专题23 等比数列（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）(1)

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 等比数列 【复习目标】 理解等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式。 【考点知识回顾】 1. 等比数列的定义 定义：一般地，如果一个数列从第 二 项起，每一项与它的前一项的 比 等于同一个 常数 ，那么这个数列就叫做等比数列. 递推公式：，其中常数叫做等比数列的 公比 . 易错提醒：等比数列中任意一项都 不能 为0，公比 不能 为0. 2. 等比数列的通项公式 通项公式：若等比数列的首项为，公比为，则通项公式为. 推广通项公式：（）. 通项特征：是关于的 指数型 函数（）. 3. 等比中项 定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的 等比中项 . 公式：，即. 推论：等比数列中，任意连续三项满足. 前提：必须 同号 ，否则无等比中项. 4. 等比数列的前n项和公式 设等比数列首项，公比，前项和为. 当时，；当时，. 5. 等比数列的常用性质（技能高考高频） 性质1：若，则.特别地，若，则. 性质2：等比数列中，（）仍成 等比 数列，公比为. 性质3：等比数列所有奇数项符号 相同 ，所有偶数项符号 相同 . 【即时训练】 一、单项选择题 1. 下列数列中，属于等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【考点】等比数列的定义 【答案】B 【解析】根据等比数列定义，从第二项起后项与前项比值为同一常数，且数列各项不为0.A为等差数列，C含0项，D比值不固定，均不是等比数列；B数列公比，符合定义. 2. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 18 B. 24 C. 54 D. 72 【考点】等比数列通项公式 【答案】C 【解析】由通项公式，代入得. 3. 已知2，，8成等比数列，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 16 【考点】等比中项公式 【答案】C 【解析】由等比中项性质，解得. 4. 等比数列中，公比，，则（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 【考点】等比数列推广通项公式 【答案】B 【解析】由，得. 5. 等比数列中，，，则前10项和（ ） A. 0 B. 1 C. D. 10 【考点】等比数列前n项和公式 【答案】A 【解析】，，代入求和公式. 6. 等比数列中，若，则（） A. 4 B. C. 8 D. 【考点】等比数列的性质 【答案】B 【解析】由，得，故. 二、多项选择题 7. 关于等比数列，下列说法正确的有（ ） A. 各项均不为0 B. 公比可以为0 C. 奇数项符号相同 D. 公比大于1时数列递增 【考点】等比数列基本性质 【答案】AC 【解析】等比数列各项、公比均不能为0，A正确，B错误；等比数列奇数项、偶数项符号分别一致，C正确；只有在首项大于零时，公比大于1，数列才递增，D错误. 8. 已知正项等比数列中，，，下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【考点】等比数列通项、前n项和公式 【答案】ABC 【解析】，A正确；， 解得（已知正项等比数列，舍去）或，B正确； ，C正确，，D错误. 三、填空题 9. 等比数列中，，，则____，____. 【考点】等比数列通项、前n项和计算 【答案】96；189 【解析】，，，. 10. 已知1，，9成等比数列，则____，该数列公比____. 【考点】等比中项、公比计算 【答案】；时，时 【解析】，；时，时. 11. 等比数列中，，，则公比____，____. 【考点】等比数列基本量计算 【答案】2；2 【解析】由，得，；. 12. 等比数列中，，，则____，公比为____. 【考点】等比数列片段和性质 【答案】126； 【解析】；,成等比数列，， 126，，. 四、解答题 13. 已知等比数列中，，， （1）求数列的公比和首项； （2）求数列前n项和. 【考点】等比数列基本量求解、前n项和公式综合应用 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1）由，代入数据得，解得； 由，得； （2）将代入求和公式，. 14. 在等比数列中，公比，前项和为，，. (1) 求数列的通项公式； (2) 已知，求数列的前项和. 【考点】求等比数列的前n项和；数列求和的其他方法 【答案】(1) ；(2) 【解析】(1) 由等比数列前项和定义可得：， 根据题意 ，因此 . 由等比数列通项公式 ，得：，， 代入得：，提取公因式：. 已知 ，将 代入上式，可得：， 化简整理：.因式分解：，解得 或 . 由题干条件 ，舍去 ，故公比 . 将 代入 ，得 . 因此数列的通项公式为：. (2) 由(1)得 ，代入 得：， 根据对数运算性质 ，化简得：. 数列的前n项和： 分组求和得： 第一部分为等差数列求和：首项为，末项为，项数为，根据等差数列求和公式可得： 第二部分为等比数列求和：首项为，公比为，项数为，根据等比数列求和公式可得： 将两部分结果合并，得到数列的前项和为：. 1.（2026年湖北省技能高考第32题）如图，图中黑色阴影部分正方形个数记为.图1中黑色阴影部分正方形个数记为，图2中黑色阴影部分正方形个数记为，图3中黑色阴影部分正方形个数记为，……，以此类推，图中黑色阴影部分正方形个数记为. (1) 根据规律，写出 的值； (2) 求数列的通项公式； (3) 若数列的前项和为 ，是否存在一个正整数，使得 ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【考点】数列通项、等比数列求和 【答案】(1) ；(2) ；(3) . 【解析】(1) 根据图形规律： , ； (2) 根据图形规律：； 所以，数列 的通项公式为； (3) 存在一个正整数，使得 . 令 ，则： 当时，. 所以，存在满足条件的正整数. 2.（2024年湖北省技能高考第32题）已知数列为等比数列，且，. （1）求的通项公式及其前项和； （2）在与之间插入个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列. （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，在数列中是否存在项成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【考点】等比数列通项与求和、等差数列公差证明、等比中项存在性分析 【答案】(1) ，； (2)(ⅰ) 证明见解析；(ⅱ) 不存在满足条件的三项. 【解析】(1) 设等比数列公比为， ，通项：. 等比求和：. (2)(ⅰ) ， 与间插个数，共项等差数列，首项，末项，项数. 等差数列末项公式：，， ，，得证. (ⅱ) 假设成等比，则，且. 代入：，化简：， 由，，约去得：. 故. 联立，即是方程两根，，， 与 “3 项” 含义（互不相同三项）矛盾，故不存在. 3.（2023年湖北省技能高考第32题）已知是等差数列，是等比数列，且，，. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为. 从①②两个条件中选取一个作为已知条件，判断是否存在正整数，使得，且. 若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ①；②.（若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 【考点】等比数列通项、等差数列前项和单调性 【答案】(1) ；（2）选①：存在，；选②：不存在. 【解析】(1) 设公比， ，两式相除：， ，通项. . (2) 条件①：；. 等差：，作差：，， . ；. ，解得， 存在正整数，使得，且. 条件②：，， ，，. ；， ，此不等式组无解. 故，不存在正整数，使得，且. 4.（2022年湖北省技能高考第32题）已知等比数列的前项和为，且、、成等差数列，. （1）求的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【考点】等比数列求和、等差中项、不等式求最小正整数 【答案】(1) ；(2) 存在，最小值为. 【解析】(1) 设公比，等差. ，，， ，约去，得 ，，所以. ， 代入：， 通项公式为. (2) 求和. 要求. 只有奇数时，不等式变为. ，故最小正整数. 5.（2021年湖北省技能高考第31题）在等差数列和等比数列中，已知. （1）求数列和数列的通项公式； （2）在和中依次插入数列的项，构成一个新数列 ，记的前项和为，求. 【考点】等差等比通项求解、新数列分组求和 【答案】(1) ，；(2) . 【解析】(1) 设公差，公比，， ， 由代入第二式：. 舍去（等比数列项不为 0），则， ，. (2) 新数列规则：后插1项；后插2项 ；后插3项；后插4项；后插5项.累计，恰好到第 20 项末尾为. 求和拆分：所有 + 插入的. 在等比数列中，； 在等差数列中，； 所以，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 等比数列 【复习目标】 理解等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式。 【考点知识回顾】 1. 等比数列的定义 定义：一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的_____等于同一个_____，那么这个数列就叫做等比数列. 递推公式：，其中常数叫做等比数列的_____. 易错提醒：等比数列中任意一项都_____为0，公比_____为0. 2. 等比数列的通项公式 通项公式：若等比数列的首项为，公比为，则通项公式为_____. 推广通项公式：_____（）. 通项特征：是关于的_____函数（）. 3. 等比中项 定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的_____. 公式：_____，即. 推论：等比数列中，任意连续三项满足_____. 前提：必须_____，否则无等比中项. 4. 等比数列的前n项和公式 设等比数列首项，公比，前项和为. 当时，_____；当时，. 5. 等比数列的常用性质（技能高考高频） 性质1：若，则.特别地，若，则. 性质2：等比数列中，（）仍成_____数列，公比为. 性质3：等比数列所有奇数项符号_____，所有偶数项符号_____. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 下列数列中，属于等比数列的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 18 B. 24 C. 54 D. 72 3. 已知2，，8成等比数列，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 16 4. 等比数列中，公比，，则（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 5. 等比数列中，，，则前10项和（ ） A. 0 B. 1 C. D. 10 6. 等比数列中，若，则（） A. 4 B. C. 8 D. 二、多项选择题 7. 关于等比数列，下列说法正确的有（ ） A. 各项均不为0 B. 公比可以为0 C. 奇数项符号相同 D. 公比大于1时数列递增 8. 已知正项等比数列中，，，下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题 9. 等比数列中，，，则____，____. 10. 已知1，，9成等比数列，则____，该数列公比____. 11. 等比数列中，，，则公比____，____. 12. 等比数列中，，，则____，公比为____. 四、解答题 13. 已知等比数列中，，， （1）求数列的公比和首项； （2）求数列前n项和. 14. 在等比数列中，公比，前项和为，，. (1) 求数列的通项公式； (2) 已知，求数列的前项和. 1.（2026年湖北省技能高考第32题）如图，图中黑色阴影部分正方形个数记为.图1中黑色阴影部分正方形个数记为，图2中黑色阴影部分正方形个数记为，图3中黑色阴影部分正方形个数记为，……，以此类推，图中黑色阴影部分正方形个数记为. (1) 根据规律，写出 的值； (2) 求数列的通项公式； (3) 若数列的前项和为 ，是否存在一个正整数，使得 ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2.（2024年湖北省技能高考第32题）已知数列为等比数列，且，. （1）求的通项公式及其前项和； （2）在与之间插入个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列. （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，在数列中是否存在项成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 3.（2023年湖北省技能高考第32题）已知是等差数列，是等比数列，且，，. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为. 从①②两个条件中选取一个作为已知条件，判断是否存在正整数，使得，且. 若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ①；②.（若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 4.（2022年湖北省技能高考第32题）已知等比数列的前项和为，且、、成等差数列，. （1）求的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 5.（2021年湖北省技能高考第31题）在等差数列和等比数列中，已知. （1）求数列和数列的通项公式； （2）在和中依次插入数列的项，构成一个新数列 ，记的前项和为，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $