专题40 加法原理与乘法原理（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题40 加法原理与乘法原理 【复习目标】 1.掌握分类加法计数原理的定义：完成一件事有若干类不同方案，每类方案均可独立完成这件事，总方法数为各类方法数相加，理解“分类、独立、任选其一即可完成”的核心特征； 2.掌握分步乘法计数原理的定义：完成一件事需要分成若干个步骤，所有步骤依次完成才能完成整件事，总方法数为各步方法数相乘，理解“分步、依存、缺一不可”的核心特征； 3.熟记两个原理的核心区别：分类用加、分步用乘；分类是“或”的关系，分步是“且”的关系； 4.熟练完成计数运算，提升多步运算准确率，为概率、组合数计算夯实运算基础； 5.将生活中的计数问题抽象为分类、分步数学模型，用两大原理解决实际问题。 1、 【知识清单】 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有 种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用 计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用 计数原理． 二、【技巧归纳】 1、利用分类加法计数原理时注意根据题目特点选择一个恰当的分类标准，分类时注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类. 2、利用分步乘法计数原理时，注意将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当各步骤都完成了，这件事才能完成. 三、【考点清单】 考点1 加法原理 【典例1】（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模）书架上有6本数学书、5本语文书、4本英语书，从书架上任取一本，则不同的取法共有（    ） A．120种 B．105种 C．30种 D．15种 【即时训练】 1.（2024届浙江省宁波市、嘉兴市职教高考二模试题）现有五种不同的肉类食材，任何两种（含两种）以上的肉类食材混合后的味道都不一样，则混合后可以组成的所有不同的味道种数为（    ） A．10 B．20 C．26 D．31 2. 若从4名男生和3名女生中任选一名担任班长，则不同的选法种数有（   ） A．7种 B．12种 C．16种 D．9种 3. 袋子里装有6个不同的红球，7个不同的白球，8个不同的篮球，现从袋内任取一个球，共有多少种不同取法？ （　　） A．21种 B．50种 C．126种 D．336种 4. 某地区技校学生，有10名男生，5名女生获得一等奖，从中任选一人参加技能报告会演讲，则一共有______种选择． 5. 已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有_______________种. 6. 若在7位男生和3位女生中随机挑选出1人，则所有选法种数是________． 考点2 乘法原理 【典例2】（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）已知从1，2，3，4，5这五个数中选一个作为被乘数，从2024，2025，2026这三个数中选出一个作为乘数，则可以得到不同的积的个数是（   ） A．3 B．8 C．10 D．15 【即时训练】 7.（2025届浙江省温州市中职三模）从A地到C地需要经过B地，已知从A到B有3条直达高铁线路，从B到C有2条直达公交线路和1条直达地铁线路，则从A到C不同的出行方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．9种 D．12种 8.（2024届浙江省嘉兴市中等职业学校高三第一次模拟测试）在第33届巴黎奥运会中，王楚钦和孙颖莎代表国家队拿下了混双冠军，这是中国乒乓球历史上首枚奥运会混双金牌！成绩的取得离不开前期大量的训练，某乒乓球训练小组现有3名男队员和4名女队员，需从中选拔男女各两名队员参加集训队，则不同的选法有（    ） A．7种 B．9种 C．12种 D．18种 9.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）若从0，1，2，3，4，5中选3个数字，则可以组成_____个无重复数字的三位数.（   ） A．120 B．100 C．60 D．20 10.（2025届浙江省丽水、衢州、湖州市中职学校高三质量检测）如图所示的平面图形由一个圆、一个三角形和一个长方形组成，现在要用红、黄、蓝三种颜色给这三个图形分别涂色，每个图形只能涂一种颜色，则不同的涂色方法总数为（   ） A．6 B．8 C．24 D．27 11.（2024届浙江省宁波市高职复习一模试题）杭州亚运会以杭州为主办城市，宁波、温州、湖州、绍兴、金华为5个协办城市，若周末两天各选一个城市进行旅游打卡，则不同的旅游打卡方法总数共有（    ） A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 12. 把4封不同的信投到3个不同的邮筒里，不同的投法有______种． 13. 某区有5所普通高中，4所职业高中，现从普通高中和职业高中两类学校中各选一所学校进行防范电信诈骗知识宣传，共有______种不同的选法. 14. 已知从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地出发经过乙地到达丙地共有________种走法． 15. 在数字、、、、中抽取个组成不同的四位数的个数为______. 16. 若椭圆方程为，，，则可构成________个不同的椭圆. 考点3 分类与分步原理综合应用 【典例3】（2022届浙江省嘉兴市高三高职考第三次模拟试题）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬季残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装同一吉祥物，则不同的分配方案种数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【即时训练】 17. （2023届年浙江省普通高职单独考试温州市三模试卷）某座山南面有5条路通往山顶，北面有3条路通往山顶，某人从一面上山再由另一面下山，则不同的走法有（    ） A．8种 B．15种 C．30种 D．56种 18. （2024届浙江省湖州、衢州、丽水市中职学校高三二模）近年来，中国高铁和飞机技术发展迅速，高铁运营里程、运行速度、建设速度均居世界第一，国产大飞机C919已于2023年正式投入商业运营，从A城到B城的高铁每天有15个车次，可选择一等座、二等座和商务座；从A城到B城的飞机每天有4个架次，可选择头等舱、公务舱和经济舱，若从A城坐高铁或飞机到B城，共有购票方法（    ） A．19种 B．49种 C．57种 D．60种 19. 若甲地到乙地有8班次火车，从乙地到丙地有6班次火车，直接从甲地到丙地有12班次火车，则从甲地到丙地乘火车有（　　）种乘坐方法 A．576 B．18 C．26 D．60 20. 书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为___________，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为___________. 21. 古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组． 22. 如图所示,从A→B→C,有___种不同的走法;从A→C,有___种不同的走法. 23. 有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法. 24. 用5种不同的颜色对一个四棱锥各个顶点着色，若由同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有________.（用数字作答） 一、【真题溯源】 1.（2025年浙江，9）如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 2. （2024年浙江，7）现有4名队员和1名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 3.（2023年浙江，15）身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、【考向感知】 1.考纲定位 依据浙江高职单考单招数学考试大纲，加法、乘法计数原理要求为 “理解” 层级，是排列、组合、古典概率的底层工具，属于必考基础考点。 2.命题情境一般固定四类 （1）出行路线类（加法经典）：汽车、火车、飞机、多条线路直达； （2）数字组数类（乘法+混合高频）：无重复数字、奇偶限制、大小限制； （3）人员选取类（混合必考）：选 1 人（加法）、选多人分工（乘法）、男女搭配分组（加乘混合）； （4）物品搭配类：书籍、服装、门、路线、选课组合。 3.命题趋势分析 （1）命题稳定化，不偏不怪 不设置复杂文字陷阱，情境贴近中职生活（选课、通勤、班委选举、数字组数），不出现复杂数学模型，严格贴合教材例题。 （2）侧重区分 “加、乘”逻辑，弱化复杂运算 命题核心不是大数计算，而是逻辑判断：阅卷数据显示80% 失分源于分不清该加还是该乘，而非计算错误。命题人刻意设置对比陷阱：同一题干同时存在分类、分步，考察学生拆解能力。 与排列组合深度绑定，原理是解题工具，单独考纯原理题目逐年减少，更多嵌入排列选择题。 （4） 融入古典概率计算 概率题求基本事件总数，必须用加法、乘法原理计数，属于隐性考查，近年占比提升。 （5）难度稳中略升，混合题型成为主流 早年以单一加法、单一乘法送分题为主；近三年几乎每年1道加乘混合选择题，作为中档区分题，拉开基础薄弱学生分数。 4.总结 在浙江中职单考单招数学中，加法与乘法计数原理是排列组合、概率板块的基石必考考点，命题以选择题为主，难度分层清晰：基础单一原理题保底，加乘混合题为中档区分题，极少单独出解答题。命题核心不考察复杂计算，重在区分学生能否准确判断 “分类相加、分步相乘”，复习时应侧重情境拆解逻辑训练，重点突破数字组数、人员选取两类高频题型。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题40 加法原理与乘法原理 【复习目标】 1.掌握分类加法计数原理的定义：完成一件事有若干类不同方案，每类方案均可独立完成这件事，总方法数为各类方法数相加，理解“分类、独立、任选其一即可完成”的核心特征； 2.掌握分步乘法计数原理的定义：完成一件事需要分成若干个步骤，所有步骤依次完成才能完成整件事，总方法数为各步方法数相乘，理解“分步、依存、缺一不可”的核心特征； 3.熟记两个原理的核心区别：分类用加、分步用乘；分类是“或”的关系，分步是“且”的关系； 4.熟练完成计数运算，提升多步运算准确率，为概率、组合数计算夯实运算基础； 5.将生活中的计数问题抽象为分类、分步数学模型，用两大原理解决实际问题。 1、 【知识清单】 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有 种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用 分类 计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用 分步 计数原理． 二、【技巧归纳】 1、利用分类加法计数原理时注意根据题目特点选择一个恰当的分类标准，分类时注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类. 2、利用分步乘法计数原理时，注意将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当各步骤都完成了，这件事才能完成. 三、【考点清单】 考点1 加法原理 【典例1】（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模）书架上有6本数学书、5本语文书、4本英语书，从书架上任取一本，则不同的取法共有（    ） A．120种 B．105种 C．30种 D．15种 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理 【分析】由分类计数法即可得解. 【详解】书架上有6本数学书、5本语文书、4本英语书， 故共有本书， 从书架上任取一本，则不同的取法共有种. 故选：D. 【即时训练】 1.（2024届浙江省宁波市、嘉兴市职教高考二模试题）现有五种不同的肉类食材，任何两种（含两种）以上的肉类食材混合后的味道都不一样，则混合后可以组成的所有不同的味道种数为（    ） A．10 B．20 C．26 D．31 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理 【分析】由分类加法计数原理，分别求出两种、三种、四种、五种肉类混合的不同味道种数，再相加即可. 【详解】现有五种不同的肉类食材， 将两种不同的肉类食材混合共有不同味道种数， 将三种不同的肉类食材混合共有不同味道种数， 将四种不同的肉类食材混合共有不同味道种数， 将五种不同的肉类食材混合共有不同味道种数， 所以混合后可以组成的所有不同的味道种数为26. 故选：C. 2. 若从4名男生和3名女生中任选一名担任班长，则不同的选法种数有（   ） A．7种 B．12种 C．16种 D．9种 【答案】A 【知识点】分类加法计数原理 【分析】运用分类加法计数原理求解. 【详解】从名男生中任选一名担任班长，有种不同的选法， 从名女生中任选一名担任班长，有种不同的选法， 则不同的选法种数共有种， 故选：A. 3. 袋子里装有6个不同的红球，7个不同的白球，8个不同的篮球，现从袋内任取一个球，共有多少种不同取法？ （　　） A．21种 B．50种 C．126种 D．336种 【答案】A 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类计数原理计算即可. 【详解】袋子里装有6个不同的红球，7个不同的白球，8个不同的篮球，共21个球， 从中任取一个球的方法数为21种. 故选:A. 4. 某地区技校学生，有10名男生，5名女生获得一等奖，从中任选一人参加技能报告会演讲，则一共有______种选择． 【答案】15 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类计数原理计算即可. 【详解】因为有10名男生，5名女生获得一等奖， 从中任选一人参加技能报告会演讲，有种选择. 故答案为：15. 5. 已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有_______________种. 【答案】125 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类加法计数原理可得. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故答案为：125 6. 若在7位男生和3位女生中随机挑选出1人，则所有选法种数是________． 【答案】10 【知识点】分类加法计数原理 【分析】依据分类加法计数原理即可求解. 【详解】从7位男生和3位女生中随机挑选出1人， 根据分类加法计数原理有种. 故答案为：10. 考点2 乘法原理 【典例2】（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）已知从1，2，3，4，5这五个数中选一个作为被乘数，从2024，2025，2026这三个数中选出一个作为乘数，则可以得到不同的积的个数是（   ） A．3 B．8 C．10 D．15 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数原理先求出可以组成的乘积算式总数，再判断是否有重复的积。. 【详解】从1，2，3，4，5这五个数中选一个作为被乘数，有5种情况， 从2024，2025，2026这三个数中选出一个作为乘数，有3种情况， 可以得到积的个数是， 经检验，这15个算式的结果各不相同，故不同的积的个数是15. 故选：. 【即时训练】 7.（2025届浙江省温州市中职三模）从A地到C地需要经过B地，已知从A到B有3条直达高铁线路，从B到C有2条直达公交线路和1条直达地铁线路，则从A到C不同的出行方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．9种 D．12种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】从A到B有3条直达高铁线路，即有3种选法， 从B到C有2条直达公交线路和1条直达地铁线路，即有3种选法， 根据分步计数原理，从A到C不同的出行方案共有种. 故选：C. 8.（2024届浙江省嘉兴市中等职业学校高三第一次模拟测试）在第33届巴黎奥运会中，王楚钦和孙颖莎代表国家队拿下了混双冠军，这是中国乒乓球历史上首枚奥运会混双金牌！成绩的取得离不开前期大量的训练，某乒乓球训练小组现有3名男队员和4名女队员，需从中选拔男女各两名队员参加集训队，则不同的选法有（    ） A．7种 B．9种 C．12种 D．18种 【答案】D 【知识点】组合数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理以及组合的定义求解即可. 【详解】从3名男队员中选拔两名队员参加集训队，共种选法. 从4名女队员中选拔两名队员参加集训队，共种选法. 则则不同的选法有种. 故选：D. 9.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）若从0，1，2，3，4，5中选3个数字，则可以组成_____个无重复数字的三位数.（   ） A．120 B．100 C．60 D．20 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】第一步，百位数有5种选法；第二步，十位数有5种选法；第三步，个位数有4种选法. 故共有（个）. 故选：B. 10.（2025届浙江省丽水、衢州、湖州市中职学校高三质量检测）如图所示的平面图形由一个圆、一个三角形和一个长方形组成，现在要用红、黄、蓝三种颜色给这三个图形分别涂色，每个图形只能涂一种颜色，则不同的涂色方法总数为（   ） A．6 B．8 C．24 D．27 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意圆形有三种颜色可选择，三角形有三种颜色可选择，长方形也有三种可选择， 根据分步计数原理，不同的涂色方法总数为种． 故选：D． 11.（2024届浙江省宁波市高职复习一模试题）杭州亚运会以杭州为主办城市，宁波、温州、湖州、绍兴、金华为5个协办城市，若周末两天各选一个城市进行旅游打卡，则不同的旅游打卡方法总数共有（    ） A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数原理可求解. 【详解】由题可知，周末的第一天选一个城市进行旅游打卡，共有6种选法，第二天共有5种选法， 根据分步计数原理，不同的旅游打卡方法总数有：（种）. 故选：D. 12. 把4封不同的信投到3个不同的邮筒里，不同的投法有______种． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理即可求解． 【详解】每封信均有3种投递方式，由分步计数原理可知，不同的投法有种． 故答案为： 13. 某区有5所普通高中，4所职业高中，现从普通高中和职业高中两类学校中各选一所学校进行防范电信诈骗知识宣传，共有______种不同的选法. 【答案】20 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理直接计算即可. 【详解】先从5所普通高中选一所学校共有5种不同的选法， 再从4所职业高中选一所学校共有4种不同的选法， 所以从普通高中和职业高中两类学校中各选一所学校 共有不同的选法. 故答案为：20. 14. 已知从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地出发经过乙地到达丙地共有________种走法． 【答案】12 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】由题意可知，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路， 根据分步乘法原理可知，从甲地经乙地到丙地共有种不同的走法． 故答案为：12. 15. 在数字、、、、中抽取个组成不同的四位数的个数为______. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】在数字、、、、中抽取个组成不同的四位数,那么第一位数有种选择, 第二位数有种选 择,第三位数有种选择,第四位数有种选择, 所以共有个. 故答案为：. 16. 若椭圆方程为，，，则可构成________个不同的椭圆. 【答案】11 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、判断方程是否表示椭圆 【分析】根据分步计数原理以及椭圆的定义进行求解即可． 【详解】由题意，完成这件事需要分两步： 第一步：确定的值，有4种不同的取法； 第二步：确定的值，有3种不同的取法； 共有种不同的方法； 但当时，方程不表示椭圆，所以可构成个不同的椭圆. 故答案为：11. 考点3 分类与分步原理综合应用 【典例3】（2022届浙江省嘉兴市高三高职考第三次模拟试题）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬季残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装同一吉祥物，则不同的分配方案种数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】先安排小明和小李，再安排另外三人. 【详解】解：若小明和小李安装同一个吉祥物，另外三人安装一个吉祥物，则有两种方法. 若安排剩下三人中的一人与小明小李安装同一个吉祥物，剩下两人安装另一个， 则有种. 所有总共有种. 故选：A 【即时训练】 17. （2023届年浙江省普通高职单独考试温州市三模试卷）某座山南面有5条路通往山顶，北面有3条路通往山顶，某人从一面上山再由另一面下山，则不同的走法有（    ） A．8种 B．15种 C．30种 D．56种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、实际问题中的计数问题 【分析】分两类，第一类，从南面上山再由北面下山，第二类，从北面上山再由南面下山，对每一类走法按分步计数原理求解，最后将两类方法相加即可. 【详解】由题可知， 分两类，第一类，从南面上山再由北面下山，共有（种）； 第二类，从北面上山再由南面下山，共有（种）； 所以不同的走法有：（种） 故选：C 18. （2024届浙江省湖州、衢州、丽水市中职学校高三二模）近年来，中国高铁和飞机技术发展迅速，高铁运营里程、运行速度、建设速度均居世界第一，国产大飞机C919已于2023年正式投入商业运营，从A城到B城的高铁每天有15个车次，可选择一等座、二等座和商务座；从A城到B城的飞机每天有4个架次，可选择头等舱、公务舱和经济舱，若从A城坐高铁或飞机到B城，共有购票方法（    ） A．19种 B．49种 C．57种 D．60种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据分步计数原理和分类计数原理即可求解. 【详解】从A城坐高铁到B城， 有15个车次，3种座位可选，共有种购票方法； 从A城坐飞机到B城， 有4个架次，3种舱可选，共有种购票方法， 所以共有种购票方法. 故选：C 19. 若甲地到乙地有8班次火车，从乙地到丙地有6班次火车，直接从甲地到丙地有12班次火车，则从甲地到丙地乘火车有（　　）种乘坐方法 A．576 B．18 C．26 D．60 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题 【分析】由分步计数原理和分类计数原理计算即可. 【详解】因为甲地到乙地有8班次火车， 从乙地到丙地有6班次火车， 所以从甲地经乙地到丙地的方法数， 又因为接从甲地到丙地有12班次火车， 所以， 所以从甲地到丙地乘火车有种. 故选:D. 20. 书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为___________，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为___________. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、实际问题中的计数问题 【分析】分别按分类计数原理和分步计数原理求解. 【详解】第一空， 由分类计数原理可知，从书架上任取1本书，不同的取法种数为： （种）； 第二空， 由分步计数原理可知，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为： （种）； 故答案为：； 21. 古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组． 【答案】60 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题 【分析】首先根据题意分成两类，分别计算各类的结果再相加即可. 【详解】分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果． 第二类：用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配， 则有5×6＝30(组)不同的结果． 共可得到30＋30＝60(组)． 故答案为：60 22. 如图所示,从A→B→C,有___种不同的走法;从A→C,有___种不同的走法. 【答案】 4 6 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】（1）利用分步计算原理可得结果；（2）分成两类，每类利用分步计数原理，最后相加得到结果. 【详解】A→B→C分两步. 第一步:A→B,有2种走法; 第二步:B→C,有2种走法. 所以A→B→C共有2×2=4种走法. A→C分两类. 第一类:A→B→C共有4种走法; 第二类:A→C(不经过B)有2种走法. 所以A→C共有4+2=6种走法. 23. 有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法. 【答案】242 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理求解即可. 【详解】有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书， 取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有（种）不同取法； 取两本书中，一本语文、一本英语，有（种）不同取法； 取两本书中，一本数学、一本英语，有（种）不同取法． 综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有（种）不同取法． 故答案为：242. 24. 用5种不同的颜色对一个四棱锥各个顶点着色，若由同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有________.（用数字作答） 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】利用分步乘法原理和分类加法原理求解即可，即先依次给点P，A，B涂色，再分C与A颜色相同和C与A颜色不相同，给C，D涂色即可. 【详解】设四棱锥为，则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法，当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法， 此时D有3种涂色方法， 当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法， 故此时共有种涂色方法， 故答案为： 一、【真题溯源】 1.（2025年浙江，9）如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先观察这几个几何体有几个三角形面，再根据排列数计算即可. 【详解】一共有5个几何体，其中从左至右第1、3、5个几何体有三角形面， 第一步，这3个有三角形面的几何体排在一起，排列方法有种，将其看作一个元素； 第二步，再与其余2个几何体一起共3个元素进行全排列，有种方法， 所以共有排列方法（种）. 故选：C. 2. （2024年浙江，7）现有4名队员和1名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计算原理和排列的定义，先安排队员再安排教练即可求解. 【详解】由题意， 先安排队员，共有种排法， 因为教练不排两端， 故教练在中间三个位置上选一个有种排法， 所以不同的排法共有种. 故选：B. 3.（2023年浙江，15）身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】通过分步计数与插空法求解. 【详解】首先将两个穿红衣服的人排列，构成三个空， 再把一个穿黄色衣服的人安排在最中间的空中， 把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中， 所以共有种. 故选：C 二、【考向感知】 1.考纲定位 依据浙江高职单考单招数学考试大纲，加法、乘法计数原理要求为 “理解” 层级，是排列、组合、古典概率的底层工具，属于必考基础考点。 2.命题情境一般固定四类 （1）出行路线类（加法经典）：汽车、火车、飞机、多条线路直达； （2）数字组数类（乘法+混合高频）：无重复数字、奇偶限制、大小限制； （3）人员选取类（混合必考）：选 1 人（加法）、选多人分工（乘法）、男女搭配分组（加乘混合）； （4）物品搭配类：书籍、服装、门、路线、选课组合。 3.命题趋势分析 （1）命题稳定化，不偏不怪 不设置复杂文字陷阱，情境贴近中职生活（选课、通勤、班委选举、数字组数），不出现复杂数学模型，严格贴合教材例题。 （2）侧重区分 “加、乘”逻辑，弱化复杂运算 命题核心不是大数计算，而是逻辑判断：阅卷数据显示80% 失分源于分不清该加还是该乘，而非计算错误。命题人刻意设置对比陷阱：同一题干同时存在分类、分步，考察学生拆解能力。 与排列组合深度绑定，原理是解题工具，单独考纯原理题目逐年减少，更多嵌入排列选择题。 （4） 融入古典概率计算 概率题求基本事件总数，必须用加法、乘法原理计数，属于隐性考查，近年占比提升。 （5）难度稳中略升，混合题型成为主流 早年以单一加法、单一乘法送分题为主；近三年几乎每年1道加乘混合选择题，作为中档区分题，拉开基础薄弱学生分数。 4.总结 在浙江中职单考单招数学中，加法与乘法计数原理是排列组合、概率板块的基石必考考点，命题以选择题为主，难度分层清晰：基础单一原理题保底，加乘混合题为中档区分题，极少单独出解答题。命题核心不考察复杂计算，重在区分学生能否准确判断 “分类相加、分步相乘”，复习时应侧重情境拆解逻辑训练，重点突破数字组数、人员选取两类高频题型。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $