第44卷 直线与平面的位置关系（1）-考点训练卷 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦直线与平面位置关系基础考点，以题载知，构建从概念到应用的逻辑链条，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-3、填空11-12|考查位置关系分类及公共点特征|从直线与平面位置关系的概念生成，明确三类关系的定义与区别| |判定应用|选择4-6、填空13、证明22-23|线面平行/垂直判定及命题真假判断|以判定定理为核心，建立"线线关系→线面关系"的推导逻辑| |空间计算|选择7-10、填空14-18、解答19-21、综合24|涉及距离、体积、空间角计算|结合正方体、三棱锥等几何体，实现从定性判定到定量计算的应用拓展|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》 第44卷 直线与平面的位置关系（1） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若直线不平行于平面，且不在内，则下列结论成立的是（　　） A．内不存在与平行的直线 B．内的所有直线与异面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 【答案】A 【分析】根据空间中直线与平面之间的位置关系求解即可. 【详解】直线不平行于平面，且不在内，因此直线与平面相交，二者有且只有一个公共交点. 选项B.内所有过这个公共交点的直线，都和相交，不是异面直线，因此B错误. 选项C.如果内存在直线和平行，根据线面平行判定定理，就会推出和题干矛盾，因此C错误，A正确.. 选项D.内不过这个公共交点的直线，和异面，并不相交，因此D错误. 故选：A. 2．在正三棱柱中，为的中点，下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③平面；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由线面垂直的判定定理判断①，由线面平行判断③，由正三角形的三线合一判断④即可. 【详解】对于①，若，因为， 且，平面， 所以平面，而平面， 于是有，与已知矛盾，所以①错误， 对于②，显然错误， 对于③，因为， 且平面，平面， 所以平面，所以③正确， 对于④，由于点是的中点， 为正三角形，所以，即④正确． 故选：B．    3．若直线，且直线平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．在平面内 C．平行或在平面内 D．相交 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系判断. 【详解】若直线，且直线平面， 则直线与平面可能平行，也可能直线在平面内，不可能相交. 故选：C. 4．已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（    ）． A．① B．② C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质即可求解. 【详解】对①，由线面垂直的性质可得，若，，则；故①正确. 对②，由线面垂直的性质可得，若，，则；故②错误. 对③，若，，则或；故③错误. 对④，若，，则或或相交；故④错误． 故选：A. 5．如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】利用直线与平面垂直的判定与性质以及勾股定理求解. 【详解】在平面内作，垂足为，连接，则， 因为平面，直线在平面内，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，那么，所以的长度就是点到直线的距离. 因为平面，在平面内，所以， 在中，，， 则， 即点到直线的距离是. 故选：D. 6．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ）. A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 【答案】A 【分析】根据线面垂直的定义和线面垂直的判定定理即可解答. 【详解】已知垂直于所在平面， 且平面，所以， 因为，所以， 且平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以与棱垂直的棱有共3条， 故选：A. 7．在中 ，，平面，，则点P到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形三线合一性质与线面垂直的判定定理，确定点到的垂线段为，再通过两次勾股定理计算的长度 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点， 由等腰三角形三线合一性质可得， 因为平面，平面， 由线面垂直的性质可得，又， 平面，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面， 因为平面，故， 即线段的长度为点到的距离, 在中，，，， 且，所以， 故选：D. 8．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义找到所求线面角，再根据直角三角形边的关系求解即可. 【详解】连接，    因为长方体中，平面， 所以即体对角线与平面所成角， 因为，所以， 且长方体中，， 则中，，故为等腰直角三角形， 所以. 故选：B. 9．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方形的对角线相交于点O，连接，易得平面，为与底面所成角，根据侧棱长，求得正四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求解. 如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 10．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由空间中的直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】选项A.若，则与的位置关系有平行、相交、线在面内三种可能，错误. 选项B.若，则或，错误. 选项C.若，则或，错误. 选项D.若，根据线面垂直的推论，，正确. 故选：D. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．如果一条直线与一个平面相交，那么它们有______个公共点． 【答案】1 【分析】根据直线与平面相交的定义求解即可. 【详解】如果一条直线与一个平面相交，那么它们有1个交点. 故答案为：1. 12．直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面_______ 【答案】平行 【分析】根据直线与平面的三种位置关系填空即可. 【详解】直线与平面的位置关系有三种， 分别为直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行， 故答案为：平行. 13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，则与平面的关系是___________．    【答案】平行 【分析】根据直线与平面平行的判定易得答案. 【详解】取的中点，连接，   分别为中点，， 又四边形为平行四边形，为中点，， ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 故答案为：平行. 14．将边长为2的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为________. 【答案】 【分析】先求出正方形对角线的长度，再根据已知条件求出三棱锥的高，最后根据三棱锥体积公式求解. 【详解】取的中点，连结，，    ，， ，，. 同理， ， ，， 又平面，平面，， 平面， 为三棱锥的高， . 故答案为：. 15．在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 【答案】 【分析】将直线与所成角的余弦值转化为直线与所成角的余弦值，在中，求出即可求出答案. 因为， 则直线与所成角的余弦值即为直线与所成角的余弦值， 设正方体的棱长为，则， 因为平面，平面， 所以， 在中，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 16．在三棱锥中，底面是边长为3的正三角形，平面，，则该三棱锥的体积为________ 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质结合勾股定理求出长，代入棱锥的体积公式即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像， 因为平面，平面，所以， 又， 在中，， 底面是边长为3的正三角形，则， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 17．如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为__________.    【答案】 【分析】找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再结合正方体的性质进行计算. 【详解】连接，    因为正方体中，平面， 则直线在平面内的射影为， 所以是与平面所成的角， 设正方体的棱长为， 因为，为的中点，则， 所以， 在中，，， 可得：， 故答案为：. 18．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为______．    【答案】 【分析】根据线面角的定义找出与平面所成角，再利用边的关系即可求解正切值. 【详解】   取的中点，连接. 因为分别为的中点，所以，. 因为平面，所以平面. 所以与平面所成角为. 因为，所以. 故答案为：. 三、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 19．已知正方体，点O是底面对角线的交点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)若正方体的棱长为6，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定即可求解. （2）根据三棱锥的体积即为三棱锥的体积，结合棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）连接，即点是平面对角线的交点，连接， 在正方体中，， 所以，则四边形为平行四边形， 所以，因为平面，不在平面内， 所以平面；    （2）因为三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以在正方体中，， 则. 20．在正方体中，棱长为1，求与平面所成角的正弦值.    【答案】 【分析】连接，由平面，可得是与平面所成角，在直角中可求解. 【详解】    如图，连接，在正方体中， 因为平面，所以在平面内的射影为， 即是与平面所成角. 在棱长为1的正方形中，， 在直角中，， 所以，即与平面所成角的正弦值为. 21．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 四、证明题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 22．如图，点不在平面上，底面是正方形，为中点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，连接，设，连接，结合三角形中位线定理和线面平行的判定定理，即可证明结论成立. 【详解】连接，设，连接， 因为为正方形的对角线，所以O为中点， 在中，、分别为、中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 23．如图，在四棱锥中，平面且底面为菱形，F为对角线与的交点，E为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用线面垂直的判定定理与性质定理证明. 【详解】（1）因为底面为菱形，为对角线与的交点， 所以为的中点. 又因为为棱的中点， 所以在中，. 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以. 因为底面为菱形， 所以. 又因为，平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 五、综合题（本题10分） 24．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，.求直线与平面所成角的正切值.    【答案】 【分析】先证明平面，即可找到直线与平面所成角，再根据边的关系求解正切值即可. 【详解】∵底面为矩形， ∴， ∵侧棱平面，且平面， ∴， ∵，平面， ∴平面， ∴为直线在平面内的射影， ∴为直线与平面所成角， ∵平面，平面， ∴，即， ∵，，， ∴在中，， ∴在中，， 则直线与平面所成角的正切值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》 第44卷 直线与平面的位置关系（1） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若直线不平行于平面，且不在内，则下列结论成立的是（　　） A．内不存在与平行的直线 B．内的所有直线与异面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 2．在正三棱柱中，为的中点，下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③平面；④． A．1 B．2 C．3 D．4 3．若直线，且直线平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．在平面内 C．平行或在平面内 D．相交 4．已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（    ）． A．① B．② C．②③ D．①④ 5．如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 6．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ）. A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 7．在中 ，，平面，，则点P到的距离是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在长方体中，已知，，，求体对角线与平面所成角的大小（    ）    A． B． C． D． 9．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 10．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．如果一条直线与一个平面相交，那么它们有______个公共点． 12．直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面_______ 13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，则与平面的关系是___________．    14．将边长为2的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为________. 15．在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 16．在三棱锥中，底面是边长为3的正三角形，平面，，则该三棱锥的体积为________ 17．如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为__________.    18．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为______．    三、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 19．已知正方体，点O是底面对角线的交点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)若正方体的棱长为6，求三棱锥的体积． 20．在正方体中，棱长为1，求与平面所成角的正弦值.    21．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 四、证明题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 22．如图，点不在平面上，底面是正方形，为中点，求证：平面． 23．如图，在四棱锥中，平面且底面为菱形，F为对角线与的交点，E为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：． 五、综合题（本题10分） 24．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，.求直线与平面所成角的正切值.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $