专题23 等比数列（练习）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）(1)

**基本信息** 以分层题型构建等比数列知识应用体系，融合高考真题实现从基础巩固到综合突破，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础练习|18题|侧重概念辨析（等比数列判定）和基本运算（通项、前n项和）|从定义到公式的概念生成，夯实基础| |进阶练习|17题|增加综合应用（等差等比结合）和创新情境（谢尔宾斯基三角形）|公式推导到交叉知识应用，发展推理能力| |高考真题|5题|突出实际应用（插入项构等差）和探究性问题（存在性判断）|实际问题到模型构建，强化数学语言表达|

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》练习 专题23 等比数列 一、单选题 1. 下列各组数中成等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【考点】等比数列定义（相邻项比值相等） 【答案】B 【解析】A：，不等；B：，比值相等，等比； C：，不等；D：，是等差不是等比. 2. 在等比数列中，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【考点】等比通项 【答案】C 【解析】. 3. 在等比数列中，若,, 则等于（ ） A. B. C. D. 【考点】等比中项性质 【答案】C 【解析】等比. 4. 在等比数列中，若,, 则等于（ ） A. B. C. D. 【考点】等比中项符号判定 【答案】B 【解析】， 均负，奇数项同号，故. 5. 在等比数列中，若,, 则该数列的前五项的和等于（ ） A. B. C. D. 【考点】等比求和 【答案】B 【解析】，. 6. 若实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【考点】等比中项奇数项性质 【答案】C 【解析】5 项等比，中间项是与等比中项：， 奇数项同号，首项，故.，. 7. 若是，的等差中项，是的等比中项，则 A. B. C. D. 【考点】等差中项、等比中项 【答案】B 【解析】等差中项：；等比中项： ，选 B. 8. 若成等差数列；成等比数列，则的值等于 A. B. C. D. 【考点】等差数列通项、等比中项符号 【答案】A 【解析】等差数列：共 4 项，公差，， 等比数列：共 5 项，，奇数项同号，， ，选 A. 二、多选题 9. 已知为等比数列，是其前项和，若，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. D. 【考点】等比通项、等差中项、求和 【答案】CD 【解析】 ① ，代入①： ，；，A、B 错，C、D 对. 10. 记公比大于的等比数列的前项和为，若，，则 A. B. C. D. 【考点】等比通项与求和 【答案】ABD 【解析】， ，，，，， ，， ，A、B、D 对，C 错. 三、填空题 11. 在等比数列中，若，且前 4 项和，则________. 【考点】等比通项与求和 【答案】 【解析】， . ，. 12. 若公差不为零的等差数列的第 2、3、6 项构成等比数列，则该等比数列的公比为_____. 【考点】等差等比综合 【答案】 【解析】设等差，， 等比：，，， ，. ，公比. 13. 等比数列的各项均为正数，且，则 【考点】等比中项、对数运算 【答案】 【解析】， . 14. 已知为等比数列，，.若，则；若，则的前项和为. 【考点】等比通项、求和 【答案】； 【解析】或， ：，；：，. 四、解答题 15. 设为等比数列的前项和，且，， （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 【考点】等比递推求公比、通项求和 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）两式相减：，. 代入，， ，通项； （2）. 16. 在公差不为零的等差数列及等比数列中，已知，且与， （1）求数列和的通项公式； （2）求数列和的前 5 项的和. 【考点】等差等比综合方程组求解 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）设的公差为，的公比为， ，代入：， （舍去），. ，， （2）数列的前 5 项的和； 数列的前 5 项的和. 17. 设数列的前项和, 数列为等差数列，且,, 求数列的通项及其前 12 项的和. 【考点】由求、等差数列通项求和 【答案】，前 12 项和 【解析】，. . ，，. 18. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，满足，. (1) 求数列的通项公式； (2) 记的前项和分别为，若，求的值. 【考点】等差、等比通项与前项和 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)；，， ；， ， ，；； (2)， ，，，. 一、单选题 1. 记等比数列的前项和为，若公比，且，则（ ） A. B. C. D. 【考点】等比中项、求和 【答案】D 【解析】，，. 2. 若为等比数列的前项和，且与，则公比（ ） A. B. C. D. 【考点】等比递推求公比 【答案】D 【解析】两式相减：，. 3. 若均为正数，且成等差数列，则下列结论中恒成立的是（ ） A. B. C.成等差数列 D.成等比数列 【考点】等差对数转化等比 【答案】D 【解析】等差， 正数满足，故等比. 4. 等比数列中，前项和满足，，则 A. B. C. D. 【考点】等比数列的性质：成等比 【答案】A 【解析】，，设 ，，选 A. 5. 在等比数列中，是方程的实根，则 A. B. C. D. 【考点】等比中项、同号项符号判断 【答案】D 【解析】韦达定理：，，故 ， ，，选 D. 6. 设公差不为的等差数列的前项和为，，若成等比数列，则 A. B. C. D. 【考点】等差数列前项和、等比中项 【答案】B 【解析】 等比：，设公差， ，， ，选 B. 7. 已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则 A.或 B.或 C.或 D.或 【考点】等差、等比通项与前项和 【答案】D 【解析】设等比公比， 或 若：，，等差公差，; 若：，，公差，，选 D. 8. 如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，图（1）中阴影三角形的个数为 1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，数列构成等比数列．设的前项和，若，则 A. B. C. D. 【考点】等比数列求和公式 【答案】C 【解析】，，， 由，得， ，选 C. 二、多选题 9. 已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是 A. B. C.成等比数列 D. 【考点】等比通项、片段和、求和公式 【答案】AB 【解析】，A 对； ，，，B 对； ，，C 错； ；，，，D错. 10. 已知等比数列的前项和为，且，，则 A. 公比 B. 数列是单调递减数列 C. D. 【考点】等比前项和 【答案】AC 【解析】，，，A 对; ，，单调递增，B 错，C 对; ，D 错. 三、填空题 11. 在等比数列中，，，则的通项公式是_________，前 6 项和_________. 【考点】等比中项、通项、求和 【答案】， 【解析】等比性质：，故. ，，. ， 通项，. 12. 设三个连续正奇数为, 而是公比为的等比数列，且, 若,,成等比数列，则三个连续正奇数分别是_______. 【考点】奇数数列 + 等比数列方程求解 【答案】 【解析】连续正奇数：； 等比的公比为3，，. ，， . ,,成等比数列，即， ，解得或 时，，不合题意舍去； 时，， 所以，三个连续正奇数分别是. 13. 如果数列的通项公式,，则此数列的前项和_______. 【考点】分组求和：等比 + 等差 【答案】 【解析】 因为，所以. 14. 将杨辉三角中的所有 “” 去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列，则这个数列的前项和_______. 【考点】数列求和 【答案】 【解析】根据题意，将杨辉三角中的所有“1”去除后，可得如下数表： 行 1：1个数，和为2； 行 2：2个数，和为6； 行 3：3个数，和为14； 行 4：4个数，和为30； ……； 行 n：n个数，和为. 要求数列的第21项正好是第6行的最后一个数，则这个数列的前项和为： . 四、解答题 15. 设等比数列的前项和为（为实数），为等差数列，且. 解答下列问题： （Ⅰ）求与的值及的通项公式； （Ⅱ）求的前 7 项和； （Ⅲ）设是和的等比中项，且公差, 求的通项公式. 【考点】等比和式常数、等差中项、等比中项 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ). 【解析】(Ⅰ)，， . 等比， 通项. (Ⅱ)，等差前 7 项和. (Ⅲ)，设等差公差，，， ， ，， ，. 16. 设是等差数列，是等比数列，,,, 求 （1）和； （2）的通项公式和其前 10 项和； （3）的通项公式和其前 5 项和. 【考点】等差等比综合方程组 【答案】（1）；（2），；（3），. 【解析】（1）因为是等差数列，所以，又， 所以，又，所以，因为是等比数列，所以， 解得，； （2）设的公差，，，解得， 的通项公式为， 其前 10 项和; （3）设的公比，，，解得， 的通项公式为，其前 5 项和. 17. 已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且. (1) 求数列的通项公式； (2) 求. 【考点】等差通项、等比中项、分组求和 【答案】(1)；(2) 【解析】(1) ： ， 代入：， ， ； (2)，是首项，公差的等差数列， . 18. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，成等比数列. (1) 求的通项公式； (2) 求使成立的的最小值； (3) 令，求数列的前项和. 【考点】等差通项、求和、错位相减法 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】(1)，， ， ，； (2) ，，最小； (3)，， 两式相减： . 1.（2026年湖北省技能高考第32题）如图，图中黑色阴影部分正方形个数记为.图1中黑色阴影部分正方形个数记为，图2中黑色阴影部分正方形个数记为，图3中黑色阴影部分正方形个数记为，……，以此类推，图中黑色阴影部分正方形个数记为. (1) 根据规律，写出 的值； (2) 求数列的通项公式； (3) 若数列的前项和为 ，是否存在一个正整数，使得 ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【考点】数列通项、等比数列求和 【答案】(1) ；(2) ；(3) . 【解析】(1) 根据图形规律： , ； (2) 根据图形规律：； 所以，数列 的通项公式为； (3) 存在一个正整数，使得 . 令 ，则： 当时，. 所以，存在满足条件的正整数. 2.（2024年湖北省技能高考第32题）已知数列为等比数列，且，. （1）求的通项公式及其前项和； （2）在与之间插入个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列. （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，在数列中是否存在项成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【考点】等比数列通项与求和、等差数列公差证明、等比中项存在性分析 【答案】(1) ，； (2)(ⅰ) 证明见解析；(ⅱ) 不存在满足条件的三项. 【解析】(1) 设等比数列公比为， ，通项：. 等比求和：. (2)(ⅰ) ， 与间插个数，共项等差数列，首项，末项，项数. 等差数列末项公式：，， ，，得证. (ⅱ) 假设成等比，则，且. 代入：，化简：， 由，，约去得：. 故. 联立，即是方程两根，，， 与 “3 项” 含义（互不相同三项）矛盾，故不存在. 3.（2023年湖北省技能高考第32题）已知是等差数列，是等比数列，且，，. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为. 从①②两个条件中选取一个作为已知条件，判断是否存在正整数，使得，且. 若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ①；②.（若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 【考点】等比数列通项、等差数列前项和单调性 【答案】(1) ；（2）选①：存在，；选②：不存在. 【解析】(1) 设公比， ，两式相除：， ，通项. . (2) 条件①：；. 等差：，作差：，， . ；. ，解得， 存在正整数，使得，且. 条件②：，， ，，. ；， ，此不等式组无解. 故，不存在正整数，使得，且. 4.（2022年湖北省技能高考第32题）已知等比数列的前项和为，且、、成等差数列，. （1）求的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【考点】等比数列求和、等差中项、不等式求最小正整数 【答案】(1) ；(2) 存在，最小值为. 【解析】(1) 设公比，等差. ，，， ，约去，得 ，，所以. ， 代入：， 通项公式为. (2) 求和. 要求. 只有奇数时，不等式变为. ，故最小正整数. 5.（2021年湖北省技能高考第31题）在等差数列和等比数列中，已知. （1）求数列和数列的通项公式； （2）在和中依次插入数列的项，构成一个新数列 ，记的前项和为，求. 【考点】等差等比通项求解、新数列分组求和 【答案】(1) ，；(2) . 【解析】(1) 设公差，公比，， ， 由代入第二式：. 舍去（等比数列项不为 0），则， ，. (2) 新数列规则：后插1项；后插2项 ；后插3项；后插4项；后插5项.累计，恰好到第 20 项末尾为. 求和拆分：所有 + 插入的. 在等比数列中，； 在等差数列中，； 所以，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》练习 专题23 等比数列 一、单选题 1. 下列各组数中成等比数列的是（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，若,, 则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，若,, 则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，若,, 则该数列的前五项的和等于（ ） A. B. C. D. 6. 若实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 若是，的等差中项，是的等比中项，则 A. B. C. D. 8. 若成等差数列；成等比数列，则的值等于 A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知为等比数列，是其前项和，若，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. D. 10. 记公比大于的等比数列的前项和为，若，，则 A. B. C. D. 三、填空题 11. 在等比数列中，若，且前 4 项和，则________. 12. 若公差不为零的等差数列的第 2、3、6 项构成等比数列，则该等比数列的公比为_____. 13. 等比数列的各项均为正数，且，则 14. 已知为等比数列，，.若，则；若，则的前项和为. 四、解答题 15. 设为等比数列的前项和，且，， （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 16. 在公差不为零的等差数列及等比数列中，已知，且与， （1）求数列和的通项公式； （2）求数列和的前 5 项的和. 17. 设数列的前项和, 数列为等差数列，且,, 求数列的通项及其前 12 项的和. 18. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）记的前项和分别为，若，求的值. 一、单选题 1. 记等比数列的前项和为，若公比，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为等比数列的前项和，且与，则公比（ ） A. B. C. D. 3. 若均为正数，且成等差数列，则下列结论中恒成立的是（ ） A. B. C.成等差数列 D.成等比数列 4. 等比数列中，前项和满足，，则 A. B. C. D. 5. 在等比数列中，是方程的实根，则 A. B. C. D. 6. 设公差不为的等差数列的前项和为，，若成等比数列，则 A. B. C. D. 7. 已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则 A.或 B.或 C.或 D.或 8. 如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，图（1）中阴影三角形的个数为 1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，数列构成等比数列．设的前项和，若，则 A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是 A. B. C.成等比数列 D. 10. 已知等比数列的前项和为，且，，则 A. 公比 B. 数列是单调递减数列 C. D. 三、填空题 11. 在等比数列中，，，则的通项公式是_________，前 6 项和_________. 12. 设三个连续正奇数为, 而是公比为的等比数列，且, 若,,成等比数列，则三个连续正奇数分别是_______. 13. 如果数列的通项公式,，则此数列的前项和_______. 14. 将杨辉三角中的所有 “” 去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列，则这个数列的前项和_______. 四、解答题 15. 设等比数列的前项和为（为实数），为等差数列，且. 解答下列问题： （Ⅰ）求与的值及的通项公式； （Ⅱ）求的前 7 项和； （Ⅲ）设是和的等比中项，且公差, 求的通项公式. 16. 设是等差数列，是等比数列，,,, 求 （1）和； （2）的通项公式和其前 10 项和； （3）的通项公式和其前 5 项和. 17. 已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且. (1) 求数列的通项公式； (2) 求. 18. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，成等比数列. (1) 求的通项公式； (2) 求使成立的的最小值； (3) 令，求数列的前项和. 1.（2026年湖北省技能高考第32题）如图，图中黑色阴影部分正方形个数记为.图1中黑色阴影部分正方形个数记为，图2中黑色阴影部分正方形个数记为，图3中黑色阴影部分正方形个数记为，……，以此类推，图中黑色阴影部分正方形个数记为. (1) 根据规律，写出 的值； (2) 求数列的通项公式； (3) 若数列的前项和为 ，是否存在一个正整数，使得 ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2.（2024年湖北省技能高考第32题）已知数列为等比数列，且，. （1）求的通项公式及其前项和； （2）在与之间插入个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列. （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，在数列中是否存在项成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 3.（2023年湖北省技能高考第32题）已知是等差数列，是等比数列，且，，. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为. 从①②两个条件中选取一个作为已知条件，判断是否存在正整数，使得，且. 若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ①；②.（若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 4.（2022年湖北省技能高考第32题）已知等比数列的前项和为，且、、成等差数列，. （1）求的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 5.（2021年湖北省技能高考第31题）在等差数列和等比数列中，已知. （1）求数列和数列的通项公式； （2）在和中依次插入数列的项，构成一个新数列 ，记的前项和为，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $