专题34 双曲线（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题34 双曲线 【复习目标】 1. 理解双曲线的定义和标准方程（C）； 2. 了解双曲线的性质和图像（D）。 【考点1 双曲线】 1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于)的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距． 2.双曲线的标准方程 焦点在轴上：（）；焦点在轴上：（） 3.双曲线性质 标准方程 （） （） 图象 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 轴长 实轴：2a,虚轴：2b 渐近线 间的关系 离心率 ， 【即时训练】 1．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程可求出a，b的值，进而求解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，， 所以渐近线方程是． 故选：A 2．设，为定点，，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义即可得解. 【详解】因为， 所以由椭圆的定义可知，动点的轨迹是椭圆. 故选：A. 3．下列方程表示椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程进行分析即可. 【详解】为双曲线标准方程不是椭圆，故A错误， 为椭圆方程，故B正确， 为抛物线方程，故C错误， 为圆的一般方程，故D错误， 故选：B. 4．已知双曲线方程为，则（    ） A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为 【答案】B 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，得出的值即可解答. 【详解】双曲线方程化为标准方程为， 可得，所以，， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4. 故选：B. 5．已知，，动点P满足，则P点的轨迹是（   ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】因为，，所以. 因为动点P满足，所以满足条件的点P的轨迹应为一条射线. 故选：D. 6．已知双曲线的，，则该双曲线的标准方程为（    ） A．， B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线基本量的平方关系算出，再根据焦点位置写出标准方程. 【详解】已知双曲线的，， 所以. 当双曲线焦点在轴上时，双曲线的标准方程为， 当双曲线焦点在轴上时，双曲线的标准方程为. 故选：C. 7．双曲线的焦点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程及即可求解. 【详解】由双曲线的标准方程易知的焦点在轴上且，， 根据得， 所以双曲线的焦点坐标为，. 故选：A. 8．双曲线的焦距是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】由双曲线的标准方程求得，进而得解. 【详解】对于双曲线，有， 所以，则， 故双曲线的焦距为. 故选：C. 9．双曲线的实轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将双曲线方程化为标准方程后，求出，据此可得解. 【详解】双曲线方程可变形为， 所以，，从而实轴长. 故选：C 10．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，再利用离心率公式代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程化成标准方程形式为， 所以，所以离心率， 故选：D. 11．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求渐近线方程. 【详解】由双曲线的方程可知，，， 则双曲线的渐近线方程为． 故选：B. 12．双曲线的焦距等于（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程得出，，再由求出的值即可. 【详解】由双曲线方程，可知， 所以，即， 所以双曲线的焦距为. 故选：C. 13．已知双曲线的两焦点分别为，，P为双曲线上一点，若．则（    ） A．16 B．18 C．4或16 D．2或18 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】由双曲线可知， ， 当点P在双曲线左支上，； 当点P在双曲线右支上，， 故选：D 14．双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用双曲线方程求出，再由离心率公式即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以该双曲线的离心率. 故选：A. 15．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的离心率公式求解. 【详解】由双曲线方程知，，故，， 所以离心率. 故选：C. 16．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出的值，代入离心率公式即可得解. 【详解】双曲线，则，， 所以，解得， 所以离心率， 故选：. 17．双曲线的一条渐近线的斜率是2，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线方程确定焦点的位置得到的取值范围，从而得到其渐近线方程，进而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为双曲线的焦点在x轴上，所以， 则其渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线的斜率是2， 所以，解得. 故选：A. 18．若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】求得椭圆的焦点坐标，进而由双曲线的方程求出的值． 【详解】椭圆的焦点为， 则双曲线的焦点为， 可得且，解得. 故选：B. 19．已知双曲线的焦点坐标为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由焦点坐标求出双曲线的标准方程即可得解. 【详解】因为双曲线的焦点坐标为. 所以. 所以. 故选：. 20．双曲线的焦点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由双曲线的标准方程可知焦点的位置，也可求得的值，再代入求解即可. 【详解】由双曲线可知， 则，所以， 又由方程知双曲线焦点在轴， 所以焦点坐标为：，. 故选：C. 21．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义及两点间距离公式、离心率公式可求. 【详解】因为双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上， 则，， ，， 则，， 则该双曲线的离心率 故选：C. 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，且双曲线的焦距为，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出方程组求出即可得解. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则， 焦距为，即， 联立方程组得，解得， 则该双曲线的方程为， 故选：. 23．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 24．已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线渐近线方程得到与的关系，再将已知点代入双曲线方程求解即可确定双曲线方程. 【详解】已知双曲线的一条渐近线方程为， 则，即，所以双曲线方程为， 将点代入得，， 解得，所以双曲线的方程为， 故选：B. 1.（2025·山西·真题T15） 双曲线的离心率___________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】∵双曲线为， ∴， ∴， ∴离心率为. 故答案：. 2.（2023·山西·真题T08） 双曲线的焦距等于（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程得出，，再由求出的值即可. 【详解】由双曲线方程，可知， 所以，即， 所以双曲线的焦距为. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题34 双曲线 【复习目标】 1. 理解双曲线的定义和标准方程（C）； 2. 了解双曲线的性质和图像（D）。 【考点1 双曲线】 1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于)的点的轨迹称为 ．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距． 2.双曲线的标准方程 焦点在轴上：（）；焦点在轴上：（） 3.双曲线性质 标准方程 （） （） 图象 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 轴长 实轴： ,虚轴： 渐近线 间的关系 离心率 ， 【即时训练】 1．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 2．设，为定点，，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 3．下列方程表示椭圆的是（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线方程为，则（    ） A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为 5．已知，，动点P满足，则P点的轨迹是（   ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 6．已知双曲线的，，则该双曲线的标准方程为（    ） A．， B． C．或 D．或 7．双曲线的焦点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．双曲线的焦距是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 9．双曲线的实轴长是（    ） A．2 B． C．4 D． 10．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 12．双曲线的焦距等于（    ） A． B．4 C． D． 13．已知双曲线的两焦点分别为，，P为双曲线上一点，若．则（    ） A．16 B．18 C．4或16 D．2或18 14．双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．5 15．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．双曲线的一条渐近线的斜率是2，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 18．若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 19．已知双曲线的焦点坐标为，则（　　） A． B． C． D． 20．双曲线的焦点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 21．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，且双曲线的焦距为，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 23．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 24．已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 1.（2025·山西·真题T15） 双曲线的离心率___________. 2.（2023·山西·真题T08） 双曲线的焦距等于（ ） A. B. 4 C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $