专题46 随机变量及其分布（练习）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦随机变量及其分布，通过选择与解答题结合，覆盖分布列、均值方差及实际应用，构建从概念到应用的知识逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与计算|13题|选择为主，考查分布列性质、均值方差计算|从分布列定义到数字特征，夯实基础公式应用| |综合应用|11题|解答为主，结合抽样、射击等情境建模|从特殊分布（二项分布）到实际问题，提升数据分析与模型构建能力|

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题46 随机变量及其分布 【考点1 随机变量及其分布】 1．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则等于（    ） X 1 2 3 P A． B． C． D． 2．已知随机变量X的分布列如下表所示，则随机变量X的均值（    ） X 0 1 2 3 P 0.12 0.18 A．1.44 B．1.5 C．1.64 D．1.72 3．若随机变量的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.4 0.2 则等于（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 4．已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A． B． C． D． 5．设，且 ，则的值为（    ） A． B． C． D．或 6．已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（   ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A．1.8 B．2.0 C．2.6 D．4.8 7．已知随机变量的分布列如表所示，则等于（     ） 1 2 3 0.4 0.2 0.4 A．0 B．0.8 C．2 D．1 8．已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 0.5 则实数的值为（    ）． A． B． C． D． 9．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则）等于（   ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 10．已知随机变量的分布列： 0 1 2 3 则变量的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 11．已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【考点1 随机变量及其分布】 12．随机变量X的分布如下表，当取到最大值时，（   ） X 0 1 P a b A． B． C． D． 13．已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（   ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 14．某公司要从2男3女共5位员工中，选出3名员工参加海外培训项目．设随机变量表示选中的男员工人数． (1)可以取哪些值？写出随机变量的分布列； (2)求的均值和方差． 15．在10件产品中，有2件次品.每次抽取一件，有放回地抽取2次，求取得的次品件数 ξ 的概率分布. 16．学校开展禁毒安全教育测试，准备了4道禁毒专项选择题，其中3道基础禁毒题，1道拔高禁毒题.每位同学随机抽取2道题进行测试. (1)求该同学抽到的两道都是基础禁毒题的概率； (2)若同学每道题答对的概率都是，各题答题互不影响.设随机变量为答对的题数，求的概率分布列与的方差. 17．袋中装有大小相同、质地均匀的3个白球和5个黑球，现从中任取2个球，设取到白球的个数为. (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望和方差. 18．某学校组织学生参加技能大赛，计划从3名女生和2名男生中选出3名组成参赛队.求: (1)选出的学生中至少有1名男生的概率; (2)选出的学生中女生人数的概率分布及方差. 19．根据历次射击训练的记录．某射击运动员每次射中的环数总在7～10环之间，其命中环数的分布列见下表，求： 命中环数 7 8 9 10 概率P 0.1 0.3 0.4 m (1)实数m的值； (2)均值和方差． 20．某校数学教研组对高三学生模拟考试数学成绩进行分析，按分层抽样的方法在高三班级抽取了100名学生的数学成绩进行统计，把成绩分成5组，分别为，，，，（注：单独设为一组），其频率分布直方图（如图所示）只给出了的统计．    (1)试估计本次模拟考试数学成绩的中位数； (2)若从60分以下和90分及以上的学生中抽取2人，对其学情进行精准分析，设抽到数学成绩在60分以下的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 21．某地区抽取的样本中包含5个学校的数据，这5个学校的招生数量（单位：万人）分别为：25.2，26.4，24.8，23.6，23.5. (1)求这5个学校招生数量的极差和中位数； (2)从这5个学校中随机抽取3个，记抽取到的招生数量超过25万人的学校个数为随机变量，求的分布列. 22．某学校机械加工专业的一名学生加工零件的合格率为，现从其加工的一批零件中随机抽取3个零件进行质量检测，记抽到的合格品个数为． (1)求随机变量的分布列； (2)求抽到的合格品个数不少于2的概率，以及的数学期望和方差． 23．随机变量X服从，若，，则n为______. 24．一个不透明的袋子内装有大小质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个， 每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量X表示取出后都是白球的次数，则___________； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题46 随机变量及其分布 【考点1 随机变量及其分布】 1．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则等于（    ） X 1 2 3 P A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列以及期望公式即可解得. 【详解】由分布列可得. 故选：C. 2．已知随机变量X的分布列如下表所示，则随机变量X的均值（    ） X 0 1 2 3 P 0.12 0.18 A．1.44 B．1.5 C．1.64 D．1.72 【答案】C 【分析】先由分布列的性质求解m的值，再结合随机变量的均值公式求解即可. 【详解】由分布列可知：，解得， 所以. 故选：C. 3．若随机变量的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.4 0.2 则等于（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】D 【分析】根据分布列的性质求出值，代入期望公式即可得解. 【详解】由题意可知，，解得， 所以. 故选：. 4．已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正态分布结合二项分布的定义以及期望和方差公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， ，， 所以. 故选：D. 5．设，且 ，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得：或， 因为，所以或均满足题意. 故选：D. 6．已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（   ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A．1.8 B．2.0 C．2.6 D．4.8 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的均值公式计算. 【详解】由题意，. 故选：C. 7．已知随机变量的分布列如表所示，则等于（     ） 1 2 3 0.4 0.2 0.4 A．0 B．0.8 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据分布列代入期望公式及方差公式即可求解. 【详解】根据分布列可知，， ， 故选：. 8．已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 0.5 则实数的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用分布列的性质即可得解. 【详解】由分布列可知，， ，则或， 又因为且，解得， 所以， 故选：. 9．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则）等于（   ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式，结合对立事件的性质，求值即可. 【详解】由题意得，，的取值为0，1，2，3，4， ， . 故选：D. 10．已知随机变量的分布列： 0 1 2 3 则变量的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数学期望的计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：B. 11．已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合离散型随机变量的分布列，及期望和方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题可得， 又，即， 解得，， 所以. 故选：D. 【考点1 随机变量及其分布】 12．随机变量X的分布如下表，当取到最大值时，（   ） X 0 1 P a b A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质，数学期望公式以及方差公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，，又， 则， 所以当时，取到最大值. 故选：C. 13．已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（   ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据随机变量的期望与方差公式求解. 【详解】， . 故选：B. 二、解答题 14．某公司要从2男3女共5位员工中，选出3名员工参加海外培训项目．设随机变量表示选中的男员工人数． (1)可以取哪些值？写出随机变量的分布列； (2)求的均值和方差． 【答案】(1)的取值可能为，分布列见解析 (2) 【分析】（1）由题意的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列． （2）由的分布列能求出的均值和方差． 【详解】（1）由题意可知的取值可能为， 则， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 （2）由（1）可得， . 15．在10件产品中，有2件次品.每次抽取一件，有放回地抽取2次，求取得的次品件数 ξ 的概率分布. 【答案】分布列见解析 【分析】由二项分布求出取得的次品件数 ξ 的概率并列出分布列即可. 【详解】由题知，每次取到次品是相互独立， 且取到次品的概率是等可能的，其概率为. 取得的次品件数可能取值为. ； ； . 故的分布列为下表： ξ 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 16．学校开展禁毒安全教育测试，准备了4道禁毒专项选择题，其中3道基础禁毒题，1道拔高禁毒题.每位同学随机抽取2道题进行测试. (1)求该同学抽到的两道都是基础禁毒题的概率； (2)若同学每道题答对的概率都是，各题答题互不影响.设随机变量为答对的题数，求的概率分布列与的方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）先计算从4道题中抽取2道的总情况数，再计算两道都是基础题的情况数，利用古典概型公式求解概率； （2）根据二项分布的概率公式计算分布列，并利用方差公式计算方差. 【详解】（1）总共有4道题，随机抽取2道题的所有可能结果数为， 抽到两道都是基础禁毒题的结果数为 ， 所以抽到的两道都是基础禁毒题的概率. （2）随机变量为答对的题数，所以可能取值为0，1，2，且服从二项分布，所以有：， ， ，所以概率分布列为： X 0 1 2 的方差：. 17．袋中装有大小相同、质地均匀的3个白球和5个黑球，现从中任取2个球，设取到白球的个数为. (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析； (2)期望为，方差为 【分析】（1）由古典概型和组合求出随机变量的分布列即可； （2）由离散型随机变量的期望和方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，的可能取值为0，1，2 ；； ； 所以的分布列为： 0 1 2 P （2）数学期望， 方差. 18．某学校组织学生参加技能大赛，计划从3名女生和2名男生中选出3名组成参赛队.求: (1)选出的学生中至少有1名男生的概率; (2)选出的学生中女生人数的概率分布及方差. 【答案】(1). (2)分布列见解析，方差为. 【分析】（）根据题意结合对立事件概率的性质即可得解. （）根据题意得出的所有可能取值为，分别求出对应概率写出分布列，代入期望和方差公式即可得解. 【详解】（1）设{选出的3名学生中至少有1名男生}， （2）随机变量的所有可能取值为， ；； ， 所以随机变量的分布列为下表： 1 2 3 ， . 19．根据历次射击训练的记录．某射击运动员每次射中的环数总在7～10环之间，其命中环数的分布列见下表，求： 命中环数 7 8 9 10 概率P 0.1 0.3 0.4 m (1)实数m的值； (2)均值和方差． 【答案】(1)0.2. (2)，. 【分析】（）根据分布列的性质即可得解. （）代入期望和方差的公式即可得解. 【详解】（1）由分布列可知，， 解得. （2）， . 20．某校数学教研组对高三学生模拟考试数学成绩进行分析，按分层抽样的方法在高三班级抽取了100名学生的数学成绩进行统计，把成绩分成5组，分别为，，，，（注：单独设为一组），其频率分布直方图（如图所示）只给出了的统计．    (1)试估计本次模拟考试数学成绩的中位数； (2)若从60分以下和90分及以上的学生中抽取2人，对其学情进行精准分析，设抽到数学成绩在60分以下的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)75分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图求出60分以下的人数的频率，再根据中位数的定义结合频率分布直方图即可求解. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，求出对应的概率写出分布列，结合数学期望公式即可求解. 【详解】（1）根据题意60分以下的人数的频率为：， 因为前两组，的频率之和为：， 而，所以中位数在组内， 设中位数为，则，解得， 则估计本次模拟考试数学成绩的中位数为75分． （2）60分以下的人数为人， 的人数为人， 则抽取的抽取总人数为， 随机变量所有可能的取值为0，1，2， 则，，， 故随机变量的概率分布列为 0 1 2 所以数学期望为. 21．某地区抽取的样本中包含5个学校的数据，这5个学校的招生数量（单位：万人）分别为：25.2，26.4，24.8，23.6，23.5. (1)求这5个学校招生数量的极差和中位数； (2)从这5个学校中随机抽取3个，记抽取到的招生数量超过25万人的学校个数为随机变量，求的分布列. 【答案】(1)极差为（万人），中位数为（万人） (2)分布列见解析. 【分析】（）将数据进行排列，利用极差和中位数的定义即可得解. （）求出随机变量的取值，利用古典概型及组合数分别求出概率即可得解. 【详解】（1） 将数据从小到大排列：23.5，23.6，24.8，25.2，26.4， 极差（万人），中位数（第3个数）（万人）. （2）招生数量超过25万人的学校：25.2，26.4，共2所；其余3所不超过， 的可能取值为0，1，2， ，，， 分布列： 0 1 2 22．某学校机械加工专业的一名学生加工零件的合格率为，现从其加工的一批零件中随机抽取3个零件进行质量检测，记抽到的合格品个数为． (1)求随机变量的分布列； (2)求抽到的合格品个数不少于2的概率，以及的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)，数学期望为2，方差为 【分析】（1）根据二项分布，计算的每个取值对应的概率，得出分布列； （2）根据分布列及二项分布的数学期望和方差公式求解. 【详解】（1）某学校机械加工专业的一名学生加工零件的合格率为，不合格的概率为， 由题意可知，随机变量服从二项分布， 的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，． 故的分布列为 0 1 2 3 （2） 抽到的合格品个数不少于2的概率为， 随机变量服从二项分布， 则的数学期望，的方差． 三、填空题 23．随机变量X服从，若，，则n为______. 【答案】10 【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求解. 【详解】随机变量X服从， 已知，即①； ，即②， 将①代入②可得：，则， 再把代入①式中，可得，解得， 故答案为：10. 24．一个不透明的袋子内装有大小质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个， 每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量X表示取出后都是白球的次数，则___________； 【答案】 【分析】根据组合数的计算公式，结合二项分布的期望公式即可求解. 【详解】从六个小球中取两个有种取法，从四个白球中取两个有种取法， 所以六个球中取出两个白球的概率为，由题意得，变量服从二项分布， 所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $