专题40 计数的基本原理（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题40 计数的基本原理 【复习目标】 1.理解分类计数原理与分步计数原理（B）； 【考点1 计数的基本原理】 分类计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法． 分步计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法． 注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 【即时训练】 1．书架上有语文书5本，数学书3本，英语书7本，从中任选一本，共有选法（   ） A．105种 B．15种 C．7种 D．13种 【答案】B 【分析】根据分类计数原理即可求解. 【详解】从5本语文书、3本数学书、7本英语书中任选一本书，分为三类： 第一类，选到语文书，有5种不同的选法； 第二类，选到数学书，有3种不同的选法； 第三类，选到英语书，有7种不同的选法， 由分类计数原理可得，不同选法有（种）. 故选：B. 2．书架上有工具书5本，专业书7本，数学书3本，从中任选一本，共有选法（    ） A．105种 B．15种 C．7种 D．13种 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理求解即可. 【详解】有工具书5本，专业书7本，数学书3本，从中任选一本， 选工具书有5种选法，选专业书有7种选法，选数学书有3种选法， 由分类计数原理得共有种选法. 故选：B. 3．书架的第1层放有3本不同的动漫书，第2层放有5本不同的计算机书，第3层放有4本不同的地理书，从书架上任取1本书，不同的取法种数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，任取1本书，分3类，从动漫书中任取1本有3种，从计算机书中任取1本有5种，从地理书中任取1本有4种， 故不同的取法种数为种. 故选：D. 4．从甲地到乙地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发5次，火车发6次，轮船发2次，则一天内乘坐这三种交通工具的不同走法种数为（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 【答案】D 【分析】利用分类加法计数原理求解. 【详解】任选1种交通工具，分3类， 从汽车中任选1个有5种，从火车中任选1个有6种，从轮船中任选1个有2种， ∴不同的取法种数为种. 故选：D. 5．某班有男生25人，女生20人，现从中任选一名学生担任数学课代表，则不同的选法有（ ）. A．25种 B．20种 C．45种 D．500种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】某班有男生25人，女生20人，现从中任选一名学生担任数学课代表， 则不同的选法有种. 故选：C. 6．若从4名男生和3名女生中任选一名担任班长，则不同的选法种数有（   ） A．7种 B．12种 C．16种 D．9种 【答案】A 【分析】运用分类加法计数原理求解. 【详解】从名男生中任选一名担任班长，有种不同的选法， 从名女生中任选一名担任班长，有种不同的选法， 则不同的选法种数共有种， 故选：A. 7．将4封信投入5个不同的邮箱的投法共有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分步计数原理解决问题即可. 【详解】将4封信投入5个不同的邮箱中，每封信都有5种选择， 则共有种. 故选：B. 8．由数字1，2，3，4，5能组成（ ）个无重复数字的四位奇数． A．72 B．48 C．24 D．112 【答案】A 【分析】根据分步计数原理可求解. 【详解】第一步：先排个位，共有3种方法； 第二步：先排十位，共有4种方法； 第夺步：先排百位，共有3种方法； 第一步：先排千位，共有2种方法. 所以，组成无重复数字的四位奇数个数有：（个）. 故选：A 9．某班有男生20人，女生19人，从中选出一人担任班委，共有（    ）种选法. A．23 B．19 C．39 D．16 【答案】C 【分析】利用分类计数原理即可得解. 【详解】因为某班有男生20人，女生19人， 所以从中选出一人担任班委共有种情况. 故选：C. 10．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】对个位分类讨论进行分步计数原理易得答案. 【详解】因为0，1，2，3，4中有个偶数，个奇数， 从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数， 当个位为，偶数的个数有种， 当个位不为，偶数的个数有种， 所以偶数的个数有种. 故选：C. 11．在石头、剪刀、布的游戏中，两个人做同样手势的概率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据计数原理求出两个人玩石头、剪刀、布的游戏的所有情况，再利用概率公式即可求解. 【详解】两个人玩石头、剪刀、布的游戏共有种情况， 两个人做同样手势有“（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布）”，共3种情况， 所以两个人做同样手势的概率为. 故选：C. 12．已知从1，2，3，4，5这五个数中选一个作为被乘数，从2024，2025，2026这三个数中选出一个作为乘数，则可以得到不同的积的个数是（   ） A．3 B．8 C．10 D．15 【答案】D 【分析】根据分步计数原理先求出可以组成的乘积算式总数，再判断是否有重复的积。. 【详解】从1，2，3，4，5这五个数中选一个作为被乘数，有5种情况， 从2024，2025，2026这三个数中选出一个作为乘数，有3种情况， 可以得到积的个数是， 经检验，这15个算式的结果各不相同，故不同的积的个数是15. 故选：. 13．一个口袋中有5个不同的白球，3个不同的黑球，2个不同的红球，从中任取1个球，则不同的取法种数共有（   ） A．10 B．30 C．5 D．3 【答案】A 【分析】根据分类计数原理可求解. 【详解】分三种情况： ①若从中任取1个白球，有5种不同的方法； ②若从中任取1个黑球，有3种不同的方法； ③若从中任取1个红球，有2种不同的方法. 所以不同的取法种数共有：（种）. 故选：A 14．6名学生均参加了数学、英语竞赛，决出数学竞赛和英语竞赛第一名的结果共有（ ）种. A．62 B．36 C．18 D．12 【答案】B 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意，这里包含两个独立事件， 事件一：决出数学竞赛第一名， 事件二：决出英语竞赛第一名， 参加数学竞赛的有6名学生，所以数学竞赛的第一名有6种可能； 参加英语竞赛的同样有这6名学生，所以英语竞赛的第一名也有6种可能， 根据分步乘法计数原理， 完成这两件事的总结果数种， 故选：B 15．5位同学参加3项不同的竞赛，每项竞赛只允许一位学生参加，且同一位同学可以参加多项竞赛，则参赛方案共有（    ） A．15种 B．8种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据分步计数原理求解. 【详解】由题意，每项竞赛可以从5位同学中任选一名参加， 则参赛方案共有种， 故选：D. 16．投掷两个质地均匀的骰子，则向上的点数之和为11的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式即可求值. 【详解】同时抛掷两个质地均匀的骰子，基本事件总数：（个）， 而向上的点数之和为11的基本事件有，共2个， 所以向上的点数之和为11的概率. 故选：A 17．在两个袋内，分别装有写着0，1，2，3，4，5的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中和为5的情况，由古典概率公式，计算可得答案． 【详解】从两个袋中各取一张卡片，取法有种，其中和为5的情况有，，，，，共6种情况， 则两数之和等于5的概率为. 故选：B 18．5人排成一行，甲乙不相邻的排法有（    ）种. A．12 B．72 C．96 D．144 【答案】B 【分析】根据插空法求解即可. 【详解】先排另外3人，有种排法. 3人排好后形成4个空，将甲乙插入这4个空中，有种排法. 所以甲乙不相邻的排法共有种. 故选：B. 19．用0，2，3，5，7，8组成没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）种. A．125 B．120 C．100 D．60 【答案】C 【分析】根据分步计数原理求解，同时要注意0不能在百位这一限制条件. 【详解】当百位数字为中的一个，有种选法， 因为百位已经选了一个数字，十位就从剩下的5个数字中选一个（0此时可以选），有种选法， 个位再从剩下的个数字中选一个，有种选法. 根据分步计数原理，此时满足条件的三位数共有个. 故选：C. 20．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，每名学生有3种选择，故共有种报名方案. 故选：A. 21．一人要从8本不同的文学书，10本不同的科学书中任选一本，有（   ）方法 A．5 B．10 C．18 D．80 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理来计算选书的方法数. 【详解】从8本不同的文学书中任选一本，有8种方法. 从10本不同的科学书中任选一本，有10种方法. 根据分类加法计数原理，从这两类书中任选一本的方法总数为这两类方法数之和， 即（种）. 故选：C. 22．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分步乘法原理，即可求解. 【详解】每个信号灯的显示窗有3种显示方式，亮红灯、绿灯或者不亮灯， 根据分步乘法原理，5个信号的显示窗共有种. 故选：C. 23．将数字2，4，6进行排列组合，可以组成（    ）个没有重复数字的三位数. A．6 B．5 C．9 D．27 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理可求解. 【详解】第一步，排百位，共有3种排法； 第二步，排十位，共有2种排法； 第三步，排个位，共有1种排法， 根据分步计数原理，可以组成没有重复数字的三位数的个数为：. 故选：A 24．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成（    ）个四位数字号码. A．180 B．600 C．6000 D．36 【答案】C 【分析】运用分步乘法计数原理求解. 【详解】第一步，确定第一个拨号盘的数字，因为每个拨号盘上有共个数字，所以有种方法， 第二步，确定第二个拨号盘的数字，同理也有种方法， 第三步，确定第三个拨号盘的数字，同样有种方法， 第四步，确定第四个拨号盘的数字，由于最后一个拨号盘出现故障，只能在这个数字中拨号，所以有种方法， 根据分步乘法计数原理，这个拨号盘可组成的四位数字号码个数为： （个）. 故选：C. 25．甲、乙、丙三人去看电影，正好有一排连续5个空座位，他们从该排选3个连在一起的座位入座的方法有（   ）. A．13种 B．15种 C．18种 D．60种 【答案】C 【分析】先选3个连在一起的座位，再将3个人入座排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】第一步：选3个连在一起的座位 一排有5个连续座号，编号为1，2，3，4，5， 连续3个座位有：，共3种选法； 第二步：3个人入座排列 甲、乙、丙3人在选好的3个座位上全排列， 排列数为：， 根据分步计数原理，总方法数为：， 故选：C 26．三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，则三个乒乓球不在同一个盒子中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有8种，而都在同一个盒子包含2个基本事件， 根据古典概型及性质可求解. 【详解】设“三个乒乓球不在同一个盒子中”为事件A，由题可知， 三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有：（种）， 三个不同颜色的乒乓球都在同一个盒子中包含2个基本事件， 所以. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题40 计数的基本原理 【复习目标】 1.理解分类计数原理与分步计数原理（B）； 【考点1 计数的基本原理】 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝ 种不同的方法． 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝ 种不同的方法． 注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 【即时训练】 1．书架上有语文书5本，数学书3本，英语书7本，从中任选一本，共有选法（   ） A．105种 B．15种 C．7种 D．13种 2．书架上有工具书5本，专业书7本，数学书3本，从中任选一本，共有选法（    ） A．105种 B．15种 C．7种 D．13种 3．书架的第1层放有3本不同的动漫书，第2层放有5本不同的计算机书，第3层放有4本不同的地理书，从书架上任取1本书，不同的取法种数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．12 4．从甲地到乙地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发5次，火车发6次，轮船发2次，则一天内乘坐这三种交通工具的不同走法种数为（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 5．某班有男生25人，女生20人，现从中任选一名学生担任数学课代表，则不同的选法有（ ）. A．25种 B．20种 C．45种 D．500种 6．若从4名男生和3名女生中任选一名担任班长，则不同的选法种数有（   ） A．7种 B．12种 C．16种 D．9种 7．将4封信投入5个不同的邮箱的投法共有（    ）种． A． B． C． D． 8．由数字1，2，3，4，5能组成（ ）个无重复数字的四位奇数． A．72 B．48 C．24 D．112 9．某班有男生20人，女生19人，从中选出一人担任班委，共有（    ）种选法. A．23 B．19 C．39 D．16 10．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 11．在石头、剪刀、布的游戏中，两个人做同样手势的概率为（     ）. A． B． C． D． 12．已知从1，2，3，4，5这五个数中选一个作为被乘数，从2024，2025，2026这三个数中选出一个作为乘数，则可以得到不同的积的个数是（   ） A．3 B．8 C．10 D．15 13．一个口袋中有5个不同的白球，3个不同的黑球，2个不同的红球，从中任取1个球，则不同的取法种数共有（   ） A．10 B．30 C．5 D．3 14．6名学生均参加了数学、英语竞赛，决出数学竞赛和英语竞赛第一名的结果共有（ ）种. A．62 B．36 C．18 D．12 15．5位同学参加3项不同的竞赛，每项竞赛只允许一位学生参加，且同一位同学可以参加多项竞赛，则参赛方案共有（    ） A．15种 B．8种 C．种 D．种 16．投掷两个质地均匀的骰子，则向上的点数之和为11的概率是（   ） A． B． C． D． 17．在两个袋内，分别装有写着0，1，2，3，4，5的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为（    ） A． B． C． D． 18．5人排成一行，甲乙不相邻的排法有（    ）种. A．12 B．72 C．96 D．144 19．用0，2，3，5，7，8组成没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）种. A．125 B．120 C．100 D．60 20．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 21．一人要从8本不同的文学书，10本不同的科学书中任选一本，有（   ）方法 A．5 B．10 C．18 D．80 22．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有（    ）种 A． B． C． D． 23．将数字2，4，6进行排列组合，可以组成（    ）个没有重复数字的三位数. A．6 B．5 C．9 D．27 24．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成（    ）个四位数字号码. A．180 B．600 C．6000 D．36 25．甲、乙、丙三人去看电影，正好有一排连续5个空座位，他们从该排选3个连在一起的座位入座的方法有（   ）. A．13种 B．15种 C．18种 D．60种 26．三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，则三个乒乓球不在同一个盒子中的概率是（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $