专题41 排列、组合的概念与应用（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题41 排列、组合的概念与应用 【复习目标】 1. 理解排列、组合的定义及计算公式； 2. 会用排列和组合的知识解决一些简单问题（D）； 3. 了解组合性质,掌握二项式定理,能进行简单的运算（C）； 【考点1 排列组合】 排列组合的区别与联系 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 组合 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 ．用符号 表示 (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的 ．用符号 表示。 排列组合对应公式 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)． 特别地C＝1. 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C. 【即时训练】 1．已知现有10件产品，其中3件是次品，任取2个都是合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 2．平面内有4个点，任意3点都不在同一直线上，共可以连（    ）条直线 A．4 B．5 C．6 D．7 3．圆周上有9个点，共可以组成（   ）个三角形． A．36 B．72 C．84 D．96 4．由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中能被2整除的数有（    ）个. A．120 B．72 C．48 D．24 5．某一批绿豆种子，每一粒发芽的概率的概率为，播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率为（   ）. A． B． C． D． 6．书架上有中文书3本，英文书2本，从中任意抽取2本，则抽到的全是中文书的概率是（    ）． A． B． C． D． 7．某小组有10名学生，其中女生4名，现选举3名代表，至少有1名女生当选的选法有（    ）. A．96 B．100 C．120 D．20 8．有件新产品，其中一等品4件，二等品3件，三等品5件，现从中任取2件，取到的都是一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 9．三男两女五名同学排成一排照相，两名女生之间有且仅有一个男生的不同的排法种数是（    ） A．36 B．28 C．12 D．6 10．将5人排成一排照相，其中两人不能相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 11．将4名志愿者分配到博物馆的3个不同的场馆服务，每人只能去一个场馆，每个场馆至少1人，则不同的分配方案有（    ）种. A．72 B．36 C．64 D．81 12．5人排成一行，甲乙不相邻的排法有（    ）种. A．12 B．72 C．96 D．144 13．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（    ） A． B． C． D． 14．用数字，，，，，，组成没有重复数字的四位数，如果个数字的积为奇数，则共有（    ）个这样的四位数. A． B． C． D． 15．从三个数中任选两个数：①做加法；②做减法；③一个做指数的底数，一个做指数的幂指数；④一个做被开方数，一个做根指数.上述问题是排列问题的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．②④ 16．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家不同发言顺序共有（    ） A．12种 B．8种 C．6种 D．4种 17．冬奥会志愿者指挥部随机派5名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务.若每个项目至少安排1名志愿者，每名志愿者只参加一个项目，则所有不同的安排方案有（    ） A．30种 B．150种 C．240种 D．300种 18．某课外兴趣组共有15人，包括9名男生和6名女生，其中l名为组长.现在要选3人参加竞赛，分别求出满足下列不同选法的种数． (1)要求组长必须参加； (2)要求选出的3人中至少有1名女生. 19．五个数字. (1)共可组成多少个没有重复数字的五位数？ (2)共可组成多少个没有重复数字的五位偶数？ 20．将2名男生和5名女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？ (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？ (3)5名女生顺序一定的排法有多少种？ 21．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数． (1)可组成多少个不同的四位数？ (2)可组成多少个不同的偶数？ 22．有3名男生和4名女生，按下列要求排列，求不同的排列方法种数. (1)排成前后两排，前排4人，后排3人； (2)全体排成一排，女生必须相邻； 23．已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除标号外，其他完全相同）. (1)若一次性取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若不放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号相同的概率. 24．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班级且每班安排2名，则不同的安排方案有多少种? 1.（2024·山西·真题T24）从50件产品中，任取4件，问 （1）一共有多少种不同取法？ （2）如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中恰好有一件是次品的抽法共有多少种？ （3）如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中至少有一件次品的抽法共有多少种？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题41 排列、组合的概念与应用 【复习目标】 1. 理解排列、组合的定义及计算公式； 2. 会用排列和组合的知识解决一些简单问题（D）； 3. 了解组合性质,掌握二项式定理,能进行简单的运算（C）； 【考点1 排列组合】 排列组合的区别与联系 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号表示 (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示。 排列组合对应公式 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)． 特别地C＝1. 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C. 【即时训练】 1．已知现有10件产品，其中3件是次品，任取2个都是合格品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据组合及组合数计算求出基本事件的个数，然后根据古典概型的计算公式即可求解. 【详解】十件产品任选两个共有种选法. 任选两个都是合格品有种选法. 所以任取两个都是合格品的概率为. 故选：B. 2．平面内有4个点，任意3点都不在同一直线上，共可以连（    ）条直线 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据组合数的公式计算即可. 【详解】因为平面内有4个点，任意3点都不在同一直线上， 又因为两点可以连一条直线， 所以可得直线条数为. 故选:C. 3．圆周上有9个点，共可以组成（   ）个三角形． A．36 B．72 C．84 D．96 【答案】C 【分析】根据题意，结合组合数的应用，即可求解. 【详解】因为圆周上9个点，任意三点均不共线， 故共可组成三角形的个数为. 故选：C. 4．由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中能被2整除的数有（    ）个. A．120 B．72 C．48 D．24 【答案】C 【分析】能被2整除，则个位数只能为2、4，进而根据排列组合求解即可. 【详解】由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数， 能被2整除的数其个位只能为2或者4.其余各数没有要求. 所以有个. 故选：C. 5．某一批绿豆种子，每一粒发芽的概率的概率为，播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得答案． 【详解】根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，其概率为： . 故选：C 6．书架上有中文书3本，英文书2本，从中任意抽取2本，则抽到的全是中文书的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据组合得到抽取的所有情况，再结合概率的公式求解即可. 【详解】由题可知，从中文书3本，英文书2本中抽取任意2本共有种可能， 抽取的全是中文书的有种可能， 所以抽到的全是中文书的概率是， 故选：D 7．某小组有10名学生，其中女生4名，现选举3名代表，至少有1名女生当选的选法有（    ）. A．96 B．100 C．120 D．20 【答案】B 【分析】至少一名女生当选，可以理解为从女生和男生中分别选择，然后分情况讨论. 【详解】至少一名女生当选，可以理解为必须要从女生中选择， 因此至少有1名女生当选的选法有种. 故选：B. 8．有件新产品，其中一等品4件，二等品3件，三等品5件，现从中任取2件，取到的都是一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出从件产品取出件的组合数，再求出从件产品取出件的组合数，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】从件产品取出件共有种取法， 从件产品取出件共有种取法， 所以取到的都是一等品的概率为， 故选：B. 9．三男两女五名同学排成一排照相，两名女生之间有且仅有一个男生的不同的排法种数是（    ） A．36 B．28 C．12 D．6 【答案】A 【分析】先排两名女生，再在中间排入一名男生，将之当作一个整体与剩余的两名男生进行全排列即可求解. 【详解】第一步，先排两名女生，共有2种排法； 第二步，在两名女生中排一个男生，共有3种排法； 第三步，将两名女生及之间的一个男生当作一个整体与剩余的两名男生进行全排列，共有种排法. 所以，符合要求的排法种数为（种）. 故选：A. 10．将5人排成一排照相，其中两人不能相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先运用排列数计算5人排成一排照相的基本事件的总数，再运用插空法求出两人不能相邻的基本事件的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知5人排成一排照相共有种排法， 若两人不能相邻，则先考虑其他人有种排法， 人形成4个空，再将排列在4个空内，则有种排法， 所以两人不能相邻共有种排法， 所以两人不能相邻的概率为. 故选：B. 11．将4名志愿者分配到博物馆的3个不同的场馆服务，每人只能去一个场馆，每个场馆至少1人，则不同的分配方案有（    ）种. A．72 B．36 C．64 D．81 【答案】B 【分析】利用分组分配法即可得解. 【详解】因为将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每人只能去一个场馆，每个场馆至少1人， 所以先将4个人分成三组，有种分法， 再将这三组分配到三个场馆，有种分法， 所以不同的分配方案有种. 故选：B. 12．5人排成一行，甲乙不相邻的排法有（    ）种. A．12 B．72 C．96 D．144 【答案】B 【分析】根据插空法求解即可. 【详解】先排另外3人，有种排法. 3人排好后形成4个空，将甲乙插入这4个空中，有种排法. 所以甲乙不相邻的排法共有种. 故选：B. 13．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由排列组合中的相邻问题，先将剩下的4个车位捆绑在一起构成一个新的元素，再与3辆不同型号的车共4个不同的元素进行全排运算即可得解． 【详解】将剩下的4个车位捆绑在一起构成一个新的元素， 与3辆不同型号的车共4个不同的元素进行全排列， 共有种停放方法， 故选：C. 14．用数字，，，，，，组成没有重复数字的四位数，如果个数字的积为奇数，则共有（    ）个这样的四位数. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这个数中偶数有、，奇数有、、、、.用这个数组成没有重复数字的四位数，如果个数字的积是奇数，那么只有个数字都是奇数才可以，据此利用排列公式即可求得. 【详解】先分类，这个数中偶数有、，奇数有、、、、，共个奇数； 用这个数组成没有重复数字的四位数，如果个数字的积是奇数， 那么只有个数字都是奇数才可以，所以共有个. 故选：A. 15．从三个数中任选两个数：①做加法；②做减法；③一个做指数的底数，一个做指数的幂指数；④一个做被开方数，一个做根指数.上述问题是排列问题的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据排列的概念逐项分析即可. 【详解】已知从三个数中任选两个数， 若做加法不需要排序，故①不是排列问题， 若做减法需要排序，②是排列问题， 一个做指数的底数，一个做指数的幂指数需要排序，③是排列问题， 一个做被开方数，一个做根指数需要排序，④是排列问题， 所以是排列问题的有②③④， 故选：B. 16．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家不同发言顺序共有（    ） A．12种 B．8种 C．6种 D．4种 【答案】C 【分析】对甲进行分类谈论和捆绑法排列易得答案. 【详解】丙、丁必须排在一起有， 当甲排第一位，四位专家不同发言顺序有， 当甲排第二位，四位专家不同发言顺序有， 所以四位专家不同发言顺序共有种. 故选：C. 17．冬奥会志愿者指挥部随机派5名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务.若每个项目至少安排1名志愿者，每名志愿者只参加一个项目，则所有不同的安排方案有（    ） A．30种 B．150种 C．240种 D．300种 【答案】B 【分析】先将5人按要求分成3组，再将这3组人分到3个项目，即可求解. 【详解】将5人分成3组，每组人数为或， 按每组人数为时，有； 按每组人数为时，，有； 故所有不同的安排方案有. 故选：B. 18．某课外兴趣组共有15人，包括9名男生和6名女生，其中l名为组长.现在要选3人参加竞赛，分别求出满足下列不同选法的种数． (1)要求组长必须参加； (2)要求选出的3人中至少有1名女生. 【答案】(1)91 (2)371 【分析】（1）组长必须参加，再从其它14个人中选2人即可求解. （2）选出的3人中至少有1名女生，可从任选3人的方案中减去3人全是男生的方案，即可求解. 【详解】（1）要求组长必须参加，不同的选法共有（种）. （2）要求选出的3人中至少有1名女生，不同的选法共有（种）. 19．五个数字. (1)共可组成多少个没有重复数字的五位数？ (2)共可组成多少个没有重复数字的五位偶数？ 【答案】(1)96. (2)60. 【分析】（1）根据题意，结合排列数和组合数的应用，考虑特殊位置优先处理的方法，即可求解； （2）根据题意，可分类计算个位是0和不是0两种情况，结合排列数和组合数的应用，即可求解. 【详解】（1）由题意，第一步，万位需要从这4个数字中选一个，有4种方法， 第二步，剩余的4个数字全排到其余的4个数位上，有种方法， 故共可组成个没有重复数字的五位数； （2）由题意，可分两种情况： 当个位是0时，剩余的4个数字全排到其余的4个数位上，有个， 当个位不是0时，第一步，需从两个数字中任选一个放到个位上，有2种方法， 第二步，万位需从去掉0和被选的数字之外剩余的3个数字中任选一个，有3种方法， 第三步，其余3个数全排到剩余的数位上，有种方法， 所以共有个， 综上所述，共可组成个没有重复数字的五位偶数. 20．将2名男生和5名女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？ (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？ (3)5名女生顺序一定的排法有多少种？ 【答案】(1)3600种 (2)1440种 (3)种 【分析】（1）先对女生排列，再用插空法排男生，结合分步计数法求解即可； （2）先对女生排列，再根据去掉头尾两空的插空法排男生，结合分步计数法求解即可； （3）由于女生的顺序，则根据插空法分别排列两名男生，结合分步计数法求解即可. 【详解】（1）先对女生排列有种方法， 再用插空法排列有种方法， 则共有种方法； （2）先对女生排列有种方法， 男生不相邻且也不排两头， 可根据去掉头尾两空的插空法排列有， 则共有种方法； （3）先确定5名女生的顺序， 则有6个空根据插空法第一名男生有种方法， 然后根据插空法排另外一名男生有种方法， 则共有种方法. 21．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数． (1)可组成多少个不同的四位数？ (2)可组成多少个不同的偶数？ 【答案】(1)300 (2)156 【分析】（1）先排首位，0不能放在首位，后面三位在余下的5为数中选3个排列即可求解. （2）组成不同的四位数偶数有两种情况：0在个位的四位偶数和0不在个位的偶数，分别计算即可求解. 【详解】（1）先排首位，0不能放在首位，所以有5种可能， 后面三位在余下的5为数中选3个排列， 则可以组成个不同的四位数. （2）组成不同的四位数偶数有两种情况： 当0在个位的四位偶数有个， 当0不在个位时，先从2、4中选一个放在个位有种， 首位不能为0，则从余下的4个数中选一个有种， 其余两位数则有种，根据分步计数原理可得有种， 综上所述：一共可组成个不同的偶数. 22．有3名男生和4名女生，按下列要求排列，求不同的排列方法种数. (1)排成前后两排，前排4人，后排3人； (2)全体排成一排，女生必须相邻； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用排列知识，分别求出先排前排，再排后排的方法数，再根据分步计数原理可求解； （2）采用“捆绑法”，即先对女生进行排列，再把女生看成一个整体和3个男生进行全排列，最后根据分步计数原理可求解； 【详解】（1）第一步，排前排4人，共有种方法；第二步，排后排3人，共有种方法； 根据分步计数原理，不同的排列方法种数为：（种）. （2）先对女生进行排列，再把女生看成一个整体和3个男生进行全排列，根据分步计数原理，则 不同的排列方法共有（种）. 23．已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除标号外，其他完全相同）. (1)若一次性取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若不放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号相同的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合数公式计数，根据古典概型的概率公式求出概率. （2）利用排列数公式计数，根据古典概型的概率公式求出概率. 【详解】（1）设“取出的3个小球上标号均不相同”为事件， 则一次性取出3个小球共有个基本事件， 而事件包含的基本事件的个数为：， 所以； （2）设“取出的2个小球上标号相同”为事件， 则不放回地先后取出2个小球，共有个基本事件， 而事件包含的基本事件的个数为：， 所以. 24．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班级且每班安排2名，则不同的安排方案有多少种? 【答案】90 【分析】利用分组分配问题的解法，先将4名学生平均分成两组，再分配到6个班级的两个即可. 【详解】先将4名学生平均分成两组的方法数是， 再将这两组分配到6个班级中的2个班有种分配方法， 根据分步计数原理，共有种方案， 所以不同的安排方案有90种. 1.（2024·山西·真题T24）从50件产品中，任取4件，问 （1）一共有多少种不同取法？ （2）如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中恰好有一件是次品的抽法共有多少种？ （3）如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中至少有一件次品的抽法共有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）根据组合数公式求解即可. （2）根据组合数公式求解即可. （3）根据对立事件以及组合数公式求解即可. 【小问1详解】 从50件产品任取4件时，取法（种）. 【小问2详解】 依题意，有48件正品2件次品， 取出的4件中，恰好3件为正品，1件为次品， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $