专题37 空间点、线、面的位置关系（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

没得编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题37 空间点、线、面的位置关系 【复习目标】 1. .理解平面的基本性质（A）； 2. 了解空间两条直线的位置关系、异面直线所成的角（C）； 【考点1 空间点、线、面的位置关系】 1.构成空间的基本要素是点、线、面． 2.平面的表示： ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. 3.直线和平面均可看作由无数个点组成的点集,点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 4.平面的基本性质： 公理1 经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面．这个公理也可以说成“不共线的三点确定一个平面”． 公理2 如果一条直线上有两个点在一个平面内, 那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 推论1 经过一条直线和该直线外的一点有且只有一个平面． 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面． 公理3 如果两个平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条经过该点的公共直线． 5.一般地, 把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线; 相交或平行的两条直线称为共面直线． 6.平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 7.同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为相交直线, 当l与m相交于点A时, 可简记作l∩m=A． 8.异面直线判断定理： 定理 文字语言 符号表示 图形语言 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线l与A B是异面直线 9.与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线有且只有一条． 10.两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分, 称为这两条异面直线的公垂线段, 公垂线段的长度称为两条异面直线的距离． 11.异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 12.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【即时训练】 1．空间可以确定一个平面的条件是（    ） A．两条直线 B．一点和一直线 C．一个三角形 D．三个点 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质即可求解. 【详解】对A，因为两条相交的直线确定一个平面，故A错误. 对B，因为经过直线和直线外一点有且只有一个平面，故B错误. 对C，D，因为过不在一条直线上的三点，有且只有一个 平面， 而一个三角形的三个点不在一条直线上，故C正确，D错误. 故选：C. 2．已知直线，，则，的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据直线和平面的位置关系判断即可. 【详解】若直线，，则，可能平行，可能相交，也可能异面， 故选：D. 3．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 【答案】D 【分析】由线线的位置关系即可求解. 【详解】如果一条直线和两条异面直线中的一条平行， 则它与另一条不可能平行，只可能相交或异面. 故选：D 4．已知，且，那么直线b与平面α的位置关系是（ ） A．必相交 B．必平行 C．相交或平行 D．平行或在平面内 【答案】D 【分析】根据线面的位置关系判断即可. 【详解】因为，且，那么直线b在内或平行. 故选：D. 5．用符号表示“点A在直线l上，l不在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据空间点、线、面基本关系的表示判断即可. 【详解】若“点A在直线l上，l不在平面内”，则符号表示为：“，”. 故选：D． 【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系的符号表示，注意点与线、点与面之间的关系都用“或”表示，线与面之间的关系用“或”表示. 6．如图，用符号语言可以表达为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线面之间的关系，结合符号表示即可求解. 【详解】对A，由图可得，点在直线上，即，故A错误. 对B，由图可得，直线在平面内，即，故B错误. 对C，由图可得，点在直线上且在直线上，即，故C错误. 对D，由图可得，与相交于直线，即；直线在平面内，即； 点在直线上且在直线上，即，故D正确. 故选：D. 7．如图所示，在长方体中，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 【答案】C 【分析】由异面直线的概念即可得解. 【详解】由题意，长方体中， 与既不平行又不相交， 所以与异面. 故选：C. 8．下列说法正确的是（    ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间两平面和有且只有一条公共线 D．过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面 【答案】D 【分析】由平面的基本性质判断即可. 【详解】过空间中两条平行（或相交）的直线有且只有一个平面，A错； 过空间不在同一直线上的三点有且只有一个平面，B错； 若两平面平行时，这两个平面没有公共直线，C错， 过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面，D正确. 故选:D. 9．“点在平面外的直线上”，可用符号表示是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据点，线，面的数学符号表示求解即可. 【详解】因为“点在平面外的直线上”， 所以可知，点在直线上，且直线在平面外， 所以，. 故选：A. 10．用符号表示“点在直线外，在平面内”（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点，直线和平面的表示判断即可. 【详解】点在直线外，则表示为， 点在平面内，则表示为. 故选：A. 11．直线平行于平面，点，则过点且平行于的直线（    ） A．只有一条，且一定在平面内 B．只有一条，但不一定在平面内 C．有无数条，但不都在平面内 D．有无数条，都在平面 【答案】A 【分析】由平行公理及直线与平面平行的定义即可得解. 【详解】假设过点且平行于的直线有和两条. 则，. 由平行公理得. 这与两条直线和相交于点相矛盾． 又∵点. ∴过点且平行于的直线只有一条，且一定在平面内． 故选：. 12．下列说法正确的是（   ） A．不在同一条直线上的三个点确定一个平面 B．若一条直线上有一个点在某一个平面内，则该直线就在这个平面内 C．平面的面积为90平方米 D．平面和平面相交于线段 【答案】A 【分析】利用平面的基本性质判断即可. 【详解】不共线的三点确定一个平面，故A正确； 直线上至少有两个点在该平面内，则该直线就在平面内，故B错误； 平面的无线延伸的面积无法度量不可能为有限值，故C错误； 平面和平面相交形成的是直线，故D错误. 故选：A. 13．在底面为矩形的四棱柱中，平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．异面 【答案】A 【分析】画出四棱柱即可判断平面与平面的位置关系. 【详解】如图所示，在四棱柱中，平面与平面相交. 故选：A. 14．如图所示在正方体中，异面直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在正方体中，可证，则异面直线与所成的角可转化为与所成的角，即为所求，在中可求解. 【详解】 如图，连接， 在正方体中， 因为，，所以. 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即为所求. 因为，，是正方体三个面的对角线，则有， 所以. 故选：B 15．在正方体中，与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，再根据向量的内积为零即可解得. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 设正方体边长为，则， 故， 因为，则， 故与所成的角大小为， 故选：D. 16．已知空间两个角，且角与的两边对应平行且方向相同，且，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由等角定理结合两角方向相同求解即可. 【详解】由等角定理可知，空间两个角的两边对应平行，则角与相等或互补， 又角与方向相同，所以角与相等，且， 则为. 故选：A. 17．若直线不平行于平面，且，则（    ） A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 【答案】B 【分析】根据线面关系进行判断即可解得. 【详解】直线不平行于平面，且，则l与相交， l与内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行，故B正确，ACD错误； 故选：B. 18．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到与平行的直线，即可找到异面直线所成角，结合正方体性质即可求解. 【详解】如图所示，连接： 因为正方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以异面直线与所成的角即角， 设正方体棱长为，则， 所以为等边三角形，角. 即异面直线与所成的角为. 故选：C. 19．如图所示，正方体中，直线与的位置关系是（   ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念即可解答. 【详解】在正方体中， 平面，而平面， 且， 所以直线与的位置关系是异面， 故选：C. 20．如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念求解即可. 【详解】在正方体中，，和相交于点， 因此和不平行； 不在直线所在的平面内，且与平面平行， 因此和没有公共点，不相交； 两条直线既不平行也不相交，因此是异面直线. 故选：C. 21．若，则与的关系是（    ） A． B．与异面 C．与相交 D．与无公共点 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质求解即可. 【详解】由题意知， ． 当 时，共面； 当与 不平行时，异面． 无论哪种情况， 与都没有公共点． 故选：D. 22．在正方体中，两异面直线与所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成角的定义，利用与的平行关系，转化为和之间的夹角，构造等边三角形即可求解. 【详解】如图，在正方体中，连接，， ，且 ，四边形是平行四边形，， 或其补角即为异面直线与所成的角. 设正方体的棱长为，则， 是等边三角形，， 异面直线与所成的角为 故选：B. 23．在正方体中，点分别是的中点，求与所成角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将异面直线转化为相交直线，适用余弦定理即可求解. 【详解】连接， 因为点分别是的中点， 所以在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以与所成的角即为与所成的角， 设正方体的边长为2a， 则， , , 则在中， ， 又因为异面直线所成的角的范围为， 所以与所成角的余弦值为， 即与所成角的余弦值为. 故选：C. 24．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行的传递性，异面直线所成角的知识，解三角形，最后求解所成角大小即可. 【详解】 连接， 在正方体中，分别是的中点， 所以， 所以， 则异面直线与所成角为， 因为，即为等边三角形， 所以. 故选：C. 25．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ）. A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】B 【分析】由题意连接直线，可知对角线与平行，则异面直线与所成角转化为与所成角求解即可. 【详解】连接，， 因为在正方体， 所以， 又因为，，均为正方体的对角线， 所以， 则是等边三角形， 所以. 即异面直线与形成的角度为是. 故选：B. 26．若直线不平行于平面，且不在内，则下列结论成立的是（　　） A．内不存在与平行的直线 B．内的所有直线与异面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 【答案】A 【分析】根据空间中直线与平面之间的位置关系求解即可. 【详解】直线不平行于平面，且不在内，因此直线与平面相交，二者有且只有一个公共交点. 选项B.内所有过这个公共交点的直线，都和相交，不是异面直线，因此B错误. 选项C.如果内存在直线和平行，根据线面平行判定定理，就会推出和题干矛盾，因此C错误，A正确.. 选项D.内不过这个公共交点的直线，和异面，并不相交，因此D错误. 故选：A. 1.（2023·山西·真题T20）如图，在正方体中，求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【解析】 【分析】首先找到异面直线与所成的角，然后构成三角形，在三角形求角即可. 【详解】连接与， ， 为异面直线与的所成角， ， 为等边三角形，即， 异面直线与的所成角为. 2.（2021·山西·真题T09）下列说法不正确的是（ ） A. 两条相交的直线确定一个平面 B. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直 C. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 D. 不在同一直线上的三点确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的相关知识判断对错即可. 【详解】A中，两条相交直线确定一个平面是对，所以正确； B中，垂直于同一直线的两条直线不一定互相垂直，它们可能平行或相交但不垂直，因此这是不正确的；   C中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是正确的； D中，不在同一直线上的三点确定一个平面，这是正确的. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题37 空间点、线、面的位置关系 【复习目标】 1. .理解平面的基本性质（A）； 2. 了解空间两条直线的位置关系、异面直线所成的角（C）； 【考点1 空间点、线、面的位置关系】 1.构成空间的基本要素是点、线、面． 2.平面的表示： ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. 3.直线和平面均可看作由无数个点组成的点集,点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 4.平面的基本性质： 公理1 经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面．这个公理也可以说成“ ”． 公理2 如果一条直线上有两个点在一个平面内, 那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 推论1 经过一条直线和该直线外的一点有且只有一个平面． 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面． 公理3 如果两个平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条经过该点的公共直线． 5.一般地, 把不同在任何一个平面内的两条直线称为 ; 相交或平行的两条直线称为 ． 6.平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 7.同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为相交直线, 当l与m相交于点A时, 可简记作l∩m=A． 8.异面直线判断定理： 定理 文字语言 符号表示 图形语言 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线l与A B是异面直线 9.与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线有且只有一条． 10.两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分, 称为这两条异面直线的公垂线段, 公垂线段的长度称为两条异面直线的距离． 11.异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 12.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【即时训练】 1．空间可以确定一个平面的条件是（    ） A．两条直线 B．一点和一直线 C．一个三角形 D．三个点 2．已知直线，，则，的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 3．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 4．已知，且，那么直线b与平面α的位置关系是（ ） A．必相交 B．必平行 C．相交或平行 D．平行或在平面内 5．用符号表示“点A在直线l上，l不在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，用符号语言可以表达为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，在长方体中，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 8．下列说法正确的是（    ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间两平面和有且只有一条公共线 D．过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面 9．“点在平面外的直线上”，可用符号表示是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．用符号表示“点在直线外，在平面内”（　　） A． B． C． D． 11．直线平行于平面，点，则过点且平行于的直线（    ） A．只有一条，且一定在平面内 B．只有一条，但不一定在平面内 C．有无数条，但不都在平面内 D．有无数条，都在平面 12．下列说法正确的是（   ） A．不在同一条直线上的三个点确定一个平面 B．若一条直线上有一个点在某一个平面内，则该直线就在这个平面内 C．平面的面积为90平方米 D．平面和平面相交于线段 13．在底面为矩形的四棱柱中，平面与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．异面 14．如图所示在正方体中，异面直线与的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．在正方体中，与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 16．已知空间两个角，且角与的两边对应平行且方向相同，且，则为（    ） A． B． C． D．或 17．若直线不平行于平面，且，则（    ） A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 18．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 19．如图所示，正方体中，直线与的位置关系是（   ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 20．如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 21．若，则与的关系是（    ） A． B．与异面 C．与相交 D．与无公共点 22．在正方体中，两异面直线与所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 23．在正方体中，点分别是的中点，求与所成角的余弦值（   ） A． B． C． D． 24．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 25．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ）. A．90° B．60° C．45° D．30° 26．若直线不平行于平面，且不在内，则下列结论成立的是（　　） A．内不存在与平行的直线 B．内的所有直线与异面 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 1.（2023·山西·真题T20）如图，在正方体中，求异面直线与所成角的大小. 2.（2021·山西·真题T09）下列说法不正确的是（ ） A. 两条相交的直线确定一个平面 B. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直 C. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 D. 不在同一直线上的三点确定一个平面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $