专题39 直线与圆锥曲线综合（练习）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为理念，构建“交点判断-弦长计算-中点弦应用-面积综合”的递进式知识逻辑，覆盖选择、填空、解答全题型，融合近年真题实现从基础到能力的系统突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交点问题|7题|选择填空为主，判断交点个数及参数范围|从联立方程判别式切入，夯实曲线与直线位置关系基础| |弦长问题|10题|选择、填空、解答结合，涉及椭圆、双曲线、抛物线|运用韦达定理推导弦长公式，强化代数运算能力| |中点弦问题|3题|选择与解答题，含焦点弦中点距离问题|通过点差法建立中点与斜率关系，深化方程思想| |面积问题|3题|结合准线、渐近线等几何要素|综合弦长与点到直线距离，提升空间形式表征能力| |真题溯源|8题|2021-2026年浙江真题|还原命题情境，培养用数学语言表达几何关系的能力|

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题39 直线与圆锥曲线综合 【考点1 直线与圆锥曲线的交点】 1.直线l：与椭圆C:的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标 【分析】根据题意将两方程联立成方程组，求出判别式的取值范围即可求出交点个数. 【详解】由题意联立方程组消去得， 因为， 所以直线与椭圆有2个交点. 故选：C. 2.经过点，且与抛物线有且只有一个公共点的直线有（        ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【知识点】讨论直线与抛物线的位置关系 【分析】分析点与抛物线位置可知点在抛物线上，再根据直线与抛物线位置关系判断即可. 【详解】代点入抛物线方程可得：成立， 即点为抛物线上一点， 若直线过点且平行轴，则直线与抛物线相交，且只有一个公共点， 若直线与抛物线相切于点，则直线与抛物线只有一个公共点即切点， 即满足题意的直线有两条. 故选：. 3.双曲线直线公共点的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】公共点的个数即两个函数的交点数，联立方程组观察解的个数即可. 【详解】已知双曲线和直线， 则联立方程组， 即由②得代入①中， ，方程无解， 所以双曲线直线公共点的个数为0个. 故选：A. 4. 若若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】利用直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧，由此可求参数范围. 【详解】如图，双曲线焦点在轴，直线垂直于轴； 所以若直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧； 双曲线，，左顶点坐标为，右顶点坐标为； 则或，即； 故选：A.    5.若直线与椭圆有公共点，则实数m的取值范围是_________. 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】根据直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线与椭圆有公共点， 所以联立直线与椭圆的方程有， 消y得，， 因为直线与椭圆有公共点，所以， 即， 整理可得， 解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 6.双曲线与直线始终无交点，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】结合双曲线的几何性质，利用直线与双曲线渐近线的位置关系，即可求得m的取值范围. 【详解】因为，所以可得， 由双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线与直线无交点，    由图可知，，解得， 即. 故答案为：. 7.过点且与抛物线只有一个交点的直线有________条． 【答案】3 【知识点】求抛物线的切线方程 【分析】分直线与抛物线对称轴（x轴）平行和直线与抛物线相切两种情况讨论. 【详解】因为点在抛物线的外部， 所以与抛物线只有一个交点的直线有三条. 过点P与抛物线相切的直线有两条， 过点P与抛物线对称轴（x轴）平行的直线与抛物线也只有一个交点， 故所求直线共有3条． 故答案为：3. 【考点2 直线与圆锥曲线的交点弦长】 8.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆的弦长、焦点弦、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离. 【详解】由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝. 故选：A. 9.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、等轴双曲线、双曲线中的弦长问题 【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解 【详解】由题意可设双曲线方程为，， 由得，则，， 不妨假设，则， 由图象的对称性可知， 可化为， 即，解得， 故双曲线方程为：， 故选：C 10直线与抛物线交于 两点，则 （    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】联立直线与抛物线的方程，由韦达定理可得，又因为抛物线 的焦点在直线上，由抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】联立，消去可得， 设，， 所以， 又因为抛物线 的焦点在直线上， . 故选：B. 11.已知抛物线的准线与椭圆相交的弦长为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】椭圆中的弦长问题、根据抛物线方程求焦点或准线、求椭圆上点的坐标 【解析】根据椭圆的对称性可得，从而求出，再利用抛物线的性质可知. 【详解】抛物线的准线方程为， 设其与椭圆相交于，两点，， 不妨设，根据对称知， 代入椭圆方程解得或（舍去）， ， 故选：C. 12.直双曲线，过左焦点且交双曲线左支的弦AB长为10，双曲线的右焦点为，则的周长为（    ） A．16 B．20 C．36 D．18 【答案】C 【知识点】双曲线的弦长、焦点弦、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线的定义求解的周长即可. 【详解】由双曲线可得，， 过左焦点的直线交于左支的弦A、B两点，右焦点为， 由双曲线定义可知，， 又，所以， 即， 所以的周长为. 故选：C. 13.已知椭圆与直线相交于两点，则__________． 【答案】 【知识点】椭圆中的弦长问题、求直线与椭圆的交点坐标、求平面直角坐标系中两点间的距离 【分析】将直线与椭圆方程联立方程组，求出A，B的坐标，利用两点间距离公式求出距离即可． 【详解】将直线与椭圆方程联立，可得 ，消元并整理得， 解得或， 所以的坐标分别为,, 所以. 故答案为： 14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则___________． 【答案】8 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】根据题意结合焦点弦公式即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为， 设两点的纵坐标分别为， 由题意得， 因此． 故答案为：. 15 已知双曲线的离心率为e，直线与双曲线交于M，N两点，若，则e的值是______． 【答案】 【知识点】双曲线中的弦长问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】联立与，求出，从而得到，列出方程，求出，得到离心率. 【详解】联立与得， 解得， 当时，， 由勾股定理得， 所以，解得， 所以离心率. 故答案为： 16.已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、韦达定理在抛物线中的应用、利用抛物线定义求点的坐标、焦半径公式 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质即可求解. （2）根据倾斜角与斜率的关系，设出直线l的方程，再与抛物线方程联立，根据抛物线的几何性质即可求解. 【详解】（1）因为抛物线方程为， 所以，其准线方程为，焦点. 设，， 由抛物线的定义可知，， 因为， 所以， 将其代入，解得， 所以点A的坐标为或. （2）因为直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为1. 因为直线l经过抛物线的焦点， 所以直线l的方程为. 将其与抛物线方程联立，得， 整理得， 由韦达定理可知，， 由抛物线的定义可知，. 所以线段AB的长是8. 17.已知点A 和B ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与经过点（2，0）且倾斜角为的直线交于D、E两点 （1）求点C的轨迹方程； （2）求线段DE的长 【答案】（1），（2） 【知识点】双曲线的弦长、焦点弦、讨论双曲线与直线的位置关系、利用双曲线定义求方程、双曲线定义的理解 【详解】分析：（1）根据双曲线的定义可得2a=2，，结合a，b，c的关系即可求出（2）先求出直线方程，再根据弦长公式结合韦达定理即可得出结论. 详解：（1）设点C， 则，根据双曲线定义，可知C的轨迹是双曲线 由， 故点C的轨迹方程是 （2）由已知条件得直线方程为由与消y得 ＞0，∴直线与双曲线有两个交点， 设 所以 18.已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，过点且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求，两点间的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、根据离心率求椭圆的标准方程、求平面直角坐标系中两点间的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据离心率公式，焦距，结合的关系即可求解. （2）根据点斜式方程，两点间距离公式，斜率公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，焦距为. 所以，解得， 又因为，所以. 则椭圆的标准方程为：. （2）因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为. 又直线过点，由点斜式方程可得，. 即直线方程为：. 因为直线与椭圆相交于，两点，联立方程. 解得，，不妨令两交点，分别为. 则，所以，两点间的距离为. 【考点3 中点弦问题】 19.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于A，B两点，且弦AB的中点到直线的距离为3，则直线AB的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中点弦问题、韦达定理在抛物线中的应用 【分析】设出斜率得到直线方程，再与抛物线联立方程组，根据韦达定理与中点弦求解即可. 【详解】直线斜率不存在时，则方程为，中点到的距离是，不符题意； 设直线的斜率为k，交抛物线于，两点抛物线焦点， 联立直线与抛物线方程得 消去y得， 弦的中点到直线的距离为3，则中点横坐标， 即，得 故选：B. 20.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中点弦问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、已知两点求斜率 【分析】点差法解决中点弦问题. 【详解】由题意，设椭圆方程为，有，， 设，，的中点为，，． ，． 由，． 两式相减得，即， ，可得：，， 化为：，解得， ，． 故选：A． 21.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求： (1)弦所在直线的斜率； (2)弦所在直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】中点弦问题、线段中点的坐标、直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据点差法求解直线的斜率即可. （2）根据点斜式方程求解并化为一般式即可. 【详解】（1）过椭圆内一点引一条弦， 当弦斜率不存在时，易知弦不被点平分，故斜率存在， 设直线与椭圆的交点为，斜率为， 则，两式相减得：， 即， 弦被平分，∴,， 则有，即， ∴. （2）直线过点，且斜率为， 直线的方程为，即. 【考点4 面积问题】 22.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成三角形的面积等于，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】求直线与双曲线的交点坐标、双曲线中的面积问题、抛物线中的面积问题 【分析】先表示出抛物线准线方程和双曲线渐近线方程，再求出准线与渐近线的交点，最后由三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】已知抛物线的准线方程为， 双曲线中，， 所以渐近线方程为， 联立方程，解得， 所以准线与渐近线的交点为， 则抛物线准线与双曲线两条渐近线所围成三角形的底为， 高为抛物线准线到原点的距离为， 因为三角形的面积等于， 所以，即， 因为，所以， 故选：D.    23.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，若，则双曲线的实轴长为________；的面积为________． 【答案】 【知识点】双曲线中的面积问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线的标准方程即可求出双曲线的实轴长；根据题意可知点在线段的中垂线上，由此可求出点的横坐标，再根据渐近线方程，即可求出点的纵坐标，根据三角形面积公式即可求出结果. 【详解】因为双曲线，所以实轴长为； 由题意可知右焦点为， 又，所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以点的纵坐标为，即的高为， 所以的面积为. 故答案为：；. 24.过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于两点，O为坐标原点，若 ，则的面积为_______． 【答案】 【知识点】利用抛物线定义求点的坐标、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的面积问题 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，求出点A的坐标，继而求出直线的斜率和方程，将直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，求出焦点弦的长度，结合原点到直线的距离，代入即可求出三角形的面积. 【详解】 因为抛物线方程为， 所以焦点，准线方程为， 因为， 所以点A到准线的距离为3，设， 则，所以， 所以，， 所以点， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 所以，即， 所以， 所以焦点弦， 又原点O到直线的距离， 所以的面积为. 故答案为：. 【考点1 弦长问题】 25.已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆中的弦长问题、直线的斜截式方程及辨析 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 26.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】利用抛物线的定义以及已知条件建立关于的方程求解即可. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为， 设，，其中， 则，， 所以， 由的中点到轴的距离是2，可得中点的横坐标为，那么， 因为，即，解得， 故抛物线方程是． 故选：B．    27.已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 【答案】 【知识点】求等差中项、求双曲线的实轴、虚轴、双曲线中的弦长问题 【分析】根据双曲线的定义结合等差数列的性质列式即可求解. 【详解】因为是与的等差中项，所以， 由双曲线定义，， 相加得，所以， 因为虚轴长为4，则解得， 又，，解得， 所以． 故答案为：.    28过抛物线焦点的直线交抛物线于点，，直线与抛物线的准线交于点（在和之间），若，则________. 【答案】 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】根据题意，作出抛物线与直线相交的图象，结合线段间的关系求得，从而得解. 【详解】依题意，设抛物线焦点为，如图， 因为，即， 又在和之间， 所以， 则. 故答案为：. 29.已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】双曲线中的弦长问题、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据实轴长可求a，根据焦点坐标可求c，然后可得方程. （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【详解】（1）因为双曲线的长轴长为2，即，， 又，则， 所以双曲线方程为. （2）由，得， 则， 设，，则，， 所以. 30.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点F的直线交抛物线于两点，过的中点作线段的垂直平分线l，且l经过x轴上的点N． (1)求该抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求的长； (3)若点N的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、韦达定理在抛物线中的应用、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标来确定方程中的参数即可； （2）先根据直线的点斜式方程求出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程，利用弦长公式进行计算； （3）先设出直线的方程，然后求出中点的坐标，再根据求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）对于抛物线，其焦点坐标为， 则，解得， 所以该抛物线的标准方程为； （2）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为直线过点，可得直线的方程为， 设，， 联立直线与抛物线方程， 消y可得，所以， 由抛物线的焦点弦长公式得； （3）当时，直线的方程，满足题意； 因为焦点为， 当时，设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程， 消x可得， 设，， 根据韦达定理可得，， 则， 所以中点的坐标为， 因为，， 所以， ，， 则，即，即，解得， 所以直线的方程为或， 综上，直线的方程为或或. 31.如图所示，已知椭圆的方程为，双曲线的中心在坐标原点，实轴在轴上，且双曲线的左顶点到椭圆的左顶点的距离为，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为，直线经过椭圆的左焦点交双曲线于A，B两点，且直线的倾斜角的余弦值为，求： (1)双曲线的标准方程； (2)弦长. 【答案】(1) (2) 【知识点】双曲线中的弦长问题、求双曲线的顶点坐标、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】（1）先根据椭圆的标准方程求得，再根据条件求得双曲线的顶点坐标，再结合椭圆的离心率与双曲线离心率的比即可求解. （2）先根据椭圆的标准方程求出椭圆的焦点，再结合斜率公式，点斜式方程，得直线的方程，与双曲线的方程联立，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距，离心率分别为：， 双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距，离心率分别为：. ∵椭圆的方程为，∴，，. ∴椭圆的左顶点的坐标为，椭圆的离心率. 又∵双曲线的左顶点到椭圆的左顶点的距离为. ∴双曲线的左顶点坐标为，即. 又∵椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为， ∴，即，∴. ∴在双曲线中，. ∴双曲线的标准方程为. （2）∵直线经过椭圆的左焦点，∴直线经过点. 又∵倾斜角满足，且，∴. ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为. 联立，将①代入②得. 化简得， 则. 由弦长公式得. 【考点2 面积问题】 32.已知抛物线与椭圆有共同的焦点，并且两曲线交于P，Q两点（P在x轴上方），是椭圆的另一个焦点，求； (1)m的值； (2)P点坐标及的面积. 【答案】(1)9 (2)； 【知识点】椭圆中的面积问题、根据抛物线方程求焦点或准线、求共焦点的椭圆方程 【分析】（1）根据抛物线的方程求出其焦点坐标，结合题意即可知道椭圆的焦点坐标，再通过椭圆中的关系式即可求解. （2）联立抛物线与椭圆的方程，可得出两组解，根据点的位置，即可确定点的坐标，再利用焦距与点的纵坐标即可求解出面积. 【详解】（1）∵抛物线方程为：， ∴，∴焦点坐标为， 根据题意椭圆的焦点在轴上，且与抛物线共焦点， ∴，∴， ∴. （2）联立抛物线与椭圆的方程，，消去，得：， 即，，， ∵，∴舍去. 将代入，可得或， 故根据点的位置可知其坐标为：. ∴. 33.已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于P、Q两点，求的面积. 【答案】(1) (2). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的面积问题 【分析】（1）根据椭圆的焦距与离心率求解即可. （2）由点斜式得到直线方程，进而联立方程组求出弦长，再利用点到直线的距离公式进而得到答案. 【详解】（1）依题意，,所以，由，得, 从而， 所求的椭圆标准方程为：. （2）由点斜式可求得PQ所在的直线方程为. 设，，由，得， 所以，， ， 点O到直线的距离， 所以. 34.如图所示，已知双曲线与圆相切于，两点，左焦点为，离心率为，且其中一条渐近线与圆相交于，两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】双曲线中的面积问题、根据离心率求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、由标准方程确定圆心和半径 【分析】（1）根据圆的标准方程求出半径，再由已知条件求出双曲线顶点坐标，根据双曲线离心率求出双曲线方程即可解得. （2）根据双曲线方程写出渐近线方程，再由点到直线的距离公式结合三角形面积公式即可解得. 【详解】（1）由可得，圆的半径为， 因为双曲线与圆相切于，两点， 所以双曲线的顶点分别为，，则， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 则双曲线的标准方程为. （2）由得，渐近线的方程为，即. 则左焦点到渐近线的距离为， 又因为，所以的面积为. 35.倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】抛物线中的面积问题、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可. （2）首先求出直线l，再与抛物线方程联立，再根据点到直线的距离公式以及三角形面积求解即可. 【详解】（1）由定义知，点到焦点的距离等于到准线的距离，且， 又， ， 所以，即， ∴抛物线的标准方程为. （2）由（1）知，，， 点P在抛物线上，设P点坐标. 由题意，直线l的斜率存在且，又直线过抛物线焦点， 所以直线为， 联立，消去y，整理得， 因为直线与抛物线交于点，点，所以， ，, 又点P到直线的距离， 所以 ，即， 可化为或， 解得或或， 当， ，当， ，当， ， 点的坐标为或或.    【真题溯源】 1.（2026年浙江，28）已知抛物线的准线方程为，焦点为.过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、韦达定理在抛物线中的应用、已知两点求斜率、焦半径公式 【分析】（）根据抛物线的准线方程求出值即可得解. （）根据题意结合焦半径公式求出点坐标，利用两点间斜率公式即可得解. （）写出直线的点斜式方程，联立方程组，利用韦达定理求出点坐标，再将代入直线方程，利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积即可得解. 【详解】（1）抛物线的准线为，已知准线为， 故，则抛物线方程为. （2）抛物线焦点， 设，则，. 由焦半径公式：， 代入（取正），故， 直线过和， 则斜率：.    （3）直线斜率为，过点， 所以直线方程：， 联立方程组，得， 由韦达定理：，已知，故， 代入抛物线得，故， 直线与准线交于M：令， 代入直线方程：，故， 因为，，， ， 直线的一般式方程为， 点到直线的距离为， 所以的面积为.    2.（2025年浙江，29）如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线AB的斜率； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的渐近线和焦距即可得到双曲线的标准方程； （2）利用点差法解决中点弦问题，即可得到直线AB的斜率； （3）先根据（2）得到直线AB的方程，联立双曲线和直线AB的方程求出弦长AB，再求出点C到直线AB的距离，进而求出的面积. 【小问1详解】 ∵ ∴， 又∵渐近线方程为， ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 则， 由得，③ ∵是AB的中点， ∴，， ∴③式即， ∴， ∴. 【小问3详解】 由（2）可得直线AB的方程为，即 由消去y，整理得， ∴，， ∴. 又∵点到直线AB：的距离， ∴. 3.（2024年浙江，15） 若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧，由此可求参数范围. 【详解】如图，双曲线焦点在轴，直线垂直于轴； 所以若直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧； 双曲线，，左顶点坐标为，右顶点坐标为； 则或，即； 故选：A. 4.（2024年浙江，20）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，联立直线与抛物线的方程，由弦长公式求解即可. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，且斜率存在， 设直线的方程为， 由，得， 所以， 解得， 所以， 所以. 故选：C. 5.（2024年浙江，33）如图所示，是椭圆的两个焦点，且该椭圆过点. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）过点的直线与垂直，交椭圆于点，求点的坐标； （3）求四边形面积. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件确定的值，即可得焦点坐标； （2）由求得，从而得的方程，与椭圆的方程联立即可求出点的坐标； （3）令直线与轴交于点M，求得，然后由四边形的面积求得结果． 【小问1详解】 由题知为椭圆上顶点，即，又， ∴， ∴焦点坐标为，． 【小问2详解】 ∵，， ∵，，∴，∴， 则的方程为：， 与椭圆方程联立得：， 消去，得：， 设，则由韦达定理得：， 又，∴， 又，即，则， 所以． 【小问3详解】 不妨令直线与轴交于点M， ∵直线的方程：， ∴令得，解得，则， 又，，则，， 则四边形的面积 ． 6.（2023年浙江，34）如图，，分别是椭圆C：的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线与椭圆C的另一个交点，． （1）求椭圆C的离心率； （2）若椭圆焦距为10，求的面积． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由离心率公式,等边三角形,三角函数即可得解. （2）由椭圆的方程,直线斜率与倾斜角的关系,直线的点斜式即可得解. 【小问1详解】 ∵A是椭圆C的顶点,,分别是椭圆C的左、右焦点. ∴. 又. ∴为等边三角形. ∴. . 所以离心率. 【小问2详解】 ∵,则,,. 所以椭圆的方程为. 又直线AB的斜率.且过点. 所以直线l的方程为. 由联立方程. 解得. 所以. 7.（2022年浙江，35）椭圆的焦距为，离心率，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为．求： （1）椭圆的标准方程； （2）的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据焦距，离心率先求，再求椭圆方程. （2）根据点斜式设直线方程，再由弦长公式求解. 【小问1详解】 由已知得， ． ∴所求椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由直线过点，可设直线AB的方程为， 由消去y，并化简整理得 设A，B两点的坐标分别为，则是方程①的两个根， 所以， 又线段AB的中点坐标为， ， ， 解得． 当时，， 当时，． 8．（2021年浙江，34）已知抛物线顶点为原点，准线： （1）求抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线与抛物线相交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的方程为，由准线方程可得，据此可求解； （2）设直线方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理与抛物线的定义，将表示为关于的方程，据此得解. 【小问1详解】 由抛物线的准线：可知，焦点在轴的正半轴上，设其标准方程为， 因，所以. 从而抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的的焦点，根据题意，直线的斜率一定存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则有 ， 如图，分别过向准线作垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得 所以，解得. 所以直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题39 直线与圆锥曲线综合 【考点1 直线与圆锥曲线的交点】 1.直线l：与椭圆C:的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2.经过点，且与抛物线有且只有一个公共点的直线有（        ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3.双曲线直线公共点的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 4. 若若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.若直线与椭圆有公共点，则实数m的取值范围是_________. 6.双曲线与直线始终无交点，则实数m的取值范围是___________． 7.过点且与抛物线只有一个交点的直线有________条． 【考点2 直线与圆锥曲线的交点弦长】 8.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（    ） A． B． C． D． 9.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 10直线与抛物线交于 两点，则 （    ） A．6 B．8 C．10 D．12 11.已知抛物线的准线与椭圆相交的弦长为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12.直双曲线，过左焦点且交双曲线左支的弦AB长为10，双曲线的右焦点为，则的周长为（    ） A．16 B．20 C．36 D．18 13.已知椭圆与直线相交于两点，则__________． 14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为3，则___________． 15 已知双曲线的离心率为e，直线与双曲线交于M，N两点，若，则e的值是______． 16.已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 17.已知点A 和B ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与经过点（2，0）且倾斜角为的直线交于D、E两点 （1）求点C的轨迹方程； （2）求线段DE的长 18.已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，过点且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求，两点间的距离. 【考点3 中点弦问题】 19.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于A，B两点，且弦AB的中点到直线的距离为3，则直线AB的斜率为（   ） A． B． C． D． 20.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求： (1)弦所在直线的斜率； (2)弦所在直线的一般式方程． 【考点4 面积问题】 22.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成三角形的面积等于，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 23.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，若，则双曲线的实轴长为________；的面积为________． 24.过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于两点，O为坐标原点，若 ，则的面积为_______． 【考点1 弦长问题】 25.已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（ ） A． B． C． D． 26.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 27.已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 28过抛物线焦点的直线交抛物线于点，，直线与抛物线的准线交于点（在和之间），若，则________. 29.已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，求. 30.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点F的直线交抛物线于两点，过的中点作线段的垂直平分线l，且l经过x轴上的点N． (1)求该抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求的长； (3)若点N的坐标为，求直线的方程． 31.如图所示，已知椭圆的方程为，双曲线的中心在坐标原点，实轴在轴上，且双曲线的左顶点到椭圆的左顶点的距离为，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为，直线经过椭圆的左焦点交双曲线于A，B两点，且直线的倾斜角的余弦值为，求： (1)双曲线的标准方程； (2)弦长. 【考点2 面积问题】 32.已知抛物线与椭圆有共同的焦点，并且两曲线交于P，Q两点（P在x轴上方），是椭圆的另一个焦点，求； (1)m的值； (2)P点坐标及的面积. 33.已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于P、Q两点，求的面积. 34.如图所示，已知双曲线与圆相切于，两点，左焦点为，离心率为，且其中一条渐近线与圆相交于，两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的面积. 35.倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【真题溯源】 1.（2026年浙江，28）已知抛物线的准线方程为，焦点为.过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 2.（2025年浙江，29）如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线AB的斜率； （3）求的面积. 3.（2024年浙江，15） 若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.（2024年浙江，20）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5.（2024年浙江，33）如图所示，是椭圆的两个焦点，且该椭圆过点. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）过点的直线与垂直，交椭圆于点，求点的坐标； （3）求四边形面积. 6.（2023年浙江，34）如图，，分别是椭圆C：的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线与椭圆C的另一个交点，． （1）求椭圆C的离心率； （2）若椭圆焦距为10，求的面积． 7.（2022年浙江，35）椭圆的焦距为，离心率，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为．求： （1）椭圆的标准方程； （2）的值． 8．（2021年浙江，34）已知抛物线顶点为原点，准线： （1）求抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线与抛物线相交于两点，若，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $