综合测试卷（二）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣教材章节核心考点，采用AB卷分层巩固与综合测试卷实战提升结合，系统整合数列、三角函数、统计概率等知识，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列与数学文化|6题（含古代数学问题）|结合通项公式、求和公式及实际应用|从等差等比概念到前n项和推导，延伸至数学文化情境| |三角函数与解三角形|9题（含图像变换、测量应用）|注重性质判断、图像平移及正弦定理应用|从函数定义到周期、最值推导，关联解三角形实际测量| |统计与概率|6题（含数据波动、薪酬方案）|强调平均数、标准差计算及分布列分析|从数据特征量概念到概率模型构建，应用于决策情境| |排列组合与二项式定理|5题（含种植方案、展开式系数）|突出分步计数原理及二项式系数性质|从计数原理到二项式定理推导，强化运算与逻辑推理|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案. 【详解】. 故选：D． 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过诱导公式化简原式中的三角函数项，再利用两角差的正弦公式计算得到结果. 【详解】. 3．已知数列的前n项和，则（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 【答案】B 【详解】. 4．已知是等差数列，且，，则首项（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合等差数列的通项公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则. 由，得，即. 联立解得，. 5．若成等差数列；成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列定义及等比中项性质即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以， 又由等比中项性质，，所以， 又设公比为，，所以 所以 . 故选：A. 6．在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ） A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 【答案】C 【分析】根据进球个数的平均数判断进攻能力强弱，根据标准差判断进球数波动大小． 【详解】因为甲队进球个数的平均数为2.1，乙队进球个数的平均数为1.4， 所以甲队进攻能力比乙队强， 又因为甲队进球个数的标准差为1.1，乙队进球个数的标准差为1.2， 所以乙队进球数波动较大． 7．以下不能用来刻画一组数据的离散程度的统计量是（    ） A．极差 B．众数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【分析】利用极差，方差，标准差和众数的性质求解即可. 【详解】由题意得极差，方差，标准差描述离散程度，而众数描述集中趋势，故B错误. 故选：B 8．已知，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【详解】对于非负整数，当时， 若，则有或， 已知，显然，因此满足，解得， 此时，符合组合数的定义要求，故． 9．如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】C 【详解】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物， 则不同的种植方案种数为． 10．已知的展开式中的的系数是280，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 11．在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数项为（     ） A．8 B．16 C．64 D．32 【答案】D 【详解】 因为二项式的所有二项式系数的和为，由题得，解得， 的展开式的通项为，， 令，可得常数项为32． 12．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 2 0.3 0.3 A．0.3 B．0.6 C．0.9 D．1 【答案】B 【详解】由，解得， ， . 13．已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 14．已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的最大值、最小正周期、过点，依次求得，从而确定正确答案. 【详解】由于的最大值为，所以. 由于的最小正周期，所以. 所以， 代入点，得， 由于，所以. 所以. 15．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】由，只需把函数的图象向右平移个单位长度. 16．已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解. 【详解】因为，则，, 由半角公式可得. 故选：B 17．已知函数，给出下列两个结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增． 则下列判断正确的是：（   ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】B 【分析】借助降幂公式可得，再结合余弦型函数性质计算即可得. 【详解】， ，故的最小正周期为，即①正确； 当时，， 由在上单调递增， 故在上单调递增，故②正确. 18．在中，” “是” “成立的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】借助正弦定理完成边角互化，分别证明充分性与必要性，判定两个命题的等价关系. 【详解】在中，因，，则, 先证充分性： 等价于，由正弦定理得，化简得. 再证必要性： 由可得,由正弦定理得，即，进而可得. 综上，“” 是“ ”成立的充要条件. 19．孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛． 常德立德中学高一学生为了测量塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则孤峰塔高（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意可得，用表示的代数式，在中，由余弦定理可得的值． 【详解】由题意，米，，， 可得，， 在中，由余弦定理， 即， 整理可得， 解得或（舍去），所以孤峰塔高． 故选：A． 20．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（   ） A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 【答案】D 【分析】由题意确定每天走的路程构成公比为的等比数列，即可求解 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， ∴此人第二天走的路程为（里）． 故选：D 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知为锐角，，则__________. 【答案】 【分析】根据以及即可求解. 【详解】. 故答案为：. 22．设等比数列的前项和为，若公比，，则______． 【答案】 【分析】设等比数列的首项为，利用等比数列的前项和公式代入计算即可． 【详解】设等比数列的首项为，则，则 故答案为： 23．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角B的大小为___________ 【答案】 【分析】利用余弦定理结合已知条件求的余弦值即得结果. 【详解】因为，所以， 又△中，，故， 故答案为：. 24．如果随机变量，且，则__________. 【答案】 【分析】利用可得正态密度曲线关于对称，根据正态分布曲线的对称性可得 ，进而可求得的值. 【详解】因为，所以正态密度曲线关于对称， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查正态分布，解题的关键是掌握正态分布的对称性. 25．一个书架的其中一层摆放了7本书，现要把新拿来的2本不同的数学书和1本化学书放入该层，要求2本数学书要放在一起，则不同的摆放方法有__________种.（用数字作答） 【答案】144 【分析】先把两本数学书看成一个整体插入7本书中有方法，再把两本数学书全排列，最后把化学书插入到9个位置，简单计算即可 【详解】解：先把两本数学书不分开插入到7本书中有方法，两本数学书有种摆放方法，最后把1本化学书插入9个位置有种摆放方法，故共有种摆放方法 故答案为：144. 【点睛】本题考查分步计数原理，两个元素或两个以上的元素要求放在一起时用捆绑法，并注意捆绑的元素要全排列，熟悉常用的一些方法，比如：捆绑法，插空法，隔板法等，属基础题. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理的变形公式即可求得 （2）利用同角关系求正弦，结合正弦定理即可 【详解】（1）已知， 所以根据余弦定理， 所以, C是三角形内角，所以 （2）因为，所以， 又因为，所以， 根据正弦定理， 所以， 所以. 27．已知二项式的展开式中，各项系数之和为243，其中实数a为常数 （1）求a的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（1）（2）和 【分析】（1）令，则有. （2）先计算最大项为第3项和第4项，再得到第3项和第4项. 【详解】解:(1)令，则有. (2)的展开式中各项的二项式系数分别为; 其中均为最大, 故所求项为第3项和第4项. 【点睛】本题考查了二项式展开式，属于常考基础题型. 28．已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值. 【分析】（1）利用公式，进行求解； （2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）由题意可知：，当时，， 当时，， 当时，显然成立，∴数列的通项公式； （2）， 由，则时，取得最大值28， ∴当为4时，取得最大值，最大值28． 【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键. 29．如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于点、两点，且点在直线上，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）列方程组解出点坐标，可得，；利用点在圆上，可得，； （2）由得出的范围，求出，结合的范围求值即可． 【详解】（1）根据题意可得，因为，所以， 所以，. 因为，，所以， 所以，. . （2）因为且，所以，所以. 又，， 所以，所以. 30．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付元，没有奖金； 第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元； 第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍. （1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式； （2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？ 【答案】（1），，；（2）第三种，理由见解析. 【分析】（1）三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，可知数列为常数数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列求和公式可计算出、、关于的表达式； （2）利用（1）中的结论，计算出、、的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）设三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、， 它们的前项和分别为、、， 第一种付酬方式每天所付金额组成数列为常数列，且，所以； 第二种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以； 第三种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知，当时，，， ，则. 因此，该学生在暑假期间共工作天，选第三种付酬方式较好. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的应用，涉及等差数列和等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算（    ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知数列的前n项和，则（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 4．已知是等差数列，且，，则首项（    ） A． B． C． D． 5．若成等差数列；成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 6．在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ） A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 7．以下不能用来刻画一组数据的离散程度的统计量是（    ） A．极差 B．众数 C．方差 D．标准差 8．已知，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 9．如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 10．已知的展开式中的的系数是280，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 11．在的展开式中，所有二项式系数的和为32，则展开式常数项为（     ） A．8 B．16 C．64 D．32 12．已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 2 0.3 0.3 A．0.3 B．0.6 C．0.9 D．1 13．已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 14．已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 15．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 16．已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 17．已知函数，给出下列两个结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增． 则下列判断正确的是：（   ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 18．在中，” “是” “成立的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛． 常德立德中学高一学生为了测量塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则孤峰塔高（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 20．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（   ） A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知为锐角，，则__________. 22．设等比数列的前项和为，若公比，，则______． 23．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角B的大小为___________ 24．如果随机变量，且，则__________. 25．一个书架的其中一层摆放了7本书，现要把新拿来的2本不同的数学书和1本化学书放入该层，要求2本数学书要放在一起，则不同的摆放方法有__________种.（用数字作答） 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求. 27．已知二项式的展开式中，各项系数之和为243，其中实数a为常数 （1）求a的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项． 28．已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 29．如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于点、两点，且点在直线上，. （1）求的值； （2）求的值. 30．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付元，没有奖金； 第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元； 第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍. （1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式； （2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $