专题40 加法原理与乘法原理（练习）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦加法与乘法原理，以基础原理→综合应用→情境化迁移为逻辑主线，覆盖多领域计数场景，结合真题实现从知识梳理到能力突破，培养数学眼光与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础原理|12题|单一原理应用（选人、取物等）|概念生成：加法分类、乘法分步| |综合应用|9题|原理交叉（涂色、路线设计）|原理推导：分步分类结合| |情境化应用|12题|生活/代数/几何/染色计数|应用拓展：多领域迁移| |真题溯源|3题|近年浙江单招真题|考向对接：高频考点强化|

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题40 加法原理与乘法原理 【考点1 加法原理】 1. 班级里有15位男同学，20位女同学．现派一位同学参加座谈会，有（   ）种派法． A．35 B．300 C．45 D．150 2. 现有4本不同的科幻书和5本不同的杂志，李同学要从中选一本，那么不同的选法有（    ） A．4种 B．9种 C．20种 D．5种 3. 已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为_______． 4. 在所有的两位数中，个位数大于十位数的两位数共有________个. 5. 从个红球，个黑球，个白球中任意取个球，则有___种不同的取法． 【考点2 乘法原理】 6.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，若从两个袋子里各取一个球，则不同的取法有（   ） A．8种 B．种 C．6种 D．种 7.某节目组要从5名歌唱演员，3名舞蹈演员和6名相声演员中各选取1人参加综艺活动，则不同的选取方法的种数为（   ） A．14 B．90 C．80 D．33 8.若五名学生从两个不同的楼梯上楼，则不同的上楼方法有________种．（    ） A．10 B．20 C．25 D．32 9.由数字7，8，9组成的三位数个数为（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 10.把3支笔放入4个笔筒，一共有__________种放法. 11. 如果各数位上的数字不能重复，那么由数字0，1，2，3，4，5可以组成________个三位数. 12. 如图所示，以沪D·Z打头后面加四个阿拉伯数字是上海新能源车牌专段号码之一，车牌号码中的阿拉伯数字是0到9这十个自然数中的任意一个，则以沪D·Z打头的新能源车牌号码最多可能___个．（结果用数值表示） 【考点3 加法与乘法原理综合应用】 13.用4种不同颜色给下图所示的圆环涂色，要求相邻的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（    ）种不同的涂色方案． A．27 B．36 C．48 D．64 14.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有（　　） A．7种 B．14种 C．21种 D．49种 15.现有天平及重量为1，2，4的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全部放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（    ）种. A．15 B．13 C．11 D．10 16.从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有（    ） A．12种 B．19种 C．32种 D．60种 17.一学习小组有4名男生，3名女生，任选1名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各1名当组长，共有________种不同选法． 18.有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有____________种． 19. 用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有__________种。 20. 书架的第1层放有2本不同的数学书，第2层放有3本不同的计算机书，第3层放有4本不同的语文书. （1）从书架上任取1本书，不同的取法种数为_________； （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，不同的取法种数为_________. 21. 现有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不同学科的书，求共有多少种不同的取法? 22. A，B，C，D四个城市，城市之间由若干条公路相连（如图，每一条线段表示一条公路）.那么从A到C的不同路径共有多少条（每条路径中，任何一个城市至多通过一次）?    【考点1实际生活中的计数问题】 23.已知从A地到B地的道路有2条，从B地到C地的道路有4条，则从A地经B地后，再到C地的不同路线有（   ） A．2条 B．6条 C．8条 D．16条 24.现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（ ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 25.6个人分别乘坐两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为_________． 【考点2 代数中的计数问题】 26.设集合，A与B是U的不同子集，若，则称为一个“理想匹配”，规定与是两个不同的“理想匹配”，那么符合条件的“理想匹配”的个数是（   ） A．8 B．9 C． D． 27.已知集合，表示平面直角坐标系上的点，是坐标原点，则使直线的倾斜角为锐角的点共有（   ） A．4个 B．8个 C．12个 D．13个 【考点3 数字中的计数问题】 28.用0，1，2，3，4这5个数字能组成（    ）个无重复数字的三位数 A．120 B．60 C．48 D．36 29.由，，，，组成无重复的三位数，奇数共有________个.（用数字作答） 30.我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”（如1203、1005均是四位合六数），则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有______个． 【考点4 几何计数问题】 31.记为点到平面α的距离，给定四面体，则满足（i=2，3，4）的平面的个数为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 32.正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 【考点5 染色问题】 33.将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 34.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 35.给图中A，B，C，D，E五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案． 36.某工艺品如图所示分成五个区域.现对此工艺品进行着色，要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种（用数学作答）. 【真题溯源】 1.（2025年浙江，9）如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 2. （2024年浙江，7）现有4名队员和1名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 3.（2023年浙江，15）身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题40 加法原理与乘法原理 【考点1 加法原理】 1. 班级里有15位男同学，20位女同学．现派一位同学参加座谈会，有（   ）种派法． A．35 B．300 C．45 D．150 【答案】A 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类加法计数原理计算即可． 【详解】班级里有15位男同学，20位女同学．现派一位同学参加座谈会，有种派法． 故选：A． 2. 现有4本不同的科幻书和5本不同的杂志，李同学要从中选一本，那么不同的选法有（    ） A．4种 B．9种 C．20种 D．5种 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类加法原理直接求解即可. 【详解】因为有4本不同的科幻书和5本不同的杂志共9本书， 所以李同学从中选一本共有种不同的选法. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为_______． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、函数关系的判断 【分析】根据已知等式，结合函数的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以，此时是一个函数； 因为，所以的值为其中一个，这样的函数共有个； 因为，所以的值为其中一个，这样的函数共有， 所以符合条件的函数共有个， 故答案为： 4. 在所有的两位数中，个位数大于十位数的两位数共有________个. 【答案】36 【知识点】分类加法计数原理、代数中的计数问题 【分析】按十位数字分类讨论，结合个位数大于十位数的条件计算个数. 【详解】根据题意个位数上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9共8种情况， 在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个， 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有（个）． 故答案为：36. 5. 从个红球，个黑球，个白球中任意取个球，则有___种不同的取法． 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的计数问题 【分析】根据题意，按不同颜色球的数目列举所有的情况，即可得答案． 【详解】根据题意，从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，有以下情况： 1、2个红球，3个黑球，1个白球； 2、2个红球，2个黑球，2个白球； 3、2个红球，1个黑球，3个白球； 4、2个红球，4个白球； 5、1个红球，3个黑球，2个白球； 6、1个红球，2个黑球，3个白球； 7、1个红球，1个黑球，4个白球； 8、1个红球，5个白球； 9，3个黑球，3个白球； 10、2个黑球，4个白球； 11、1个黑球，5个白球； 共11种情况； 故答案为：11． 【考点2 乘法原理】 6.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，若从两个袋子里各取一个球，则不同的取法有（   ） A．8种 B．种 C．6种 D．种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数原理直接计算即可. 【详解】从放有6个球的袋子中取一个球有6种取法； 从放有8个球的袋子中取一个球有8种取法； 根据分步计数原理可知从以上两袋子里各取一个球．不同取法的种数为种. 故选：B. 7.某节目组要从5名歌唱演员，3名舞蹈演员和6名相声演员中各选取1人参加综艺活动，则不同的选取方法的种数为（   ） A．14 B．90 C．80 D．33 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据分步计数原理，共有（种）不同的选取方法． 故选：B． 8.若五名学生从两个不同的楼梯上楼，则不同的上楼方法有________种．（    ） A．10 B．20 C．25 D．32 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意：五名学生从两个不同的楼梯上楼， 则每名学生都有2种上楼方式， 所以5名学生有（种）上楼方式. 故选：D． 9.由数字7，8，9组成的三位数个数为（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理，即可解得. 【详解】由数字7，8，9组成的三位数个位有3种情况， 十位有3种情况，百位有3种情况， 所以三位数个数为种. 故选：D. 10.把3支笔放入4个笔筒，一共有__________种放法. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意结合分步计数原理即可得解. 【详解】第支笔有种放法，第支笔有种放法，第支笔有种放法， 完成这件事一共有种放法， 故答案为：. 11. 如果各数位上的数字不能重复，那么由数字0，1，2，3，4，5可以组成________个三位数. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】第一步确定个位上的数字，第二步确定十位上的数字，第三步确定百位上的数字，再确定每步的方法数，由分步乘法计数原理即可求出. 【详解】根据分步乘法计数原理，得到可以组成无重复数字的三位数的个数是， 由数字0，1，2，3，4，5可以组成个三位数. 故答案为：. 12. 如图所示，以沪D·Z打头后面加四个阿拉伯数字是上海新能源车牌专段号码之一，车牌号码中的阿拉伯数字是0到9这十个自然数中的任意一个，则以沪D·Z打头的新能源车牌号码最多可能___个．（结果用数值表示） 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为以沪D·Z打头后面加四个阿拉伯数字是上海新能源车牌专段号码，车牌号码中的阿拉伯数字是0到9这十个自然数中的任意一个， 所以以沪D·Z打头的新能源车牌号码最多可能有个. 故答案为：. 【考点3 加法与乘法原理综合应用】 13.用4种不同颜色给下图所示的圆环涂色，要求相邻的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（    ）种不同的涂色方案． A．27 B．36 C．48 D．64 【答案】B 【知识点】涂色问题、分类加法计数原理 【分析】根据分类与分步计数原理即可求解. 【详解】第一类，第一个圆环与第三个圆环颜色一样， 则有种. 第二类，第一个圆环与第三个圆环颜色不同， 则有种. 则总共有种不同方案. 故选：B. 14.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有（　　） A．7种 B．14种 C．21种 D．49种 【答案】D 【知识点】实际问题中的计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】由分类计数原理和分步计数原理即可求解. 【详解】学生进门有3＋4＝7（种）选择，同样出门也有7种选择， 由分步计数原理知，进出门的方案有7×7＝49（种）． 故选：D 15.现有天平及重量为1，2，4的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全部放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（    ）种. A．15 B．13 C．11 D．10 【答案】A 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】根据每次放的砝码重量分类讨论，结合两个基本计数原理求解. 【详解】根据每次放的砝码重量分类讨论，结合两个基本计数原理求解，有以下三种情况： ①第一步先放4，则4只能在左边，接下来重量为1，2的砝码顺序随意有2种，左右边随意有种， 则共有种放法； ②第一步先放2，2只能在左边， 若第二步放4，则4只能在左边，第三步砝码1左右边随意放，有种放法， 若第二步放1，则砝码1左右两边随意放，有种放法，第三步砝码4只能在左边，有1种放法， 则共有4种放法； ③第一步先放1，则1只能在左边， 若第二步放4，则4只能在左边，第三步砝码2左右边随意放，共有种； 若第二步放2，2只能在左边，第三步砝码4只能在左边，共有1种； 则共有3种放法， 综上，有种放法． 故选：A． 16.从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有（    ） A．12种 B．19种 C．32种 D．60种 【答案】B 【知识点】实际问题中的计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】由分类和分步计数原理计算即可. 【详解】因为从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，方法数为种， 从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车， 所以从甲地经过丙地到乙地的乘车的方法数为种， 所以从甲地到乙地不同的乘车方法有种. 故选：B. 17.一学习小组有4名男生，3名女生，任选1名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各1名当组长，共有________种不同选法． 【答案】 7 12 【知识点】实际问题中的计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】分别由分类加法计数原理与分步乘法计数原理即可得解. 【详解】任选1名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法． 根据分类加法计数原理，共有4＋3＝7种不同选法． 若选男女生各1名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法． 根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种不同选法． 故答案为：7，12. 18.有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有____________种． 【答案】146 【知识点】实际问题中的计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算即可. 【详解】当取出不同的球为红球和白球时，一共有种； 当取出不同的球为红球和黄球时，一共有种； 当取出不同的球为白球和黄球时，一共有种； 综上：一共有种． 故答案为：146． 19. 用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有__________种。 【答案】8 【知识点】涂色问题、分类加法计数原理 【分析】根据题意，采用分步加法计数原理求出符合条件的即可. 【详解】两种颜色类型的，有种； 类型的，有种（两个面相邻、相对） 类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点） 因此共有8种. 故答案为：8. 20. 书架的第1层放有2本不同的数学书，第2层放有3本不同的计算机书，第3层放有4本不同的语文书. （1）从书架上任取1本书，不同的取法种数为_________； （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，不同的取法种数为_________. 【答案】 9 24 【知识点】实际问题中的计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】（1）利用分类计数原理作答；（2）利用分步计数原理作答. 【详解】在第1层、第2层，第3层三类取书位置中任选一类，都可以完成这件事（从书架上任取1本书），符合分类计数原理. 第1类：从第1层2本不同的数学书中任取1本书，有2种取法； 第2类：从第2层3本不同的计算机书中任取1本书，有3种取法； 第3类：从第3层4本不同的语文书中任取1本书，有4种取法. 根据分类计数原理，不同的取法共有（种）. （2）解决这个问题可以分成3个步骤，第1步从第1层取1本书，第2步从第2层取1本书，第3步从第3层取1本书.符合分步计数原理. 第1步：从第1层2本不同的数学书中取l本书，有2种取法； 第2步：从第2层3本不同的计算机书中取1本书，有3种取法； 第3步：从第3层4本不同的语文书中取1本书，有4种取法. 根据分步计数原理，不同的取法共有（种）. 故答案为：9 ， 24. 21. 现有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不同学科的书，求共有多少种不同的取法? 【答案】 【知识点】实际问题中的计数问题、判断事件计数的原理、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据取的两本书的学科种类进行分类，然后相加即可. 【详解】任取2本不同学科的书： 当取的是一本数学，一本语文，有种不同的取法； 当取的是一本数学，一本英语，有种不同的取法； 当取的是一本语文，一本英语，有种不同的取法； 综上，一共有种不同的取法. 故答案为：. 22. A，B，C，D四个城市，城市之间由若干条公路相连（如图，每一条线段表示一条公路）.那么从A到C的不同路径共有多少条（每条路径中，任何一个城市至多通过一次）?    【答案】13 【知识点】实际问题中的计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】由分类和分步计数原理计算即可. 【详解】解决这个问题可以分成三类： 第1类先由A至D，再由D至C，不同的路径共有（条）； 第2类直接由A至C，有1条； 第3类先由A至B，再由B至C，不同的路径共有（条）， 根据分类计数原理，从A到C的不同路径共有（条）. 【考点1实际生活中的计数问题】 23.已知从A地到B地的道路有2条，从B地到C地的道路有4条，则从A地经B地后，再到C地的不同路线有（   ） A．2条 B．6条 C．8条 D．16条 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】完成“从A地经B地后，再到C地”这件事分为两步，先从A地到B地，再从B地到C地，根据分步计数原理即可求解. 【详解】由分步计数原理（乘法原理）可知（条）． 故选：C． 24.现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（ ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】C 【知识点】分组分配问题、实际问题中的计数问题 【分析】先分类，再分步，利用两个计数原理计数可得结果. 【详解】若核酸检验组分配人，扫码组分配人，先分配甲、乙，有种，再从剩下的人选一人分到核酸检验组，有种，其余人分到扫码组，因此共有种； 若核酸检验组分配人，扫码组分配人，同理可得共有种， 所以甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有种. 故选：C 25.6个人分别乘坐两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为_________． 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理，及组合数的应用，即可求解. 【详解】由题意，假设两辆汽车为甲、乙，可分三种情况： 第一种，甲车坐2人，则乙车坐4人，共有种坐法； 第二种，甲车坐3人，则乙车坐3人，共有种坐法； 第三种，甲车坐4人，则乙车坐2人，共有种坐法； 故不同的乘车方法总数为种. 故答案为：50. 【考点2 代数中的计数问题】 26.设集合，A与B是U的不同子集，若，则称为一个“理想匹配”，规定与是两个不同的“理想匹配”，那么符合条件的“理想匹配”的个数是（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】A 【知识点】代数中的计数问题 【分析】根据理想匹配的概念一一列举，再由分类计数原理计算即可. 【详解】已知集合，且A与B是U的不同子集， 因为， 若，则，，，共个“理想匹配”， 若，则，，共个“理想匹配”， 若，则，，共个“理想匹配”， 若，则，共个“理想匹配”， 所以符合条件的“理想匹配”的个数是个， 故选：A. 27.已知集合，表示平面直角坐标系上的点，是坐标原点，则使直线的倾斜角为锐角的点共有（   ） A．4个 B．8个 C．12个 D．13个 【答案】D 【知识点】代数中的计数问题、直线的倾斜角 【分析】直线的倾斜角为锐角，则，结合集合可得. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角. 所以在第一象限或第三象限，有. 若，，有个. 若，，有个. 所以使直线的倾斜角为锐角的点共有个. 故选：D. 【考点3 数字中的计数问题】 28.用0，1，2，3，4这5个数字能组成（    ）个无重复数字的三位数 A．120 B．60 C．48 D．36 【答案】C 【知识点】数字排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数乘法原理即可求解. 【详解】先确定百位数上的数字，有4种选择， 再确定十位数上的数字，有4种选择， 最后确定个位数上的数字，有3种选择， 所以组成无重复数字三位数的个数共有种. 故选：C. 29.由，，，，组成无重复的三位数，奇数共有________个.（用数字作答） 【答案】36 【知识点】数字排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】根据分步乘法计数原理可得，由，，，，组成无重复的三位数奇数， 第一步，从里选一个数字放到个位上，有3种方法， 第二步，从剩余的4个数字里选一个放到十位上，有4种方法， 第三步，从剩余的3个数字里选一个放到百位上，有3种方法， 故可组成无重复的三位奇数共有个. 故答案为：36. 30.我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”（如1203、1005均是四位合六数），则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有______个． 【答案】21 【知识点】数字排列问题、分类加法计数原理 【分析】首位为1，则后三位数字之和为5，然后分类排列即可求解. 【详解】由题知后三位数字之和为5， 当一个位置为5时有005，050，500，共3个; 当两个位置和为5时有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12个; 当三个位置和为5时有113 ， 131 ， 311 ， 122 ， 212，221，共6个; 所以一共有21个. 故答案为: 21. 【考点4 几何计数问题】 31.记为点到平面α的距离，给定四面体，则满足（i=2，3，4）的平面的个数为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】几何计数问题、分类加法计数原理 【分析】分两种情况：与平面平行、经过△中位线分别求出它们满足要求的个数，加总即可. 【详解】当与平面平行时，如下图存在2种情况. 当经过△中位线时，如下图其中一条中位线有2种情况，故三条中位线，共有6种情况. 综上，共有2+6=8种情况. 故选：C. 32.正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 【答案】12 【知识点】几何计数问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况. 【详解】 从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种. 故答案为：12 【考点5 染色问题】 33.将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据分步计数原理得到结果． 【详解】如图，若先染A有5种色可选，B有4种色可选，C有3种色可选，D有2种色可选， 则不同染色方法有（种）． 故选：D. 34.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ）    A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解. 【详解】将区域标号，如下图所示：    因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法， 若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法； 若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法； 所以共有种不同的涂色方法. 故选：C. 35.给图中A，B，C，D，E五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案． 【答案】72 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分为B，E同色和B，E不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可. 【详解】当B，E同色时，共有种不同的方案， 当B，E不同色时，共有种不同的方案，所以共有72种不同的方案． 故答案为：72. 36.某工艺品如图所示分成五个区域.现对此工艺品进行着色，要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种（用数学作答）. 【答案】420 【知识点】涂色问题、分类加法计数原理 【分析】根据分类计数原理，分D与B同色和D与B不同色两种情况求解即可. 【详解】第一类：先涂A，有5种情况，涂B，有4种情况，涂C，有3种情况，D与B同色， 涂E，有3种情况，共有种. 第二类：先涂A，有5种情况，涂B，有4种情况，涂C，有3种情况， D与B不同色，有2种情况，涂E，有2种情况，共有种. 综上共有420种. 故答案为：420 【真题溯源】 1.（2025年浙江，9）如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先观察这几个几何体有几个三角形面，再根据排列数计算即可. 【详解】一共有5个几何体，其中从左至右第1、3、5个几何体有三角形面， 第一步，这3个有三角形面的几何体排在一起，排列方法有种，将其看作一个元素； 第二步，再与其余2个几何体一起共3个元素进行全排列，有种方法， 所以共有排列方法（种）. 故选：C. 2. （2024年浙江，7）现有4名队员和1名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计算原理和排列的定义，先安排队员再安排教练即可求解. 【详解】由题意， 先安排队员，共有种排法， 因为教练不排两端， 故教练在中间三个位置上选一个有种排法， 所以不同的排法共有种. 故选：B. 3.（2023年浙江，15）身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】通过分步计数与插空法求解. 【详解】首先将两个穿红衣服的人排列，构成三个空， 再把一个穿黄色衣服的人安排在最中间的空中， 把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中， 所以共有种. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $