专题41 排列、组合的概念与应用（练习）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 围绕排列组合概念与应用，通过基础计算、情境应用、概率结合及综合解答题，构建从概念到应用的递进训练体系，体现数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|第2、15题|排列组合定义辨析与简单计算|从概念定义到公式应用，夯实基础| |情境应用|第3、8、12题|含特殊元素/位置的排列问题|结合生活情境，强化抽象建模能力| |概率结合|第4、6、13题|古典概型中排列组合应用|连接计数原理与概率计算，培养推理意识| |综合解答|第24题、真题|分组分配及复杂应用|整合知识，提升综合解题与数学表达能力|

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题41 排列、组合的概念与应用 【考点1 排列组合】 1．方程的解集为（   ）. A． B． C． D． 2．从6名同学中任选2人参加比赛，不同的选法共有（   ） A．15 B．30 C．12 D．36 3．子贡曾曰：夫子温､良､恭､俭､让以得之.“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印着这5个字的卡片各1张，将这5张卡片排成一行，其中印着“温”的卡片排在最中间，则总的排法共有（ ） A．30种 B．96种 C．24种 D．4种 4．某校从4名男生和3名女生中选出4人参加校运动会志愿者服务，4人中既有男生又有女生的概率是（    ） A． B． C． D． 5．展开式中常数项是（   ） A．32 B．10 C．20 D．16 6．已知5件产品中有且只有2件是次品，现从这5件产品中任取2件，则恰有1件次品的概率为（     ）． A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 7．从3，4，5，6四个数中任取两个数，则取到的两数之和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 8．用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字组成无重复数字的整数，其中四位奇数是多少个（    ） A．36 B．720 C．490 D．840 9．甲乙丙丁四个人，抽取两人参加象棋、钢琴两个社团活动，每个社团恰有1人参加的活动方法共有（    ） A．18 B．10 C．12 D．8 10．从 这五个数字中任取两个不同的数字组成两位数，共有多少种不同的取法？（    ） A． B． C． D． 11．在数学中，有一个被称为自然常数（又称欧拉数）的常数.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数e的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2不相邻，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码种数为（    ） A．36 B．48 C．72 D．120 12．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加实践活动，每个小组由1 名教师和2名学生组成，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【考点1 排列组合】 13．有一个开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（ ） A． B． C． D． 14．从班级中成绩为“优秀”的6位同学中选3位分别参加数学、英语、专业技能大赛，其中甲同学不参加数学大赛的概率是（   ） A． B． C． D． 15．8个人两两互通一次电话，一共要通话多少次？若两两相互写一封信，一共要写多少封信？上述两个问题的计算公式分别为（   ）. A． B． C． D． 16．现有4本不同的书，送给3个人，每人至少1本，则不同的送法有（    ）. A．72种 B．36种 C．12种 D．100种 17．某班组织文艺晚会，从等6个节目中任选3个排序演出，若节目至少有一个入选，且当同时入选时，不能相邻演出，则所有不同演出顺序的种数是（   ） A．84 B．80 C．76 D．72 18．某职业学校举行运动会，组委会需从甲，乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到检录处、统计处和宣传处这3个部门，每个部门安排1人．若甲不能安排在宣传处，则不同的安排方法种数是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 19．某停车场共有6个车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同的停车位上，则至少有两辆汽车停放在相邻车位上的概率是（     ） A． B． C． D． 20．记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照，要求排成一排，2名老人相邻但不排在两端，则所有不同排法的种数是（     ） A．1440 B．960 C．720 D．420 21．某文艺小组共有9人，其中4人只擅长跳舞，3人只擅长唱歌，2个人既擅长跳舞又擅长唱歌，现从该文艺小组随机推选擅长跳舞、唱歌的选手各1人参加表演，则共有（    ）种选法． A．28 B．32 C．46 D．52 22．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 23．安排6名志愿者去做A，B，C三项不同的工作，每项工作需要2人. (1)求不同的安排方案种数； (2)由于工作需要，甲、乙二人必须做同一项工作，丙、丁二人不能做同一项工作，求不同的安排方案种数. 24．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 1.（2024·山西·真题T24）从50件产品中，任取4件，问 （1）一共有多少种不同取法？ （2）如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中恰好有一件是次品的抽法共有多少种？ （3）如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中至少有一件次品的抽法共有多少种？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题41 排列、组合的概念与应用 【考点1 排列组合】 1．方程的解集为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用组合数的性质列式即可得解. 【详解】因为，所以或， 解得或或或， 当时，，不满足组合数的定义域，舍去， 当时，不满足组合数的定义域，舍去， 所以方程的解集为. 故选：A. 2．从6名同学中任选2人参加比赛，不同的选法共有（   ） A．15 B．30 C．12 D．36 【答案】A 【分析】利用组合数公式计算即可. 【详解】从6名同学中任选2人参加比赛，不同的选法共有种. 故选：A. 3．子贡曾曰：夫子温､良､恭､俭､让以得之.“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印着这5个字的卡片各1张，将这5张卡片排成一行，其中印着“温”的卡片排在最中间，则总的排法共有（ ） A．30种 B．96种 C．24种 D．4种 【答案】C 【分析】应用排列数计算求解. 根据题意可得总的排法共有种. 故选：C. 4．某校从4名男生和3名女生中选出4人参加校运动会志愿者服务，4人中既有男生又有女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合古典概型公式及组合数的计算求出都是男生的概率，利用对立事件的性质即可得解. 【详解】从4名男生和3名女生中选出4人参加校运动会志愿者服务， 都是男生的概率是，所以既有男生又有女生的概率是， 故选：D. 5．展开式中常数项是（   ） A．32 B．10 C．20 D．16 【答案】A 【分析】根据二次项的通项公式，令的次数为0即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得， 所以常数项为. 故选：A 6．已知5件产品中有且只有2件是次品，现从这5件产品中任取2件，则恰有1件次品的概率为（     ）． A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，分别计算总基本事件数与恰有1件次品包含的基本事件数，代入公式求解即可. 【详解】由题意可知，5件产品中有2件次品，3件正品. 从5件产品中任取2件，总的基本事件数为：， 恰有1件次品的事件，即从2件次品中取1件、从3件正品中取1件， 对应的基本事件数为：， 所以恰有1件次品的概率为：. 故选：. 7．从3，4，5，6四个数中任取两个数，则取到的两数之和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从3，4，5，6四个数中任取两个数，取法有， 取到的两数之和是偶数的取法有两种， 故所求概率为， 故选：. 8．用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字组成无重复数字的整数，其中四位奇数是多少个（    ） A．36 B．720 C．490 D．840 【答案】B 【分析】先确定个位数和千位数，最后确定百位数和十位数，根据分步计数原理即可求解. 【详解】第一步确定个位数字，因为组成的数为奇数， 所以个位数为奇数，则从中选一个，有4种选法， 第二步确定千位数字，千位数字不能为0， 则千位数字从除0和已选个位数之外的6个数字中选取一个，有6种选法， 第三步确定百位和十位，从剩余6个数字中选2个数字排列，共有种， 根据分步计数原理可得四位奇数有个. 故选：B. 9．甲乙丙丁四个人，抽取两人参加象棋、钢琴两个社团活动，每个社团恰有1人参加的活动方法共有（    ） A．18 B．10 C．12 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，结合排列数的应用，即可求解. 【详解】由题意，每个社团恰有1人参加的活动方法共有种. 故选：C. 10．从 这五个数字中任取两个不同的数字组成两位数，共有多少种不同的取法？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数计算即可. 【详解】从 这五个数字中任取两个不同的数字组成两位数， 共有种不同的取法， 故选：B. 11．在数学中，有一个被称为自然常数（又称欧拉数）的常数.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数e的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2不相邻，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码种数为（    ） A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】A 【分析】根据排列组合的应用即可得解. 【详解】如果排列时要求两个8相邻，两个2不相邻，可将两个8捆绑看作一个元素， 与7，1全排列，排好后有4个空位，将两个2插入其中的2个空位中， 因此小明可以设置的不同密码共有(种)， 故选：. 12．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加实践活动，每个小组由1 名教师和2名学生组成，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数原理，依次确定甲地的教师、学生人选，剩余人员直接分配到乙地，即可计算总方案数. 【详解】甲地选派1名教师，从2名教师中任选1名，选法种数为； 甲地选派2名学生，从4名学生中任选2名，选法种数为； 剩余的1名教师与2名学生直接安排到乙地，仅1种安排方式. 根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有种. 故选：A. 【考点1 排列组合】 13．有一个开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件知装有款玩偶的盲盒最先被全部打开包含：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶；从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶，再利用古典概率公式、互斥事件的概率公式及排列组合，即可求解. 记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶， 记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶， 记事件：装有款玩偶的盲盒最先被全部打开， 易知，， 则， 故选：B. 14．从班级中成绩为“优秀”的6位同学中选3位分别参加数学、英语、专业技能大赛，其中甲同学不参加数学大赛的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合古典概型公式及排列组合的应用即可得解. 【详解】先考虑参加数学大赛的同学，因为甲同学不参加数学大赛， 所以参加数学大赛的同学可以从除甲外的5位同学中选择，有种选择方法； 然后考虑参加英语和专业技能大赛的同学，可以从包括剩余4位和甲在内的5位同学中选择， 由于与顺序有关，所以有种选择方法. 根据分步乘法计数原理，甲同学不参加数学大赛共有种选择方法， 所以甲同学不参加数学大赛的概率. 故选：. 15．8个人两两互通一次电话，一共要通话多少次？若两两相互写一封信，一共要写多少封信？上述两个问题的计算公式分别为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通话是两人之间的双向互动，是无序的；而写信是单向的发送行为，是有序的，据此即可选出正确答案. 【详解】甲给乙打电话和乙给甲打电话是同一次通话，是无序的，没有先后之分，是组合问题， 故通话次数应是：， 而两个人写信时，谁是写信者，谁是收信者是有顺序的，是排列问题， 通信次数应为：， 故选：D 16．现有4本不同的书，送给3个人，每人至少1本，则不同的送法有（    ）. A．72种 B．36种 C．12种 D．100种 【答案】B 【分析】按照题目中的分配方案，必然是1人拿2本，另外2人各拿1本，结合分步计数原理，进而求解. 【详解】先从4本书中选2本捆绑成1组：， 把这3组分给3个人：， 根据分步计数原理，总方法数为两步相乘：， 故选：B 17．某班组织文艺晚会，从等6个节目中任选3个排序演出，若节目至少有一个入选，且当同时入选时，不能相邻演出，则所有不同演出顺序的种数是（   ） A．84 B．80 C．76 D．72 【答案】B 【分析】分析题意可知，需分两类进行求解，第一类，只有一个入选，第二类：同时入选，再利用分类加法原理进行计算即可求解. 【详解】根据题意，可以分两类：第一类，从中选一个节目有种选法， 则从剩余4个节目中选择2个节目有种， 再将这3个节目全排列，所以不同演出顺序有种； 第二类：同时入选，则从剩余4个节目中选择一个节目有种， 因为当同时入选时，不能相邻演出，所以3个节目中不相邻的排法有2种， 则不同演出顺序有种， 所以所有不同演出顺序的种数是（种）. 故选：B. 18．某职业学校举行运动会，组委会需从甲，乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到检录处、统计处和宣传处这3个部门，每个部门安排1人．若甲不能安排在宣传处，则不同的安排方法种数是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】根据题意分情况讨论特殊情况受限的排列问题，将所有情况相加，即可选出正确答案. 【详解】分两种情况： （1）当甲被选中时，甲不能安排在宣传处，则甲只能安排在检录处或统计处，有2种方法， 剩下2个部门，从乙、丙、丁3人中选2人进行排列，有种方法， 这种情况的方法数：种； （2）当甲不被选中时，乙、丙、丁3人安排到3个部门，即3人全排列，有种方法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：D. 19．某停车场共有6个车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同的停车位上，则至少有两辆汽车停放在相邻车位上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概率以及对立事件求解即可. 【详解】从个车位选个停放，总共有种不同选位方法. 三车全部不相邻的共有种不同选位方法. 因此三车全部不相邻的概率为，因此至少两辆相邻的概率为. 故选：D. 20．记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照，要求排成一排，2名老人相邻但不排在两端，则所有不同排法的种数是（     ） A．1440 B．960 C．720 D．420 【答案】B 【分析】根据排列数以及捆绑法，插空法求解即可. 【详解】5名志愿者和他们帮助的2名老人，共7人， 2名老人相邻但不排在两端， 将2名老人看作一个整体，方法数为， 先将5名志愿者进行全排列，方法数为， 5名志愿者除去首尾两个空位，中间共4个空位， 将2名老人“整体”看作1个人，插入到4个空位中，方法数为， 则所有不同排法的种数是. 故选：B. 21．某文艺小组共有9人，其中4人只擅长跳舞，3人只擅长唱歌，2个人既擅长跳舞又擅长唱歌，现从该文艺小组随机推选擅长跳舞、唱歌的选手各1人参加表演，则共有（    ）种选法． A．28 B．32 C．46 D．52 【答案】A 【分析】根据题意进行分类讨论，结合分类计数原理及分步计数原理即可得解. 【详解】由题意可知， 当跳舞选手从只擅长跳舞的人选，唱歌选手从只擅长唱歌的人选，有种选法； 当从既擅长跳舞又擅长唱歌的人中选跳舞选手，唱歌选手从只擅长唱歌的人选，有种选法； 当从既擅长跳舞又擅长唱歌的人中选唱歌选手，跳舞选手从只擅长跳舞的人选，有种选法； 当从既擅长跳舞又擅长唱歌的人中选唱歌选手和跳舞选手，有种选法， 则共有种选法， 故选：. 22．判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 【答案】(1)是组合问题，45 (2)是组合问题，45 (3)是组合问题，120 (4)是排列问题，720 【分析】利用排列与组合的定义和计算公式依次判断并计算即可求解. 【详解】（1）因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别， 所以此事件是组合问题，组合数为. （2）因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别， 所以此事件是组合问题，组合数为. （3）因为3个代表之间没有顺序的区别， 所以此事件是组合问题，组合数为. （4）因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的， 所以此事件是排列问题，排列数为. 23．安排6名志愿者去做A，B，C三项不同的工作，每项工作需要2人. (1)求不同的安排方案种数； (2)由于工作需要，甲、乙二人必须做同一项工作，丙、丁二人不能做同一项工作，求不同的安排方案种数. 【答案】(1)90种 (2)12种 【分析】（1）用组合数公式及分步计数原理求解； （2）由条件分为三组，然后再排列即可. 【详解】（1）先从6人中选2人去做A工作，再从剩余的4人中选2人去做B工作，则剩下的2人就去做C工作. ∴不同的安排方案种数为种. （2）∵甲、乙二人必须做同一项工作，∴甲、乙二人为一组， ∵丙、丁二人不能做同一项工作， ∴丙与剩下的2人中挑选1人为一组，丁与剩下的1人为一组， ∴不同的安排方案种数为种. 24．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） (4)（种） 【分析】（1）有女生但人数必须少于男生，则可以是2女3男，也可以是1女4男，先取后排即可； （2）某女生一定担任语文课代表，除去该女生后先取后排即可； （3）由于某男生必须包括在内，且不担任数学课代表，则先确定该男生，接下来再确定除去该男生的选法，然后对其排列即可； （4）先从除去该男生和该女生的6人中选3人，再安排该男生，其余3人全排即可. 【详解】（1）先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男， 有种取法，后排有种， 故共有 （种）． （2）除去该女生后，先取后排， 有（种）． （3）先取后排，但先安排该男生， 有（种）． （4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有种， 再安排该男生有种，其余3个全排有种， 共（种）． 1.（2024·山西·真题T24）从50件产品中，任取4件，问 （1）一共有多少种不同取法？ （2）如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中恰好有一件是次品的抽法共有多少种？ （3）如果50件产品中有2件是次品，则抽出的4件中至少有一件次品的抽法共有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）根据组合数公式求解即可. （2）根据组合数公式求解即可. （3）根据对立事件以及组合数公式求解即可. 【小问1详解】 从50件产品任取4件时，取法（种）. 【小问2详解】 依题意，有48件正品2件次品， 取出的4件中，恰好3件为正品，1件为次品， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $