专题34 双曲线（练习）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过基础辨析、性质计算到综合应用的分层训练，系统覆盖双曲线定义、方程、离心率等核心考点，培养数学几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3-5题|定义辨析、方程判断|从双曲线定义生成标准方程，明确焦点位置与参数关系| |性质应用|6-15题|离心率、渐近线计算|通过a,b,c关系推导离心率公式，关联渐近线斜率| |综合拓展|16-22题|与椭圆、焦点三角形结合|整合圆锥曲线共性，构建“定义-性质-综合应用”逻辑链|

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题34 双曲线 【考点1 双曲线】 1．如图， 这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶， 忽略花瓶的厚度， 该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C．3 D．4 2．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．下列方程中，表示焦点在x轴上的双曲线方程的是（   ） A． B． C． D． 4．双曲线的焦距为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 5．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则抛物线的标准方程（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的离心率是方程的一个根，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 9．点P是双曲线上一点，设，是双曲线的两个焦点，若，则（   ） A．7 B．27 C．7或27 D．9 10．若双曲线与椭圆共焦点，且双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的方程为（   ）． A． B． C． D． 【考点1 双曲线】 11．双曲线一条渐近线与直线平行，且过点则双曲线的方程（   ） A． B． C． D． 12．已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，点到双曲线的同一条渐近线的距离之和为，则双曲线的方程为（   ）    A． B． C． D． 13．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率（   ） A． B． C． D．2 14．已知双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则该双曲线的离心率等于（   ） A． B．2 C． D． 15．已知椭圆和双曲线焦点相同，则（ ） A．2 B．1 C． D． 16．双曲线的离心率为，则（     ） A． B． C．4 D．2 17．对于双曲线和，给出下列四个结论：①离心率相等；②渐近线相同；③没有公共点；④焦距相等，其中正确的结论序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．②④ 18．双曲线的离心率为（   ） A．4 B．2 C． D． 19．已知焦点在轴上的双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 20．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 22．如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 1.（2025·山西·真题T15） 双曲线的离心率___________. 2.（2023·山西·真题T08） 双曲线的焦距等于（ ） A. B. 4 C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题34 双曲线 【考点1 双曲线】 1．如图， 这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶， 忽略花瓶的厚度， 该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意，该双曲线的焦距为，实轴长， 则， 所以该双曲线的离心率为. 2．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 3．下列方程中，表示焦点在x轴上的双曲线方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线焦点位置与双曲线方程特征的关系即可得解. 【详解】表示焦点在轴上的椭圆，故错误； 表示焦点在轴上的双曲线，故错误； 表示焦点在轴上的椭圆，故错误； 表示焦点在轴上的双曲线，故正确； 故选：. 4．双曲线的焦距为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程确定，的值，利用双曲线参数关系，求出半焦距，再计算焦距即可得到结果. 【详解】由题干给出的双曲线方程可得，， 所以，因此， 可得焦距为. 故选：D. 5．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】双曲线，焦点在轴上， ， 所以渐近线方程为. 故选：C. 6．抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则抛物线的标准方程（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出双曲线的焦点坐标，再根据抛物线焦点与双曲线焦点重合来确定抛物线的标准方程. 【详解】在双曲线中，，， 则半焦距， 因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为. 已知抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线的一个焦点重合， 所以抛物线的焦点可能为或. 当焦点为时，抛物线开口向右，设其标准方程为， 由焦点坐标可得，解得，此时抛物线方程为； 当焦点为时，抛物线开口向左，设其标准方程为， 由焦点坐标可得，解得，此时抛物线方程为， 故抛物线方程为或. 故选：D. 7．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线渐近线方程求出的值，然后根据双曲线的离心率公式求解. 【详解】设为双曲线的半焦距， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 则，所以双曲线的离心率为. 故选：D. 8．已知双曲线的离心率是方程的一个根，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求出方程的根，继而求得双曲线的离心率，结合双曲线的标准方程及之间的关系，即可求得的值，继而求得渐近线方程. 【详解】因为，即，解得，， 所以双曲线的离心率，即， 又，所以， 所以，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 9．点P是双曲线上一点，设，是双曲线的两个焦点，若，则（   ） A．7 B．27 C．7或27 D．9 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程求出的值，结合双曲线的定义及性质即可得解. 【详解】双曲线，则，， 设为半焦距，则，， ，， 解得或， 因为双曲线上的点到焦点的最小距离为，所以不符合题意， 所以， 故选：. 10．若双曲线与椭圆共焦点，且双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆，双曲线的标准方程，双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】由题意得，在椭圆中，，所以， 则椭圆的焦点为和． 因为双曲线的一条渐近线方程是，所以； 又椭圆与双曲线共焦点，则，在双曲线中，， 解得，，则双曲线的方程为． 故选：D． 【考点1 双曲线】 11．双曲线一条渐近线与直线平行，且过点则双曲线的方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线平行确定斜率，再根据双曲线与渐近线的关系与双曲线上的点的坐标求解即可； 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 又因为其中一条渐近线与直线平行，直线可化为. 所以，即. 所以双曲线方程可表示为，即. 因为双曲线经过点，所以，解得. 所以，所以双曲线为. 故选：A 12．已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，点到双曲线的同一条渐近线的距离之和为，则双曲线的方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合双曲线的离心率，及之间的关系，可求得，继而求得渐近线方程，联立方程组表示出两点的坐标，结合点到直线的距离表示出距离之和，继而求得c的值，即可求得的值，继而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 又过右焦点且垂直于x轴的直线方程为， 所以，所以， 所以， 取一条渐近线方程为，即， 所以点到渐近线的距离之和为， 即，所以，解得， 所以，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 13．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程及性质求解即可. 【详解】设双曲线的标准方程为：（或），其中， 所以双曲线的渐近线为（或）， 因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以（或）， 整理得：（或）， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 14．已知双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则该双曲线的离心率等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据和离心率公式求值即可. 【详解】由题意可知， 因为， 则，则双曲线的离心率． 故选：D． 15．已知椭圆和双曲线焦点相同，则（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆和双曲线焦点相同， 所以，解得. 16．双曲线的离心率为，则（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】由双曲线方程求出，再利用离心率为列方程求解即可. 由双曲线方程可得，焦点在轴上， 则， 所以离心率为， 故选：C. 17．对于双曲线和，给出下列四个结论：①离心率相等；②渐近线相同；③没有公共点；④焦距相等，其中正确的结论序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率、渐近线方程以及焦距的相关公式可判断①②④；联立方程组可判断③. 【详解】对于双曲线，其中，， 可得，则， 所以的离心率，渐近线方程为，焦距为. 对于双曲线，其中，， 可得，则， 所以的离心率，渐近线方程为，焦距为. 因此与的离心率不相等；渐近线相同；焦距相等，故①错误，②④正确， 联立方程组，两式相加得，显然不成立， 故方程组无解，则两双曲线没有公共点，③正确， 综上，正确的结论序号是②③④， 故选：C. 18．双曲线的离心率为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将双曲线方程化为标准形式，再根据离心率求解即可. 【详解】双曲线方程化为标准形式，为焦点在轴上的双曲线. 由标准方程得，因此，则，因此. 则离心率为. 故选：C. 19．已知焦点在轴上的双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的标准方程为，将过点且垂直于轴的直线代入双曲线，求得，在中，利用可得，转化为离心率的表达式可求解. 【详解】    设双曲线的标准方程为． 由是等边三角形可知，过点且垂直于轴的直线为， 将之代入，解得，即， 又，，即，整理得， 因为，所以， 左右两边都除以得，整理得， 解得（负值舍去）． 故选：C 20．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求出，再结合勾股定理求出，进而得到离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知，. 又，所以，. 因为，所以， 所以在中，，所以，， 故双曲线C的离心率.    故选：D. 21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆性质得，结合双曲线定义与勾股定理求出，即可写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线左、右焦点分别为，， 即，满足， 以原点为圆心且过点的圆为， 设，则,即， 又，即， 又，且在圆上， 所以,即， 所以，即， 即双曲线渐近线为，整理得.    故选：B. 22．如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，再由向量的线性坐标表示和向量垂直的坐标表示列方程得出 【详解】设， 则， 由，得， 则，即， 因为，且， 所以，整理得， 因为点P在双曲线的右支上，所以，即， 所以，所以， ，由， 得，即，所以离心率， 故选：D. 1.（2025·山西·真题T15） 双曲线的离心率___________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】∵双曲线为， ∴， ∴， ∴离心率为. 故答案：. 2.（2023·山西·真题T08） 双曲线的焦距等于（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程得出，，再由求出的值即可. 【详解】由双曲线方程，可知， 所以，即， 所以双曲线的焦距为. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $