专题39 线面、面面垂直的判定与性质（练习）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以线面、面面垂直判定与性质为核心，通过30道题覆盖概念辨析、角的计算及位置关系判定，结合几何体情境构建知识逻辑，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面、面面垂直的判定与性质|30题（含2道真题）|概念辨析（二面角范围等）、角的计算（线面角、二面角）、位置关系判定（充分必要条件、命题真假）|从空间角概念到垂直关系判定与性质，结合正方体、长方体等几何体应用，形成“概念-定理-应用”逻辑链条|

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题39 线面、面面垂直的判定与性质 【考点1 线面、面面垂直的判定与性质】 1．二面角的平面角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 5．如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 6．正方体中，二面角的大小是（   ） A． B． C． D． 7．在正方体 中， 二面角 的正弦值为 （    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面平面ABC，的边长都是4，，则直线SC与平面ABC所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 9．在长方体中与直线垂直的直线是（   ）    A． B． C． D． 10．在正方体中，点是的中点，则直线与平面所成的角的正切值为（    ） A． B． C． D． 11．在正方体中，则下列说法正确的是（   ） A． B．与BD是平行直线 C．⊥ D．与AB所成角的余弦值为 12．若，，表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【考点1 线面、面面垂直的判定与性质】 13．在正方体内，与所在直线垂直的棱是（   ） A． B．AB C． D．BC 14．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，且平面，则线段长度的最大值为（   ）. A． B． C． D． 15．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 17．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 18．在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 19．已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 20．已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 21．如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（    ）    A． B． C． D． 22．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ）. A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 23．已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（    ）． A．① B．② C．②③ D．①④ 24．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是 25．在正三棱柱 中，中点D， 中点E， 所有棱长为 2.下列说法中错误的是（    ） A． 平面 B． C．平面 D．与所成夹角的余弦值 26．如图所示，已知正三棱锥的各棱长都相等，分别是，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C． D．平面平面 27．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．与所成的角为 B． C． D．与所成角为 28．在正方体中，点为棱中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角 D． 1.（2022·山西·真题T10）设是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2.（2021·山西·真题T09）下列说法不正确的是（ ） A. 两条相交的直线确定一个平面 B. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直 C. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 D. 不在同一直线上的三点确定一个平面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题39 线面、面面垂直的判定与性质 【考点1 线面、面面垂直的判定与性质】 1．二面角的平面角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二面角的概念，即可求解. 【详解】二面角的平面角的取值范围是. 故选：C. 2．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】直接判断出异面直线所成的角的范围、直线和平面所成的角的范围、二面角的平面角的范围即可得结果. 异面直线所成的角的范围为， 直线和平面所成的角的范围为， 二面角的平面角的范围为， 所以只有二面角的平面角可能为钝角． 故选：B 3．已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质和判定定理结合充分条件与必要条件的概念即可解答. 【详解】已知、是不同的平面，为内的一条直线， 若，只有垂直于与的交线时，才有， 所以充分性不成立， 若，则由面面垂直的判定定理得， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】D 【分析】结合线面、面面位置关系的判定定理逐一分析求解即可. 【详解】选项A：若，两个平面可以相交，错误. 选项B：若，两个平面可以相交，也可以平行，错误. 选项C：若，只有当垂直与β的交线时，才有，任意不一定垂直，错误. 选项D：已知，若，根据面面垂直的判定定理，，正确. 故选：D. 5．如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】利用直线与平面垂直的判定与性质以及勾股定理求解. 【详解】在平面内作，垂足为，连接，则， 因为平面，直线在平面内，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，那么，所以的长度就是点到直线的距离. 因为平面，在平面内，所以， 在中，，， 则， 即点到直线的距离是. 故选：D. 6．正方体中，二面角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出二面角的平面角，然后在直角三角形中计算即可. 【详解】在正方体中，    因为平面，平面，平面， 所以且， 则是二面角的平面角， 在正方体中，，且， 所以是等腰直角三角形，， 即二面角的大小是. 故选：B. 7．在正方体 中， 二面角 的正弦值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定二面角 的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】如图所示， 连接 相交于点 ，连接 和 ，    则 即为二面角 . 假设正方体棱长为 ，则 ， . 因为平面 平面 ， 且 平面 ，平面 ， 所以 ，所以 是 直角三角形. 由勾股定理得， . 故选：B. 8．在三棱锥中，平面平面ABC，的边长都是4，，则直线SC与平面ABC所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意做辅助线，结合直线与平面所成角的性质求解即可. 【详解】如图所示，取AB的中点D，连接， 因为的边长都是4，所以， 因为平面平面ABC， 平面平面，平面， 所以平面，因此是在平面ABC内的射影， 则是直线与平面ABC所成的角. 因为平面ABC，所以， 在中，因为， 所以， 在中，因为， 所以， 所以直线SC与平面ABC所成角的大小为. 故选：C. 9．在长方体中与直线垂直的直线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体中的线面关系及异面直线所成角的定义即可推导出正确答案. 【详解】在长方体中，面，面， 所以，故A正确； 在长方体中，， 直线与直线所成角为， 因为，所以直线与直线所成角为， 即直线与直线不垂直，故B选项错误； 在长方体中，， 直线与直线所成角为， 因为，所以直线与直线所成角为， 即直线与直线不垂直，故C选项错误； 在长方体中，设，连接，    则，，， ，可知， 则，所以直线与直线不垂直. 故选：A. 10．在正方体中，点是的中点，则直线与平面所成的角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，，可得平面，则为直线与平面所成的角，在中可求解. 【详解】    取的中点，连接，，如图所示： 因为点是的中点，所以且. 在正方体中，平面，所以平面， 所以在平面内的射影为，即是直线与平面所成的角. 设正方体的棱长为，则， 在中，， 在中，， 即直线与平面所成的角的正切值为. 故选：C 11．在正方体中，则下列说法正确的是（   ） A． B．与BD是平行直线 C．⊥ D．与AB所成角的余弦值为 【答案】C 【分析】根据线面垂直判定定理以及线面垂直的性质，异面直线所成角概念求解即可. 【详解】   选项A.因为，与不垂直，所以不成立. 选项B.因为，与相交，所以与BD不是平行直线，错误. 选项C.因为平面，平面，所以. 因为，平面， 所以平面，进而，故选项C正确. 选项D.因为，所以与AB所成角为. 设棱长为2，则，，所以. 故选：C. 12．若，，表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的关系逐项分析即可. 【详解】垂直于同一平面的两条直线互相平行，故A正确， 垂直于同一直线的两个平面互相平行，故B正确， 一条直线垂直于平面，该直线也垂直于与该平面平行的直线，故C正确， 一条直线垂直于平面内的两条平行直线，不能得到该直线垂直于平面，故D错误， 故选：D. 【考点1 线面、面面垂直的判定与性质】 13．在正方体内，与所在直线垂直的棱是（   ） A． B．AB C． D．BC 【答案】B 【分析】根据两直线（含异面直线）所成角的定义，可判断A、C、D选项中的直线与所在直线所成角为；根据线面垂直的判定和性持，可得B选项正确. 【详解】    对A选项，与所成的角为，而，故选项错误； 对B选项，在正方体中， ，，平面， 所以平面. 又平面，所以，故选项正确； 对C选项，因为， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求， 而，故选项错误； 对D选项，因为， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求， 而，故选项错误. 故选：B 14．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，且平面，则线段长度的最大值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行以及面面平行找到的轨迹，再求解即可. 【详解】正方体棱长为2，点为中点.取中点中点中点， 连接，由题意，， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 点在侧面上，且平面，则的轨迹为， 所以， ， 因为，即四边形为平行四边形， 所以，且， 又平面，平面，所以， 在中，， 由，则， 故因为 在线段上运动， 当位于点时，最短为， 当位于点时，最长为. 故选：A.    15．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间直线和平面的位置关系，举反例可判断ABD，利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断C. 对A，记，如图，当时，，错误； 对B，若，直线有可能平行，有可能异面，错误； 对C，过直线作平面与平面相交于直线，因为，所以， 又，所以，又，所以，正确； 对D，如下图，，当时，满足，此时两平面不平行，错误. 故选：C 16．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】逐一利用线面垂直、线面平行的定义与性质，排除存在反例的错误选项，再根据线面垂直的性质定理验证选项D. 选项A：若，，则，选项A错误，有可能在平面内； 选项B：若，，则，选项B错误，两条直线都平行于同一个平面时，它们的位置关系可以是平行、相交或异面； 选项C：若，，则，选项C错误，的位置不确定，它可以平行于、在内，或与斜交，不一定垂直于； 选项D：若，，则，选项D正确，根据线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线. 故选：D 17．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质即可求解． 连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又因为为正方形，， 所以， 则， 在中，， 故选：B． 18．在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用几何法作出线面角，再在直角三角形中根据直角边与斜边的长度关系求解即可. 因为平面平面， 所以直线与平面所成角即直线C1D与平面所成角. 在正三棱柱中，有平面，即平面， 故即直线C1D与平面所成角. 平面，平面， . 又因为由题可知， 故，则. 故选：D. 19．已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，再根据直线与平面所成角的范围即可判断. 如图，在直三棱柱中，，平面平面， 平面平面，直线在平面内的投影是直线， 则直线与平面所成的角都是， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 不妨设直线为直线，平面为平面，直线在平面内，此时满足直线与平面所成的角为，直线与直线垂直. 当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最大值，最大值为； 当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最小值，最小值为. 所以直线与平面所成角的取值范围为. 故选：A. 20．已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，以及线面垂直的判定定理和性质定理对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】A选项，若，，则与可能平行，也可能相交，A错误； B选项，设，，在平面内任取一点，过作于，作于, 因为，所以,又因为，,所以， 因为，所以，又因为，,所以， 由于，，，所以，所以B正确； C选项，若，，则或，C错误； D选项，若，，，则与可能平行，也可能相交，D错误. 故选：B. 21．如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】    如图所示，连接，因为， 则直线与所成角即为直线与所成角为， 因为，，则， 因为为的中点，则， 因为平面，平面，则， 所以， 故选：. 22．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ）. A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 【答案】A 【分析】根据线面垂直的定义和线面垂直的判定定理即可解答. 【详解】已知垂直于所在平面， 且平面，所以， 因为，所以， 且平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以与棱垂直的棱有共3条， 故选：A. 23．已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（    ）． A．① B．② C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质即可求解. 【详解】对①，由线面垂直的性质可得，若，，则；故①正确. 对②，由线面垂直的性质可得，若，，则；故②错误. 对③，若，，则或；故③错误. 对④，若，，则或或相交；故④错误． 故选：A. 24．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的解法，结合正方体的性质分析判断各选项. 【详解】选项A，连接和，因为正方体中， 所以（或其补角）是直线与所成的角， 设正方体棱长为，在中，， 所以是等边三角形，则， 故直线与所成的角是，故A选项错误； 选项B，因为平面，所以就是直线与平面所成的角， 在中，，，所以，故B选项错误； 选项C，因为平面，平面，所以. 因为，，， 所以就是二面角的平面角， 由前面分析可知，故C选项错误； 选项D，因为，，， 所以就是二面角的平面角， 又因为，所以二面角的平面角是，故D选项正确， 故选：D. 25．在正三棱柱 中，中点D， 中点E， 所有棱长为 2.下列说法中错误的是（    ） A． 平面 B． C．平面 D．与所成夹角的余弦值 【答案】B 【分析】利用线面平行的判定可知A正确；取的中点，连接，利用线面垂直的判定和性质，可得是三棱锥的高，据此可判断B错误； 根据线面垂直的判定和性质，可证明C正确；由，可知与所成角就是与所成角，据此可判断D正确. 【详解】对A选项，如下图：    在正三棱柱 中， 因为，平面，平面，所以平面，故A选项说法正确； 对B选项，取的中点，连接，如下图：    在正三棱柱 中，平面，平面， 所以， 因为为等边三角形，所以， 又，平面， 所以平面，即是三棱锥的高， 在正中，， 所以，故B选项说法错误； 对C选项，如图：    在正三棱柱 中，平面，平面， 所以， 因为为等边三角形，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面，即C选项说法正确； 对D选项，如图：    在正三棱柱 中， 因为，所以与所成角就是与所成角， 即为所求， 在中，， 所以，， 所以D选项说法正确. 故选：B 26．如图所示，已知正三棱锥的各棱长都相等，分别是，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C． D．平面平面 【答案】D 【分析】首先由线面垂直的判定定理证出平面，再由线面垂直的定义得出判断A选项， 连接与交于点，连接，得出为直线与平面所成的角，再由正三棱锥的边长相等即可判断B选项， 由，得出为与所成的角即可判断C选项， 由线面垂直的判定定理证出平面，再由面面垂直的判定定理证明即可判断D选项. 【详解】取中点为，连接， 因为正三棱锥的棱长相等，所以， 所以，且， 平面，所以平面， 因为平面，所以，故A错误， 连接与交于点，连接， 则为的中心，在平面中的射影为， 所以为直线与平面所成的角， 又，， 所以，， 所以，故B错误， 因为分别是，的中点， 所以，为与所成的角， 因为，所以，故C错误， 因为正三棱锥的棱长相等，所以， 所以，且， 平面，所以平面， 平面，所以平面平面，故D正确， 故选：D. 27．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．与所成的角为 B． C． D．与所成角为 【答案】C 【分析】利用正方体的性质，根据线面垂直的性质可判断A；根据直线与直线的位置关系可判断B；求出的长度可判断C；根据线面垂直的判定与性质可判断D. 【详解】设正方体棱长为，连接，，，    选项A，因为平面，平面，所以， 则与所成的角为，A选项错误， 选项B，与是相交直线，所以与不平行，B选项错误， 选项C，由勾股定理可得， ， 所以，C选项正确， 选项D，因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以与所成的角为，D选项错误， 故选：C． 28．在正方体中，点为棱中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角 D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何性质，借助面面垂直与线面平行、异面直线所成角判断即可； 【详解】   在正方体中，体对角线垂直于平面；如果平面垂直于平面， 那么平面必须包含或者平行于；显然平面与相交且不垂直； 所以平面不垂直平面；故选项A错误； 直线和平面有一个公共点，所以直线与平面相交，不可能平行，故选项B错误； 因为，所以异面直线与所成角，就是直线与所成角，即. 连接，在中，平面，而在该平面内，所以； 设正方体的棱长为2，则，因为是的中点， 所以在中，，则， 在，因为，而， 所以异面直线与所成角不是.故选项C错误； 连接，在正方体中，底面为正方形，对角线互相垂直，即， 因为，所以， 又因为侧棱底面，而，所以； 因为，、都在平面中， 所以平面，因为平面， 所以，故选项D正确； 故选：D 1.（2022·山西·真题T10）设是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面，线线、面面的位置关系进行判断. 【详解】A、若，则，或，故A错误； B、若，则，或与相交，或，故B错误； C、若，则，故C正确； D、若，则，或与相交，或，故D错误. 故选：C. 2.（2021·山西·真题T09）下列说法不正确的是（ ） A. 两条相交的直线确定一个平面 B. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直 C. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 D. 不在同一直线上的三点确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的相关知识判断对错即可. 【详解】A中，两条相交直线确定一个平面是对，所以正确； B中，垂直于同一直线的两条直线不一定互相垂直，它们可能平行或相交但不垂直，因此这是不正确的；   C中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是正确的； D中，不在同一直线上的三点确定一个平面，这是正确的. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $