第45卷 直线与平面的位置关系（2）-考点训练卷 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦直线与平面位置关系，以三阶递进基础层为核心，通过辨析、计算、证明多维题型构建从概念理解到综合应用的知识逻辑链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|线面垂直判定、线线位置关系辨析|从线面垂直定义到线线位置关系（平行/相交/异面）的概念生成| |填空|8题|位置关系填空、推理正确性判断|性质应用与逻辑推理的衔接，强化线面关系判定定理| |解答/证明|5题|线面角计算、体积计算、线面平行/垂直证明|结合正四棱锥、长方体等几何体，实现从单一知识到综合应用的拓展| |综合|1题|菱形中对线面垂直证明与线面角计算|整合线面垂直性质与空间角计算，体现知识综合迁移|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》 第45卷 直线与平面的位置关系（2） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．不能确定 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定即可得解. 【详解】若直线与平面内两条相交直线都垂直，则直线与该平面垂直. 所以垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面的位置关系是垂直. 故选：. 2．直线平面，直线，则l与m不可能（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】由线面平行的性质判断空间中直线与直线的关系即可. 【详解】因为直线平面α，直线， 则l与m可能平行、异面或垂直，故A、C、D选项错误； 若l与m相交，设，则， 又直线，则，即与平面有交点，与题设矛盾， 故l与m不可能相交，故B选项正确. 故选：B. 3．已知，，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可解答. 【详解】若，， 则与可能平行，相交或异面， 故选：D. 4．如图，正三棱柱各棱长都是2，其侧棱与底面垂直，点分别是的中点，则与侧棱所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移法作出与侧棱所成的角，再根据三角函数的定义易得答案. 【详解】 取AC的中点G，连结FG、EG. 由正三棱柱可得，. ∵G、E是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴是与所成的角. 又平面，平面， 所以， ，，， 在中，. 故选：A. 5．已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【分析】根据直线之间的关系求解即可. 【详解】因为直线与平面没有公共点，所以. 因为直线，所以或异面. 故选：D. 6．已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线的位置关系以及线面平行和垂直的性质判断即可. 【详解】垂直于同一直线的两条直线平行，相交或异面，A、B错误； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，C错误； ，由线面平行的性质有，D正确． 故选：D. 7．下列命题中正确的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C．若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D．若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 【答案】C 【分析】根据题意,结合线面垂直的判定定理和线面平行的性质判断即可. 【详解】对于A,若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于这个平面,故错误. 对于B,若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于这个平面,故错误. 对于C,若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线,故正确. 对于D,若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线垂直于这个平面,也有可能平行于这个平面,故错误. 故选：C. 8．命题：直线a与平面α内无数条直线垂直，命题：直线a与平面α垂直，则p是q的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据命题是否能推出命题，命题是否能推出命题，做出判断. 【详解】直线与平面内两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，无数条直线如果是平行线就无法和平面垂直，故命题不能推出命题； 直线a与平面α垂直，表示直线a与平面α内任意直线都垂直，必然垂直平面α内无数条直线，故命题能推出命题 ； 故p是q的必要条件. 故选：. 9．如图所示，正方体的体积为8，为的中点，则与平面所成角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件计算出正方体的棱长，连接，作出与平面的线面角，然后计算出正切值. 【详解】连接，面，所以即为与平面的线面角， 由正方体的体积为8，则棱长为2，即，， 计算可得，则， 故选：D.    10．已知､是两个平面，､是两条直线，.下列四个命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则， C．若，且，则 D．若与和所成的角相等，则 【答案】C 【分析】根据线面平行、垂直的判定定理和性质定理及线面所成角的内容，逐项分析即可. 【详解】对于选项A：若，因为，，则， 若，因为，，，则， 若不在也不在内，因为，，， 所以且，故A错误； 对于选项B：若，则与，不一定垂直，也有可能相交，故B错误； 对于选项C：过直线分别作平面，与，分别相交于直线，直线， 因为，过直线的平面与平面相交于直线，所以， 同理可得，所以， 因为，，则，因为，，则， 又因为，则，故C正确； 对于选项D：与和所成的角相等，则和不一定垂直，故D错误. 故选：C. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．已知直线，和平面，若，，则与的位置关系是_________. 【答案】平行，相交或异面 【分析】借助正方体，结合正方体的性质及直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】 如图所示，平面，平面，； 平面，平面，； 如图所述，取中点，连接，连接， 因为平面平面，平面，平面，平面，与异面； 所以直线，和平面，若，，则与的位置关系是平行，相交或异面. 故答案为：平行，相交或异面. 12．已知直线，平面，直线c与异面，则c与b的位置关系是__________． 【答案】相交或异面 【分析】由直线与直线的位置关系画图分析即可. 【详解】如图所示： 此时b与c的位置关系为相交， 此时b与c的位置关系为异面， 所以c与b的位置关系是相交或异面， 故答案为：相交或异面. 13．下列推理正确的序号是_______． ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】①②④ 【分析】根据点线面的位置关系，线面垂直的判定即可求解. 【详解】对①，若一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内， 所以，故①正确； 对②，如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直平面内的所有直线， 所以，故②正确； 对③，，也可能是与的交点，故③错误； 对④，若点在直线上，直线在平面内，则点在平面内，所以，故④正确； 对⑤，，与异面或，故⑤错误. 综上，正确的序号是：①②④. 故答案为：①②④. 14．一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的__________直线垂直． 【答案】任意一条 【分析】依据直线与平面垂直的定义填空. 【详解】由直线与平面垂直的定义可知：若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直. 故答案为：任意一条. 15．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 【答案】6 【分析】根据题意结合线面垂直的性质分析求解. 【详解】∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF//DE， 又∵，则四边形AFED为平行四边形， ∴. 故答案为：6. 16．在长方体中，棱长，，，则到平面的距离为_____． 【答案】10 【分析】由得平面，则到平面的距离即为点到平面的距离，依题意知平面，所以即为所求. 【详解】如图， ∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离即为点到平面的距离， 依题意知平面，所以即为点到平面的距离， ∵，∴到平面的距离为10． 故答案为：10． 17．如图，在长方体中，，，则直线到平面的距离为______. 【答案】 【分析】先证明平面，然后直线到平面的距离与到平面的距离相等可求. 【详解】连接，因为为长方体， 所以与平行且相等，所以为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 即直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为为长方体，所以平面， 所以为到平面的距离， 因为， 所以直线到平面的距离为； 故答案为：. 18．如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_______． 【答案】 【分析】根据直三棱柱的几何特征结合线面垂直的判定定理证明平面，得出为直线与平面所成的角，再根据条件得出为等腰直角三角形即可得出线与平面所成的角的度数. 【详解】直三棱柱中，平面，平面 ，又， ，， 平面，平面， 平面， 则为直线与平面所成的角， 又，又平面，平面， 则，所以为等腰直角三角形. 则. 故答案为：. 三、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 19．在正四棱锥中， (1)求与平面所成的角； (2)求正四棱锥的体积. 【答案】(1)30° (2) 【分析】（1）由正四棱锥可知底面对角线焦点与顶点连线垂直底面，求出线面角即可. （2）由棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接AC，BD交于点，连接PO. 因为，底面ABCD是正方形，所以， 且平面ABCD，则就是PB与平面ABCD所成的角. ，， 又， 所以，则. （2）正四棱锥的底面面积，高， 根据体积公式， 可得体积. 20．如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，为中点，平面．    (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)若的中点为，与平面所成角为，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面，可得是四棱锥的高，根据已知求出的长度，再根据四棱锥体积公式计算即可； （2）先根据已知条件求出和的长度，再在中用余弦定理计算求解即可. 【详解】（1）因为平面，所以的长就是四棱锥的高， 因为为等边三角形，，为中点，则，则， 因为正方形的边长为4，则正方形的面积为， 所以四棱锥的体积为. （2）连接，    因为平面，所以是在平面内的射影， 则就是直线与平面所成角为°， 因为是的中点，所以在等腰中，， 在中，，同理可求得， 因为平面，所以， 在中，， 在正方形中，所以， 所以直线与所成的角就是异面直线与所成角， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值是． 21．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析. 【详解】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 四、证明题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 22．如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，.求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】根据直线与平面垂直的判定定理来证明即可. 【详解】四边形是边长为4的正方形， 且. 在中，有， 为直角三角形，即， 又，且，同在平面中， 根据直线与平面垂直的判定定理， 平面. 23．在正方体中，E 为上不同于 、 的任一点.求证：平面    【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理证明即可. 【详解】因为在正方体中，, 所以是平行四边形，即， 又因为不属于平面，属于平面， 所以平面. 五、综合题（本题10分） 24．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由底面，可得，根据线面垂直的定义结合已知条件即可求解. （2）取F为直线的中点，连接，根据线面角的定义可知为直线与平面所成的角，在直角三角形中，根据已知条件即可求解. 【详解】（1）因为四边形是边长为2的菱形，所以， 又因为底面，且底面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）如图，取F为直线的中点，连接， 因为为的中点， 所以为三角形的中位线， 所以. 又因为底面， 所以底面. 又底面， 所以， 所以为直线与平面所成的角. 因为四边形是边长为2的菱形， 所以O为AC的中点，F为直线的中点， 所以为三角形的中位线，所以， 所以在直角三角形中，， 又，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》 第45卷 直线与平面的位置关系（2） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．不能确定 2．直线平面，直线，则l与m不可能（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 3．已知，，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能 4．如图，正三棱柱各棱长都是2，其侧棱与底面垂直，点分别是的中点，则与侧棱所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 5．已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 6．已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．下列命题中正确的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C．若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D．若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 8．命题：直线a与平面α内无数条直线垂直，命题：直线a与平面α垂直，则p是q的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．如图所示，正方体的体积为8，为的中点，则与平面所成角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 10．已知､是两个平面，､是两条直线，.下列四个命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则， C．若，且，则 D．若与和所成的角相等，则 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．已知直线，和平面，若，，则与的位置关系是_________. 12．已知直线，平面，直线c与异面，则c与b的位置关系是__________． 13．下列推理正确的序号是_______． ① ② ③ ④ ⑤ 14．一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的__________直线垂直． 15．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 16．在长方体中，棱长，，，则到平面的距离为_____． 17．如图，在长方体中，，，则直线到平面的距离为______. 18．如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_______． 三、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 19．在正四棱锥中， (1)求与平面所成的角； (2)求正四棱锥的体积. 20．如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，为中点，平面．    (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)若的中点为，与平面所成角为，求异面直线与所成角的余弦值． 21．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 四、证明题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 22．如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，.求证：平面.    23．在正方体中，E 为上不同于 、 的任一点.求证：平面    五、综合题（本题10分） 24．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 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