专题36 多面体与旋转体（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题36 多面体与旋转体 【复习目标】 1.了解简单多面体和旋转体的有关概念、结构特征和性质（B）。 【考点1 多面体】 1.由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体． 2.围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点． 3.有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体称为棱柱． 4.两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面．两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点．不在同一个平面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线．两个底面间的距离称为棱柱的高． 5.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱．底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱． 6.正棱柱主要性质：两个底面是平行且全等的正多边形；侧面都是全等的矩形； 侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等． 7.直棱柱的侧面积为 8.棱柱的侧面积与两个底面面积之和称为棱柱的表面积或全面积． 直棱柱的表面积为 直棱柱的体积为 9.多面体都有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点．我们称这样的多面体为棱锥． 10.这个多边形称为棱锥的底面(简称底)，其余各面称为棱锥的侧面；各侧面的公共点称为棱锥的顶点，相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，顶点到底面的距离称为棱锥的高. 11.底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为正棱锥．正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高. 12.正棱锥有如下性质： 各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形；顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形． 13.把棱锥的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上所得的图形称为棱锥的侧面展开图，展开图的面积称为棱锥的侧面积. 14.正棱锥的侧面积为 15.正棱锥的表面积为 其中，c为正棱锥底面的周长，h′是正棱锥的斜高． 16.棱锥的体积等于它的底面积与高的乘积的三分之一，即 【即时训练】 1．下列图形是立体图形的是（    ） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．长方体 【答案】D 【分析】由平面图形和立体图形的定义判断即可. 【详解】三角形、平行四边形、梯形为平面图形，故A、B、C项错误； 长方体为立体图形，故D项正确. 故选：D. 2．下列多面体有10条棱的是（     ） A．三棱柱 B．五棱柱 C．五棱锥 D．长方体 【答案】C 【分析】根据多面体的结构特征即可得解. 【详解】由多面体的结构特征可知， A. 三棱柱有9条棱，故A不正确； B. 五棱柱有15条棱，故B不正确； C. 五棱锥有10条棱，故C正确； D. 四棱柱有12条棱，故D不正确. 故选：C. 3．下列几何体中是棱柱的有（      ） ；是棱锥的有（      ）. A．①②③   ⑥⑦⑧ B．①②⑥⑦  ④⑧ C．④⑤⑥⑦   ②③ D．②⑥⑦     ⑤⑧ 【答案】B 【分析】由棱柱、棱锥的几何特征判断即可. 【详解】由棱柱、棱锥的概念和几何特征可知①②⑥⑦是棱柱,④⑧是棱锥. 故选：B. 4．下列多面体是五面体的是（      ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 【答案】B 【分析】根据多面体的结构特征即可得解. 【详解】对于A，三棱锥由底面一个三角形和三个侧面三角形组合共个面，故A错误； 对于B，三棱柱有上下两个底面，均为三角形，还有三个侧面，均为长方形（或平行四边形），共个面，所以三棱柱是五面体，故B正确； 对于C，四棱柱有上下两个底面，均为四边形，以及四个侧面，共个面，故C错误； 对于D，五棱锥底面是一个五边形，侧面有五个三角形，共个面，故D错误. 故选：B. 5．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（   ）    A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】根据三视图的定义即可得解. 【详解】由俯视图可知，该几何体的底面为六边形， 又因为主视图及左视图为矩形， 所以该几何体为六棱柱， 故选：. 6．下面是棱柱的是（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．四面体 D．椭球 【答案】B 【分析】根据棱锥，棱柱，椭球的概念即可得解． 【详解】三棱锥，四面体均为棱锥，不是棱柱，故AC错误； 四棱柱是底面为四边形的棱柱，故B正确； 椭球是旋转体，不是棱柱，故D错误， 故选：B． 7．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为（     ） A．三棱锥有四个面是三角形 B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱交于一点 【答案】B 【分析】根据棱锥的定义可判断结果． 【详解】选项，三棱锥一个底面是三角形，三个侧面也是三角形，故正确. 选项，棱锥的任意两个面都不平行，故错误. 选项，棱锥的侧面都是三角形，故正确. 选项，棱锥的侧棱交于一点，且该点为顶点，故正确. 故选：B. 8．侧棱长是2的正三棱锥，其底面边长是1，则棱锥的高是（    ）； A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作平面ABC，找出直角三角形的关系由勾股定理即可求解. 【详解】过P作平面ABC，垂足为O， 因为底面是正三角形，所以O为底面三角形的中心， 连接BO并延长，交AC于D，又底面边长为1， 则， 又，则. 故选：D. 9．若三棱锥的三个侧面都是边长为1的等边三角形，则该三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件确定三棱锥的形状，再通过构建直角三角形，利用勾股定理求出三棱锥的高. 【详解】因为三棱锥的三个侧面都是边长为1的等边三角形， 所以底面和侧面的高为， 所以底面中心到边的距离为， 所以该三棱锥的高为. 故选：C. 10．在正四棱锥中，已知，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C．72 D． 【答案】A 【分析】根据题意作出四棱锥，结合棱锥的表面积公式即可得解. 【详解】取的中点，连接，   ， 则， 所以， 所以四棱锥的表面积为. 故选：. 11．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（   ） A． B． C． D．144 【答案】A 【分析】根据正六棱柱的表面积公式求解. 【详解】正六棱柱的高为6，底面边长为4， 正六棱柱的侧面积为， 正六边形可分割为 6 个全等的正三角形，每个正三角形的边长为底面边长 4， 所以底面积为， 即正六棱柱的表面积． 故选：A. 12．一个正方体的棱长为2厘米，其表面积为（   ） A．4平方厘米 B．8平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】D 【分析】利用柱体的表面积公式求解即可． 【详解】因为一个正方体的棱长为2厘米， 所以其表面积为平方厘米． 故选：D 13．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】因为棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个； 所以其表面积为. 故选：A 14．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出正方形中对角线的一半即可知与的大小，由勾股定理得到，再由对角线互相垂直得到，即可证平面，再代棱锥体积公式计算即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，， 在正方形中，有，， 且正方形边长为，则， 则由可知，， 因为平面，， 所以平面， 则. 故选：B.    15．一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由给定的三视图作出原几何体，再求出体积. 【详解】作出给定的三视图对应的几何体，如图：    该几何体是直三棱柱， 底面是等腰，且， 所以该几何体的体积. 故选：D. 【考点2 旋转体】 1.一般地，由一平面图形绕着与它在同一平面内的一条定直线旋转一周生成的几何体称为旋转体，这条定直线称为旋转体的轴． 2.矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体称为圆柱． 3.旋转轴OO1称为圆柱的轴．垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面．平行于轴的边称为圆柱的母线，母线旋转而成的曲面称为圆柱的侧面．两个底面圆心之间的距离称为圆柱的高． 4.圆柱的性质： 两个底面是半径相等且平行的圆面，平行于底面的横截面是与底面相同的圆； 母线平行且相等，都等于圆柱的高； 过轴的截面(轴截面)是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形． 5.圆柱的侧面积为 6.圆柱的表面积为: 7.圆柱的体积: 8.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为圆锥． 9.旋转轴称为圆锥的轴．另一条直角边旋转所形成的圆面称为圆锥的底面．斜边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面．这条斜边称为圆锥的母线．顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高． 10.圆锥的性质： 平行于底面的截面都是圆；高垂直于底面圆，且过圆心；轴截面为等腰三角形，高为圆锥的高，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的直径． 11.沿圆锥体的一条母线将圆锥侧面展开在一个平面上所得的图形称为圆锥的侧面展开图，它是一个扇形．扇面的面积就是圆锥的侧面积．扇面的弧长c是底面圆的周长，扇形的半径是圆锥母线的长． 12.圆锥的侧面积为 圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍． 13.圆锥的表面积为 14.圆锥的体积为. 15.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为球面．球面所围成的几何体称为球体，简称球．半圆的圆心称为球心．连结球心和球面上任意一点的线段称为球的半径． 16.用一个平面去截球，截面是圆面，这个圆面称为球截面．经过球心的平面截球所得的圆称为球的大圆． 不经过球心的平面截球所得的圆称为球的小圆． 17.当球截面不经过球心时，球及球截面具有下列性质： 球截面的圆心与球心的连线垂直于球截面；球心到球截面圆心的连线OO′的长为d，球的半径为R，球截面的半径为r，则有． 18.当球的半径为R时，球的表面积和体积为： 球的表面积： 球的体积： 【即时训练】 16．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 【答案】A 【分析】根据几何体的结构特征即可求解. 【详解】对A，因为圆柱的正视图是圆或矩形，所以不可能是三角形，故A正确. 对B，C，D，因为圆锥，四面体，三棱柱的正视图有可能是三角形，所以BCD错误. 故选：A. 17．以边长为3cm的正方形一边旋转轴旋转一周形成的圆柱的轴截面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱的结构和正方体的边长，得到圆柱轴截面的长和宽，即可求解. 【详解】正方形的一边长为3cm，当这条边作为旋转轴旋转一周时，它会形成一个圆柱， 在这个圆柱中，底面圆的半径就等于正方形的边长，， 圆柱的高为， 所以圆柱的轴截面积. 故选：B. 18．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，则这个几何体可能是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据几何体的结构特征即可求解. 【详解】对于A，用平行于轴的平面去截圆柱，得到的截面是四边形，故A选项正确； 对于B，用平面截圆锥得到的截面是三角形，圆等截面，无论怎么截都不能得到四边形的截面，故B选项错误； 对于C，用平面截球体，得到的截面是圆，故C选项错误，则D选项也错误. 故选：A. 19．下列几何体不是旋转体的是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆柱、棱柱、球、圆台的结构特征，即可判断求解. 【详解】因为圆柱是由矩形围绕一边旋转一周形成的几何体，所以圆柱是旋转体， 故选项A不符合题意； 因为棱柱是多面体，不是旋转体，故选项B符合题意； 因为球是由半圆围绕直径旋转一周形成的几何体，所以球是旋转体， 故选项C不符合题意； 因为圆台是由直角梯形围绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周形成的几何体， 故圆台是旋转体，故选项D不符合题意； 故选：B. 20．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图像，求出圆锥轴截面的顶角，通过勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】 如图所示，作出图像，为圆锥底面圆心，则，，所以圆锥高， 所以在中，，则， 设球的半径为，则，由勾股定理可知，， ∴球的表面积为. 故选：D. 21．下列简单几何体中不同类的是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱 【答案】D 【分析】根据空间几何体的结构特征，即可求解. 【详解】对于A、B、C：圆柱、圆锥和球均为旋转体， 即由平面图形绕某条轴旋转形成，表面包含曲面； 对于D：棱柱是由两个全等的多边形底面和平行的矩形（或平行四边形）侧面组成的多面体， 完全由平面围成，无曲面。 故选：D. 22．下列说法中正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．圆柱的母线和它的轴可以不平行 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 【答案】C 【分析】根据长方体、圆柱的结构特点可判断A、B选项；由正棱锥的性质可判断C选项；由圆锥的定义可判断D选项. 【详解】直四棱柱的底面可能不是矩形（如梯形等），此时，该直四棱柱不是长方体，故A错误； 由圆柱的结构特征可知，母线与它的轴是平行的，故B错误； 由正棱锥的性质可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆锥，故D错误； 故选：C 23．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据圆锥的几何特征可得答案； 【详解】过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是等腰三角形， 故选：B 24．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出球体的半径，利用球体的体积公式可得结果. 【详解】由题意可知，与截面圆所在平面垂直， 设球的半径为，则， 所以，则， 因此，球的体积. 故选：A. 25．若球的大圆面积是2π，则它的表面积是（　　） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】D 【分析】根据题干信息和球的表面积公式求解即可． 【详解】设球的半径为R， ∵球的大圆面积是2π，即大圆的半径为球的半径， ∴球的半径为， ∴球的表面积为. 故选：D． 26．下列命题中不正确的是（   ） A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆锥中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 【答案】B 【分析】由圆柱、圆锥、球的结构特征和截面的性质即可得解. 【详解】选项A，球心到球面上任意一点的距离都等于球的半径，过球心的截面所截得的圆面的半径就是球的半径，正确， 选项B，母线长相等时，由于顶角 可以不同，那么轴截面面积的值不同，错误， 选项C，圆锥的定义是由直角三角形绕一条直角边旋转而得到的几何体，平行于底面的截面与底面是相似图形， 因为底面是圆，所以平行于底面的截面都是圆面，正确. 选项D，圆锥的轴截面是由圆锥的母线和底面直径组成的三角形，圆锥的母线长都相等，底面直径也固定， 所以所有轴截面都是全等的等腰三角形，正确. 故选：B. 27．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，及圆锥的侧面积公式，即可求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为， 所以底面周长为，即展开图扇形的弧长为， 又侧面展开图为一个半圆，所以扇形的圆心角为， 所以圆锥的母线长， 所以该圆锥的侧面积. 故选：C. 28．已知圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的侧面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面积公式求值即可. 【详解】已知圆柱的底面半径为，高为， 则圆柱的侧面积为， 故选：A. 29．圆锥的高缩短为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则圆锥的体积（    ） A．缩小到原来的 B．扩大到原来的2倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设圆锥原来的高为，圆锥原来底面半径为，则圆锥原来的体积为， 则圆锥的高缩短为原来的为，底面半径扩大为原来的2倍为， 所以体积变为，而， 故圆锥的体积扩大到原来的倍. 故选：B. 30．已知球的半径是，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由球的表面积公式即可得解. 【详解】因为球的半径为. 所以球的表面积为. 故选:. 31．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A．球 B．圆锥 C．圆台 D．圆柱 【答案】D 【分析】由几何体的三视图可得该几何体为圆柱，从而即可得答案. 解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是球、圆锥、圆台，故选项A、B、C错误， 因此该几何体为圆柱，即选项D正确， 故选：D. 32．某几何体直观图如图所示，则该几何体的左视图是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三视图中左视图的定义，结合空间想象能力即可得解. 【详解】因为左视图是从几何体的左侧向右看， 所以该几何体的左视图为B选项中的图形. 故选：B. 33．某物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（　　） A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．空心圆柱 【答案】D 【分析】将三视图还原回几何体，即可得出答案． 【详解】由三视图可知，该几何体为柱体， 再由俯视图可知该几何体是空心圆柱． 故选：D． 34．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个 【答案】A 【分析】根据题意结合主视图和左视图的定义即可得解. 【详解】根据主视图，左视图，画出俯视图可能情况. 则组成这个几何体的小正方体的个数是3个或 4个或 5个， 故选：A. 35．一个几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正二角形．则这个几何体的侧面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由三视图可知，该几何体为底面半径为，母线长为的圆锥， 则圆锥的侧面积为， 故选：. 36．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为，则左视图的面积为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出三棱柱的侧棱，画出左视图，其左视图为一个矩形，根据矩形的长和宽，即可得出答案． 【详解】设该三棱柱的侧棱长为a，由题意可得，所以， 该三棱柱的左视图是一个矩形，如图所示： 一边长为4，其相邻边长等于三棱柱底面等边三角形的高， 所以左视图的面积为． 故选：C． 37．以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是（　　） A．正四面体的三视图都是正三角形 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．球的三视图总是三个全等的圆 D．圆锥的左视图是一个圆 【答案】C 【分析】由几何体的三视图概念辨析，即可得出答案． 【详解】A项，正四面体的三视图可能出现等腰（非等边）三角形，故A错误； B项，主视的方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，故B错误； C项，球的三视图总是三个全等的圆，故C正确； D项，圆锥的左视图可能是一个三角形，故D错误． 故选：C． 38．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．52 【答案】A 【分析】由三视图复原的几何体是底面是直角三角形，高为3的直三棱柱，再利用棱柱体积公式即可求得. 【详解】从三视图可判断，这个几何体是一个长、宽、高分别为4、3、4的长方体沿对角面切开后的一半，即该几何体为底面是直角三角形，高为3的直三棱柱， 所以体积. 故选：A 1.（2025·山西·真题T16）已知球的半径为2，则该球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据球体积公式计算即可. 【详解】因为球的半径为， 故球的体积. 故答案为：. 2.（2024·山西·真题T16）已知球半径为3，则球的表面积为______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据球的表面积公式即可得解. 【详解】球半径为3，则球的表面积为， 故答案为：. 3.（2022·山西·真题T17）半径为3的球外接正方体的体积为_________． 【答案】216 【解析】 【分析】根据正方体和球的关系求解正方体的棱长进而求解体积即可. 【详解】因为球外接正方体， 所以正方体的棱长等于球的直径， 所以正方体的体积为. 故答案为:216. 4.（2021·山西·真题T16）表面积为的球的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，即可求出球的体积. 【详解】解：因为球的表面积为，即， 解得， 所以球的体积为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题36 多面体与旋转体 【复习目标】 1.了解简单多面体和旋转体的有关概念、结构特征和性质（B）。 【考点1 多面体】 1.由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为 ． 2.围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点． 3.有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体称为 ． 4.两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面．两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点．不在同一个平面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线．两个底面间的距离称为棱柱的高． 5.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱．底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱． 6.正棱柱主要性质：两个底面是平行且全等的正多边形；侧面都是全等的矩形； 侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等． 7.直棱柱的侧面积为 8.棱柱的侧面积与两个底面面积之和称为棱柱的表面积或全面积． 直棱柱的表面积为 直棱柱的体积为 9.多面体都有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点．我们称这样的多面体为 ． 10.这个多边形称为棱锥的底面(简称底)，其余各面称为棱锥的侧面；各侧面的公共点称为棱锥的顶点，相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，顶点到底面的距离称为棱锥的高. 11.底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为正棱锥．正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高. 12.正棱锥有如下性质： 各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形；顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形． 13.把棱锥的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上所得的图形称为棱锥的侧面展开图，展开图的面积称为棱锥的侧面积. 14.正棱锥的侧面积为 15.正棱锥的表面积为 其中，c为正棱锥底面的周长，h′是正棱锥的斜高． 16.棱锥的体积等于它的底面积与高的乘积的三分之一，即 【即时训练】 1．下列图形是立体图形的是（    ） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．长方体 2．下列多面体有10条棱的是（     ） A．三棱柱 B．五棱柱 C．五棱锥 D．长方体 3．下列几何体中是棱柱的有（      ） ；是棱锥的有（      ）. A．①②③   ⑥⑦⑧ B．①②⑥⑦  ④⑧ C．④⑤⑥⑦   ②③ D．②⑥⑦     ⑤⑧ 4．下列多面体是五面体的是（      ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 5．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（   ）    A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥 6．下面是棱柱的是（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．四面体 D．椭球 7．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为（     ） A．三棱锥有四个面是三角形 B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱交于一点 8．侧棱长是2的正三棱锥，其底面边长是1，则棱锥的高是（    ）； A． B． C． D． 9．若三棱锥的三个侧面都是边长为1的等边三角形，则该三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 10．在正四棱锥中，已知，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C．72 D． 11．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（   ） A． B． C． D．144 12．一个正方体的棱长为2厘米，其表面积为（   ） A．4平方厘米 B．8平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 13．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 14．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 15．一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【考点2 旋转体】 1.一般地，由一平面图形绕着与它在同一平面内的一条定直线旋转一周生成的几何体称为 ，这条定直线称为旋转体的轴． 2.矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体称为 ． 3.旋转轴OO1称为圆柱的轴．垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面．平行于轴的边称为圆柱的母线，母线旋转而成的曲面称为圆柱的侧面．两个底面圆心之间的距离称为圆柱的高． 4.圆柱的性质： 两个底面是半径相等且平行的圆面，平行于底面的横截面是与底面相同的圆； 母线平行且相等，都等于圆柱的高； 过轴的截面(轴截面)是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形． 5.圆柱的侧面积为 6.圆柱的表面积为: 7.圆柱的体积: 8.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为 ． 9.旋转轴称为圆锥的轴．另一条直角边旋转所形成的圆面称为圆锥的底面．斜边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面．这条斜边称为圆锥的母线．顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高． 10.圆锥的性质： 平行于底面的截面都是圆；高垂直于底面圆，且过圆心；轴截面为等腰三角形，高为圆锥的高，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的直径． 11.沿圆锥体的一条母线将圆锥侧面展开在一个平面上所得的图形称为圆锥的侧面展开图，它是一个扇形．扇面的面积就是圆锥的侧面积．扇面的弧长c是底面圆的周长，扇形的半径是圆锥母线的长． 12.圆锥的侧面积为 圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍． 13.圆锥的表面积为 14.圆锥的体积为. 15.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为球面．球面所围成的几何体称为球体，简称球．半圆的圆心称为球心．连结球心和球面上任意一点的线段称为球的半径． 16.用一个平面去截球，截面是圆面，这个圆面称为球截面．经过球心的平面截球所得的圆称为球的大圆． 不经过球心的平面截球所得的圆称为球的小圆． 17.当球截面不经过球心时，球及球截面具有下列性质： 球截面的圆心与球心的连线垂直于球截面；球心到球截面圆心的连线OO′的长为d，球的半径为R，球截面的半径为r，则有 ． 18.当球的半径为R时，球的表面积和体积为： 球的表面积： 球的体积： 19.三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图． 【即时训练】 16．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 17．以边长为3cm的正方形一边旋转轴旋转一周形成的圆柱的轴截面积为（    ） A． B． C． D． 18．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，则这个几何体可能是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．以上都有可能 19．下列几何体不是旋转体的是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台 20．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 21．下列简单几何体中不同类的是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱 22．下列说法中正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．圆柱的母线和它的轴可以不平行 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 23．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 24．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 25．若球的大圆面积是2π，则它的表面积是（　　） A．π B．2π C．4π D．8π 26．下列命题中不正确的是（   ） A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆锥中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 27．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 28．已知圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的侧面积为（    ）. A． B． C． D． 29．圆锥的高缩短为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则圆锥的体积（    ） A．缩小到原来的 B．扩大到原来的2倍 C．不变 D．缩小到原来的 30．已知球的半径是，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 31．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A．球 B．圆锥 C．圆台 D．圆柱 32．某几何体直观图如图所示，则该几何体的左视图是（    ）. A． B． C． D． 33．某物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（　　） A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．空心圆柱 34．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个 35．一个几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正二角形．则这个几何体的侧面积为（   ）．    A． B． C． D． 36．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为，则左视图的面积为（　　） A．8 B．4 C． D． 37．以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是（　　） A．正四面体的三视图都是正三角形 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．球的三视图总是三个全等的圆 D．圆锥的左视图是一个圆 38．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．52 1.（2025·山西·真题T16）已知球的半径为2，则该球的体积为__________. 2.（2024·山西·真题T16）已知球半径为3，则球的表面积为______________ 3.（2022·山西·真题T17）半径为3的球外接正方体的体积为_________． 4.（2021·山西·真题T16）表面积为的球的体积为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $