生的成绩服从正态分布．（参考数据：） (1)求考生成绩位于区间内的概率； (2)若此次考试共有1000名考生，试估计成绩在区间内的考生人数． 【答案】(1)0.6826. (2)954人. 【分析】（）根据题意求出，结合正态分布的计算公式即可得解. （）根据题意求出成绩在区间内的概率，即可得解. 【详解】（1）根据题意， 则， 所以考生成绩位于区间内的概率是． （2）由（1）可得，即考生成绩在区间内的概率为， 于是，成绩在区间内的考生大约有人． 29．某学院为了调查本校学生2026年3月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； （2）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列. 【答案】(1)10 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据直方图可得出健康上网天数未超过20天的频率，从而可求出上网超过20天的频率，再利用频率和频数之间的关系求解即可； （2）根据题意可得出随机变量Y的所有可能取值，再求出相对应的概率，即可得到Y的分布列. 【详解】（1）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为 ， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是10. （2）随机变量Y的所有可能取值为0，1，2. ，，， 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 P 30．某职业技术大学招收的8名机械工程专业新生中有2名优秀生，现随机将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中. (1)求2名优秀生被分配到同一个班的概率； (2)设随机变量表示分配到甲班的优秀生的人数，求的概率分布； (3)求随机变量的期望和方差. 【答案】(1) (2)见解析 (3)期望：；方差： 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）写出随机变量所有可能的取值，根据古典概型的概率公式求出每一取值的概率，列出表格，即可得的概率分布； （3）利用数学期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中，有种分法， 2名优秀生被分配到同一个班的分法有种， 设2名优秀生被分配到同一个班为事件， 所以. （2）依题意，随机变量所有可能的取值有， ，，， 所以的概率分布为： （3）随机变量的期望， 方差. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $