专题42 二项式定理（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题42 二项式定理 【复习目标】 1. 了解组合性质； 2. 掌握二项式定理,能进行简单的运算（C）. 【考点1 二项式定理】 二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝ 二项展开式 的通项公式 Tr＋1＝ ，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数 二项式系数的性质 (1)0≤k≤n时，C与C的关系是 . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为 ；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为 或 . (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n， C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 【即时训练】 1．的展开式中含项的系数为（    ） A．180 B． C．190 D． 2．的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 3．若，则（   ）． A． B． C． D． 4．在二项式的展开式中，常数项等于（    ） A． B．42 C．14 D． 5．在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A．18 B． C．64 D． 6．展开式中的常数项是（    ）. A． B． C． D． 7．展开式中，常数项为（    ）. A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B．0 C．1 D． 9．的展开式的各项系数之和为（   ） A．32 B．243 C．81 D．64 10．已知的展开式共有9项，则（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 11．展开式中的常数项为（   ）. A．48 B．24 C． D． 12．在的二项展开式中，的系数是（    ） A． B．20 C．15 D． 13．的展开式中，第4项为（）. A． B． C． D． 14．二项式的展开式中的系数是（    ） A． B．80 C． D．40 15．设，则的值（    ） A． B． C． D． 16．二项式的展开式中的系数是________ 17．在二项式的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中的常数项为__________. 18．在展开式中，含有的项的系数是______． 19．的各二项系数的最大值是________. 20．展开式的第3项是_________. 21．的二项展开式中，的系数为________. 22．已知二项式，则展开式第4项的二项式系数为_______. 23．已知，求. 24． 写出展开式中的常数项. 25． 在的展开式中，常数项为多少？ 26． 展开式的二项式系数之和为256，求展开式的常数项． 27． 求展开式中的常数项 1.（2025·山西·真题T21）求二项式的展开式中的常数项. 2.（2024·山西·真题T10）在的二项展开式中，最大的系数是（ ） A. 6 B. 15 C. 20 D. 35 3.（2023·山西·真题T21）求二项式的展开式中的常数项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题42 二项式定理 【复习目标】 1. 了解组合性质； 2. 掌握二项式定理,能进行简单的运算（C）. 【考点1 二项式定理】 二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－r b r＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 的通项公式 Tr＋1＝Can－r b r，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C，C，…，C 二项式系数的性质 (1)0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C. (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为或. (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n， C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 【即时训练】 1．的展开式中含项的系数为（    ） A．180 B． C．190 D． 【答案】A 【分析】通过二项展开式通项公式代入求解即可. 【详解】的展开式通项， 令，则的系数. 故选：A. 2．的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式可求. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为 （其中）， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：D. 3．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理可求. 【详解】，； 故选：. 4．在二项式的展开式中，常数项等于（    ） A． B．42 C．14 D． 【答案】C 【分析】先写出二项式的通项公式，再求常数项的系数. 【详解】二项式的通项公式为 . 当时，即，此时. 故选：C. 5．在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A．18 B． C．64 D． 【答案】D 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项公式为：， 由可得， 则含项系数为. 故选：D. 6．展开式中的常数项是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式及常数项的求法求解即可. 【详解】因为的展开通项公式为：， 令，得， 则所求常数项为. 故选：C. 7．展开式中，常数项为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，结合待定系数法求出代入即可. 【详解】根据二项式的展开式的通项公式得： 展开式的通项公式是， 令，得， 所以常数项为. 故选：B. 8．已知，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用赋值法，令和分别求出总和和，再相减即可. 【详解】令代入原式， 得， 令代入原式，得 ， 所以 . 故选：B. 9．的展开式的各项系数之和为（   ） A．32 B．243 C．81 D．64 【答案】C 【分析】根据题意，令，代入二项式，即可求得展开式的各项系数之和. 【详解】由题意，令，则， 即的展开式的各项系数之和为81. 故选：C. 10．已知的展开式共有9项，则（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据二项式定理的性质求解即可. 【详解】∵的展开式共有9项， ∴，即， 解得. 故选：D. 11．展开式中的常数项为（   ）. A．48 B．24 C． D． 【答案】C 【分析】利用二项展开通项公式可求解. 【详解】因为通项公式， 由得. 所以展开式中的常数项为为. 故选：C 12．在的二项展开式中，的系数是（    ） A． B．20 C．15 D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式通项求解即可. 【详解】的展开式通项为， 令，解得， 所以的系数是. 故选：A. 13．的展开式中，第4项为（）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】对于二项式，其展开式的通项公式为（其中表示项数，从0开始计数）. 在中,,则 要求展开式的第4项，此时. 则第4项为：. 故选：B. 14．二项式的展开式中的系数是（    ） A． B．80 C． D．40 【答案】C 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数是， 故选：. 15．设，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊取值法得到两条等式，再用作差法易得答案. 【详解】因为， 当时，所以， 当时，所以， 两条等式相减易得. 故选：B. 16．二项式的展开式中的系数是________ 【答案】60 【分析】利用二项式展开式的通项公式，求指定项的系数，即可. 【详解】由题意知二项式为， 所以通项公式为， 当时，即， 则二项式的展开式中的系数是. 故答案为：60. 17．在二项式的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中的常数项为__________. 【答案】6 【分析】先由二项式系数求出n的值，再由通项求解常数项即可. 【详解】由题意可知，即，即二项式为， 则二项展开式的通项为 ， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：6. 18．在展开式中，含有的项的系数是______． 【答案】 【分析】根据二项式的展开式的通项公式易得答案. 【详解】设为含有的项，． 令，得，所以含有的项为. 因此展开式中含有的项的系数是． 故答案为：. 19．的各二项系数的最大值是________. 【答案】35 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】对于二项式，当为奇数时，中间两项的二项式系数最大， 且二项式系数为和.在中，（奇数）， 则中间两项分别为第4项和第5项. 二项式系数,. 的各二项系数的最大值是35. 故答案为：35. 20．展开式的第3项是_________. 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 则第项为， 展开式的第项是. 故答案为：. 21．的二项展开式中，的系数为________. 【答案】56 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 所以， 所以含的系数为56. 故答案为：56 22．已知二项式，则展开式第4项的二项式系数为_______. 【答案】 【分析】根据通项公式及二项系数的概念可求解. 【详解】因为二项式展开式第4项为, 所以二项式系数为. 故答案为： 23．已知，求. 【答案】 【分析】通过对二项式展开式赋值来求解. 【详解】已知， 令，得， 令，得， 两式相减可得， 从而. 24．写出展开式中的常数项. 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可计算出常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 25．在的展开式中，常数项为多少？ 【答案】60 【分析】根据二项展开式的通项公式代入，令的幂指数为0，即可得解. 【详解】在中，则其展开式的通项公式为： ， 令的次数为0，即，解得， 则常数项为. 26．展开式的二项式系数之和为256，求展开式的常数项． 【答案】 【分析】根据二项式展开的通项公式以及二项式系数和的性质，即可求解. 【详解】由题意知二项式为 则二项式系数之和为，解得， 所以的展开式通项为， 令，得， 所以常数项为． 27．求展开式中的常数项 【答案】 【分析】首先由二项展开式的通项公式列出该展开式通项，再使的指数为0列方程求出的值，最后将的值代回通项公式求值即可. 【详解】已知， 设， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 1.（2025·山西·真题T21）求二项式的展开式中的常数项. 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的幂指数等于0可得答案． 【详解】二项展开式的通项为，， 令，则， ∴， 故所求常数项为240. 2.（2024·山西·真题T10）在的二项展开式中，最大的系数是（ ） A. 6 B. 15 C. 20 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式结合组合数性质即可得解. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 所以展开式通项的系数为，所以系数最大为， 故选：. 3.（2023·山西·真题T21）求二项式的展开式中的常数项. 【答案】60 【解析】 【分析】先写出二项式的通项式，得到常数项时取值，即可求解. 【详解】二项式的通项公式为， 令，解得. 常数项为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $