专题32 直线与圆的位置关系（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32 直线与圆的位置关系 【复习目标】 1.掌握圆的方程并能进行简单的应用（D）； 【考点1 直线与圆的位置关系】 1.在平面几何中，直线与圆的三种位置关系： 位置关系 图示 公共点个数 几何特征 代数特征(解的个数) 0 d>r 无实数解 1 d＝r 两组相同实数解 2 d<r　 两组不同实数解 2.过点P能作圆的切线： （1）点P在圆C上，过点P只能作一条直线与圆C相切； （2）点P在圆C外，过点P可以作两条直线与圆C相切； （3）点P在圆C内，过点P不存与圆C相切的直线． 3.当直线：Ax+By+C=0与圆C： 相交于P和Q两点时，线段PQ为圆的一条弦．因为圆心 C与弦PQ的中点 R 的连线垂直且平分弦 PQ，故相交弦 ． 【即时训练】 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线与圆的位置关系（　　） A．相离 B．相切 C．过圆心 D．相交但不过圆心 3．已知圆内一点，则过点的最短弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ） A． B． C． D． 5．过原点的直线与圆相切，且切点在第二象限，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．圆上的点到直线的最短距离是（    ） A．1 B． C． D． 7．直线y=0与圆C：x2+y2-2x-4y=0相交于A､B两点，则△ABC的面积是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知直线与圆相切，则（　　） A． B． C． D． 9．和圆相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 10．经过圆上的一点的切线方程是（   ） A． B． C． D． 11．直线与圆相交与A，B丙点，则AB的长等于（    ） A． B． C． D． 12．直线与圆的位置是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 13．直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．以上都不是 14．直线与圆的交点有（   ） A．零个 B．一个 C．两个 D．四个 15．圆心为且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 16．已知点和圆，则过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为（   ） A． B． C． D． 17．已知直线与圆交于A，B两点，且弦长，则（   ） A．7 B．7或 C． D．或3 18．已知圆的一条弦经过点，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 19．已知直线和圆相交于两点，若，则的值为（   ） A． B．5 C．20 D．25 20．圆截直线所得的弦长等于（     ） A．3 B．6 C．4 D．8 21．已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（   ） A． B． C． D． 22．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D．4 23．已知直线与圆相切，则实数（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 24．已知圆：，过点的直线与圆相切，求： (1)圆的圆心坐标和半径； (2)直线的方程. 25．（1）求经过点，且在轴和轴上的截距相等的直线的方程． （2）若直线与圆交于，两点，求弦长 1.（2025·山西·真题T10）直线与圆位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 以上都不是 2.（2025·山西·真题T23）已知圆的方程为，直线方程为且它与轴的负半轴有交点，求为何值时，圆与直线相切. 3.（2024·山西·真题T21）已知圆C：，求过点且与圆C相切的直线方程. 4.（2023·山西·真题T22）已知圆与直线相切，求的值. 5.（2022·山西·真题T21）求与直线垂直，并且与圆相切的直线l方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32 直线与圆的位置关系 【复习目标】 1.掌握圆的方程并能进行简单的应用（D）； 【考点1 直线与圆的位置关系】 1.在平面几何中，直线与圆的三种位置关系： 位置关系 图示 公共点个数 几何特征 代数特征(解的个数) 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r　 两组不同实数解 2.过点P能作圆的切线： （1）点P在圆C上，过点P只能作一条直线与圆C相切； （2）点P在圆C外，过点P可以作两条直线与圆C相切； （3）点P在圆C内，过点P不存与圆C相切的直线． 3.当直线：Ax+By+C=0与圆C： 相交于P和Q两点时，线段PQ为圆的一条弦．因为圆心 C与弦PQ的中点 R 的连线垂直且平分弦 PQ，故相交弦 ． 【即时训练】 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案. 【详解】因为，所以在圆上， 的圆心为， 故， 设圆在点处的切线方程斜率为， 故，解得， 所以圆在点处的切线方程为， 变形得到，即. 故选：A 2．直线与圆的位置关系（　　） A．相离 B．相切 C．过圆心 D．相交但不过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的比较即可求解. 【详解】因为圆的圆心为. 所以圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离 故选：A. 3．已知圆内一点，则过点的最短弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到最短弦，结合斜率公式及点斜式方程即可得解. 【详解】由题意可知，过圆心且过点的弦是过点的最长弦为直径，过点且与这条直径垂直的弦是过点的最短弦， 圆的圆心为，所以所在直线的斜率， 故与垂直的直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即． 故选：. 4．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】圆心为，所以,所以过的切线的斜率为， 设倾斜角为，则， 由于，故， 故选：D 5．过原点的直线与圆相切，且切点在第二象限，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求解斜率，再由切点在第二象限确定斜率为负，进而得到答案. 【详解】由题意，直线的斜率存在，设直线方程为， 因为圆可表示为， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离，解得， 因为切点在第二象限，所以直线斜率为负，所以， 所以直线方程为：. 故选：D. 6．圆上的点到直线的最短距离是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心与半径，求出圆心到直线的距离，即为最短距离. 【详解】由圆可知， 圆心为，， 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 故选：C. 7．直线y=0与圆C：x2+y2-2x-4y=0相交于A､B两点，则△ABC的面积是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由圆的一般方程化为标准方程即得圆心和半径，直线和圆的方程联立可得交点坐标，再利用三角形面积公式即得. 【详解】由x2+y2-2x-4y=0得， ∴，    由得， 所以△ABC的面积为. 故选：C. 8．已知直线与圆相切，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于圆的半径，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得. 故选：. 9．和圆相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的标准方程得到圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，比较其与半径的大小，即可求解. 【详解】因为圆，即圆心为，半径， 选项A中，圆心到直线的距离，直线与圆相交，错误， 选项B中，圆心到直线的距离，直线与圆相交，错误， 选项C中，圆心到直线的距离，直线与圆相交，错误， 选项D中，圆心到直线的距离，直线与圆相切，正确， 故选：D. 10．经过圆上的一点的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据过圆心与切点的直线与切线垂直求斜率，再根据点斜式方程求解. 【详解】经过圆心和切点的直线的斜率，则切线的斜率为， 切线方程为， 化简得：． 故选：A. 11．直线与圆相交与A，B丙点，则AB的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离和圆的半径，再根据弦长公式可求. 【详解】由题可知，圆心为，半径；圆心到直线的距离为， 根据弦长公式得，. 故选：. 12．直线与圆的位置是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，和半径比较，即可判断位置关系. 【详解】因为圆心为，半径 到直线的距离为， 所以直线与圆的位置是相切. 故选：B. 13．直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．以上都不是 【答案】B 【分析】根据题意，结合直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离和半径的大小关系，即可求解. 【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为, 因为圆心到直线的距离为， 又，所以直线与圆相交. 故选：B. 14．直线与圆的交点有（   ） A．零个 B．一个 C．两个 D．四个 【答案】C 【分析】根据题意，先求出圆心坐标和半径，易得圆心在直线上，即可得到直线与圆的位置关系，继而求解． 【详解】因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径， 因为圆心在直线，则直线过圆心与圆相交， 故直线与圆的交点有两个． 故选：C． 15．圆心为且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与直线相切的性质求出圆的半径，再结合圆的标准方程的形式来求解圆的方程. 【详解】圆心为的圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 即， 所以圆的标准方程为， 故选：D. 16．已知点和圆，则过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合直线与圆的位置关系，先求出圆心与点P连线的斜率，继而求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设圆的圆心为O，则， 所以， 由题意，当直线过点P且垂直于直线时，直线被圆截得的弦长最短， 所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：C. 17．已知直线与圆交于A，B两点，且弦长，则（   ） A．7 B．7或 C． D．或3 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心半径，代点到直线距离公式求出圆心到直线距离，并根据弦长公式求出该距离的值，即可解方程求出参数. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为： ， 因为弦长， 所以，即，解得或. 故选：B. 18．已知圆的一条弦经过点，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标及半径，根据垂直关系求出弦长所在直线的斜率，结合点斜式方程即可得解. 【详解】将点代入直线方程中得，在圆内， 圆，圆心坐标为，半径为， 点，，此时弦长所在的直线的斜率为， 所以所求直线方程为， 故选：C. 19．已知直线和圆相交于两点，若，则的值为（   ） A． B．5 C．20 D．25 【答案】B 【分析】根据圆的弦长公式求解即可. 【详解】由圆的方程得圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 因为，半弦长为，因此， 结合，解得. 故选：B. 20．圆截直线所得的弦长等于（     ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先求解出圆的圆心与半径，再求解圆心到直线的距离，结合垂径定理求解即可. 【详解】∵圆， 则圆的圆心为，即，半径， 圆心到直线的距离， ∴弦长为. 故选：D. 21．已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，由垂径定理得到方程即可求解. 【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为, 因为圆心为到直线的距离为， 又，即，解得. 故选：C. 22．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，在得出圆心到直线的距离，最后由弦长公式求值即可 【详解】由圆得， 圆心，半径， 由直线，即 得圆心到直线的距离， 所以弦长为， 故选：B. 23．已知直线与圆相切，则实数（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径这一性质来求解实数 的值. 【详解】已知圆的方程为，即， 由此可知，该圆的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离 因为直线与圆相切，所以，即， 即或，解得或， 故选：C. 24．已知圆：，过点的直线与圆相切，求： (1)圆的圆心坐标和半径； (2)直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解； （2）根据直线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，由斜截式方程即可求解. 【详解】（1）将圆的一般方程化为标准方程得， 所以圆的圆心坐标是，半径为. （2）若过点的直线斜率不存在，即直线方程为， 由圆心到直线的距离为，不等于半径，不符合题意，故舍去； 当直线斜率存在时，设过点的直线斜率为，则直线方程为， 故圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为或. 25．（1）求经过点，且在轴和轴上的截距相等的直线的方程． （2）若直线与圆交于，两点，求弦长 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）由直线在轴和轴上的截距相等可分为两种情况进行讨论，分为截距为和不为两种情况，再将点代入即可求解. （2）利用圆心到直线的距离与半径和弦长的一半可构成直角三角形，再由勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）当直线过原点时，斜率为， 故方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得直线的方程为或. （2）由圆的圆心，半径为， 直线， 圆心到直线的距离为， 即， 故弦长为． 1.（2025·山西·真题T10）直线与圆位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离和半径的大小关系，即可求解. 【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为, 因为圆心到直线的距离为， 又，所以直线与圆相交. 故选：B. 2.（2025·山西·真题T23）已知圆的方程为，直线方程为且它与轴的负半轴有交点，求为何值时，圆与直线相切. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆相切列方程求得，结合直线与轴负半轴有交点得出答案. 【详解】由题得圆心，半径， 直线化为一般式为， 圆心到直线的距离为， 直线与圆相切， ，，解得或， 又直线与轴负半轴有交点，且直线与轴的交点为， ，即， 所以. 3.（2024·山西·真题T21）已知圆C：，求过点且与圆C相切的直线方程. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得到圆心和半径，计算圆心到切点的斜率，即可得到切线的斜率，即可求解. 【详解】由题意知圆C：，点在圆上， 所以圆心，半径， 则， 即过点的切线斜率为, 所以过点且与圆C相切的直线方程为, 即. 4.（2023·山西·真题T22）已知圆与直线相切，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化成标准方程，然后求出圆心、半径，再根据直线与圆相切时，列等式求解即可. 【详解】圆转化为标准方程， 圆心，半径， 直线与圆相切，， ，解得. 5.（2022·山西·真题T21）求与直线垂直，并且与圆相切的直线l方程． 【答案】或 【解析】 【分析】根据与直线垂直，设直线方程，再由与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解即可. 【详解】因为与直线垂直， 所以设直线l方程为，即， 因为圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 又因为与圆相切，所以，则，解得或， 所以直线l方程为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $