专题46 随机变量及其分布（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题46 随机变量及其分布 【复习目标】 1. 了解离散随机变量的意义,会求离散型随机变量的分布列（D）； 2. 了解N次独立重复试验中恰好发生k次的概率及简单应用（D）。 【考点1 随机变量及其分布】 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝p1＋p2＋…＋p n＝1. 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) (2)二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)． 若X～B(n，p)，则E(X)＝_n p__，D(X)＝_n p(1－p)__ 【即时训练】 1．已知随机变量服从二项分布，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从二项分布. 所以. 故选：A. 2．某一随机变量的概率分布如下表所示，则其数学期望的值为（   ） 1 3 5 0.5 0.2 A．1 B．0.6 C． D．2.4 【答案】D 【分析】根据分布列的性质求出值，代入期望公式即可得解. 【详解】由分布列可知，，解得， 所以数学期望， 故选：. 3．下列是离散型随机变量的是（ ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 4．设，则随机变量的分布列是 0 1 则当在内减小时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】根据期望公式求得随机变量的期望，之后利用方差公式求得随机变量的方差，根据二次函数的性质求得结果. 【详解】根据题意可得，， 所以在单调递减，在单调递增，所以先减小后增大. 故选：C. 5．某一批绿豆种子，每一粒发芽的概率的概率为，播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得答案． 【详解】根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，其概率为： . 故选：C 6．设随机变量的概率分布列为，则的值为（    ）. 1 2 3 A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的期望公式即可求解. 【详解】由随机变量的概率分布列得 ， 故选：D. 7．一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（   ）  . A．0.125 B．0.25 C．0.375 D．0.5 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率得到抛掷硬币时正面和反面的概率，再计算恰好两次正面朝上的概率. 【详解】一枚硬币连续抛掷有正面和反面两种情况， 所以正面朝上的概率是，反面朝上的概率也是， 抛掷3次，恰好有3次正面朝上的概率： . 故选：C. 8．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】因为随机变量，且， . 故选：A. 9．已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据随机变量的线性变换性质求解. 【详解】因为随机变量X的期望，方差， 所以，. 故选：C. 10．若随机变量的概率分布列如下表： 0 2 4 0.3 0.2 0.5 则等于（    ） A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2 【答案】A 【分析】根据期望的计算公式及期望的性质可求解. 【详解】据题意，得， 所以 . 故选：A 11．某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（   ） ξ 8 9 P a A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量分布列中，所有可能取值的概率为1，即可解答. 【详解】由分布列可知，， 则， 故选：D. 12．某项测量结果ξ服从正态分布，若ξ在内取值的概率为，则ξ在内的取值的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的特点可知正态分布，曲线的对称轴为直线，则ξ在内取值的概率与ξ在内的取值的概率相等，由此即可解答. 【详解】已知某项测量结果ξ服从正态分布， 则曲线的对称轴为直线， 且与关于直线对称， 所以ξ在内取值的概率与ξ在内的取值的概率相等， 因为ξ在内取值的概率为， 所以ξ在内的取值的概率为， 故选：A. 13．某射击手命中率为，他连续射击次，恰有次命中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解. 【详解】某射击手命中率为，他连续射击次， 其中恰有次命中的概率为. 故选：C. 14．若随机变量服从二项分布，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布计算公式求值即可. 【详解】已知随机变量服从二项分布， 则， 故选：B. 15．已知离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，则的值为（    ） ξ 0 1 2 P A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量的期望公式求出期望，再根据方差的计算公式求解即可. 【详解】由表可知：， . 故选：A. 16．若随机变量的分布列如表所示： 4 6 8 则数学期望（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】首先由概率之和为1列方程求出的值，再由数学期望公式求值即可. 【详解】如表格可知，， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 17．将一枚质地均匀的硬币重复拋掷10次，恰好出现6次正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得正面向上的概率，再求得恰好出现6次正面向上的概率即可． 【详解】设“正面向上”为事件，则. 所以恰好出现6次正面向上的概率为， 故选：D． 18．若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 4 6 8 P a A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】先根据分布列的性质求出的值，再利用期望公式计算期望. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：A. 19．已知甲每次投篮命中率为，若甲投篮3次，求其投中2次的概率. 【答案】 【分析】根据独立重复试验的概率问题求解即可. 【详解】甲每次投篮命中率为， 甲投篮3次相当于做3次独立重复试验， 所以其投中2次的概率为. 20．某一射手射击所得环数X的分布列见下表，求：     X 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 求此射手射击所得环数X的期望值与方差. 【答案】， 【分析】根据期望与方差的计算公式可求解. 【详解】由分布列可得， ； . 21．已知随机变量的概率分布为,试确定系数m,并求出的值. 【答案】，. 【分析】由随机变量的分布列的性质即可得解. 【详解】∵随机变量的概率分布为. . 解得. . . 22．某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； (2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列. 【答案】(1)10 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据直方图可得出健康上网天数未超过20天的频率，从而可求出上网超过20天的频率，再利用频率和频数之间的关系求解即可； （2）根据题意可得出随机变量Y的所有可能取值，再求出相对应的概率，即可得到Y的分布列. 【详解】（1）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为 ， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是10. （2）随机变量Y的所有可能取值为0，1，2. ，，， 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 P 23．为了解某市成年人的交通安全意识情况，某职业中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80分以上（含80分）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．    (1)根据频率分布直方图计算所得分数的中位数； (2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图，结合中位数的计算即可求解. （2）根据频率分布直方图，结合二项分布的概率公式即可求解. 【详解】（1）设中位数为x，则前3组频率和， 前4组频率和，所以中位数在内， ，解得，即中位数为． （2）由直方图得，80分以上概率为，则， ，， ，， . 则分布列： X 0 1 2 3 4 P 24．某兴趣小组有5名女生、3名男生.从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，求： (1)的概率分布； (2)所选3人中男生不超过1人的概率. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，结合古典概率，及组合数的应用，即可求解随机变量的分布列； （2）根据题意，结合随机变量的分布列，即可求解. 【详解】（1）由题意，随机变量X的取值可能为， 所以； ； 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 （2）由题意，所选3人中男生不超过1人，即女生人数为2人或3人， 故所求概率. 25．某中职学校高三学生举行了数学模拟考，现从中随机抽取了100名学生，将他们的得分（满分：100分）分成如下6组：，绘制成频率分布直方图如图.    (1)求a的值. (2)从样本中，将得分不低于80的学生按比例分层随机抽样，抽取10人进行学习心得交流，再从参加交流的学生中任选3人，记这3人中得分在内的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见详解； 【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，各组频率之和为1，即可求解； （2）根据题意，先求出得分不低于80的学生的各组的频数，结合分层抽样，求得各组抽的样本数量，结合随机变量的分布列和期望的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 解得； （2）由题意，得分不低于80的学生人数为， 其中分数在之间的人数为人， 分数在之间的人数为人， 所以人，人， 即抽取的10人进行学习心得交流的学生， 分数位于之间有6人，位于之间的有4人， 记这3人中得分在内的人数为X，X的取值为， 所以；； ；； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 数学期望. 26．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则的方差__________． 【答案】6 【分析】由二项分布标准差公式求出，再利用二项分布方差公式求解即可. 【详解】因为同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是， 且在各路口是否遇到红灯是相互独立的． 记为遇到红灯的次数，则，所以， 因为，所以， 故答案为：6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题46 随机变量及其分布 【复习目标】 1. 了解离散随机变量的意义,会求离散型随机变量的分布列（D）； 2. 了解N次独立重复试验中恰好发生k次的概率及简单应用（D）。 【考点1 随机变量及其分布】 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 ，所有取值可以一一列出的随机变量，称为 随机变量． 离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的 ，简称为X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝p1＋p2＋…＋p n＝1. 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝ (2)二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)． 若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ 【即时训练】 1．已知随机变量服从二项分布，则（    ）． A． B． C． D． 2．某一随机变量的概率分布如下表所示，则其数学期望的值为（   ） 1 3 5 0.5 0.2 A．1 B．0.6 C． D．2.4 3．下列是离散型随机变量的是（ ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 4．设，则随机变量的分布列是 0 1 则当在内减小时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 5．某一批绿豆种子，每一粒发芽的概率的概率为，播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率为（   ）. A． B． C． D． 6．设随机变量的概率分布列为，则的值为（    ）. 1 2 3 A． B．9 C． D． 7．一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（   ）  . A．0.125 B．0.25 C．0.375 D．0.5 8．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 9．已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．若随机变量的概率分布列如下表： 0 2 4 0.3 0.2 0.5 则等于（    ） A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2 11．某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（   ） ξ 8 9 P a A． B． C． D． 12．某项测量结果ξ服从正态分布，若ξ在内取值的概率为，则ξ在内的取值的概率为（   ） A． B． C． D． 13．某射击手命中率为，他连续射击次，恰有次命中的概率是（   ） A． B． C． D． 14．若随机变量服从二项分布，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．已知离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，则的值为（    ） ξ 0 1 2 P A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 16．若随机变量的分布列如表所示： 4 6 8 则数学期望（    ） A． B． C．7 D． 17．将一枚质地均匀的硬币重复拋掷10次，恰好出现6次正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 18．若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 4 6 8 P a A． B．7 C． D． 19．已知甲每次投篮命中率为，若甲投篮3次，求其投中2次的概率. 20．某一射手射击所得环数X的分布列见下表，求：     X 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 求此射手射击所得环数X的期望值与方差. 21．已知随机变量的概率分布为,试确定系数m,并求出的值. 22．某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； (2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列. 23．为了解某市成年人的交通安全意识情况，某职业中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80分以上（含80分）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．    (1)根据频率分布直方图计算所得分数的中位数； (2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列． 24．某兴趣小组有5名女生、3名男生.从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，求： (1)的概率分布； (2)所选3人中男生不超过1人的概率. 25．某中职学校高三学生举行了数学模拟考，现从中随机抽取了100名学生，将他们的得分（满分：100分）分成如下6组：，绘制成频率分布直方图如图.    (1)求a的值. (2)从样本中，将得分不低于80的学生按比例分层随机抽样，抽取10人进行学习心得交流，再从参加交流的学生中任选3人，记这3人中得分在内的人数为X，求X的分布列和数学期望. 26．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则的方差__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $