专题31 圆的方程（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题31 圆的方程 【复习目标】 1..掌握圆的方程并能进行简单的应用（D）； 【考点1 圆的方程】 1.圆的定义：平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹称为圆，定点称为圆心，定长称为半径． 2.圆的标准方程：称为以为圆心，r为半径的圆的标准方程．.若圆心在坐标原点，半径为r，则圆的标准方程为． 3.圆的一般方程：将圆的标准方程展开并整理，得．令，则圆的标准方程化为一个二元二次方程（为常数）称为圆的一般方程．将方程配方整理，得． （1）当时，二元二次方程表示以为圆心，以为半径的圆； （2）当时，方程为．二元二次方程只有一组实数解，它表示一个点； （3）当时，二元二次方程没有实数解，不表示任何图形． 4.点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 5.圆与圆的位置关系（了解即可） 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　 　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d＞r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【即时训练】 1．已知圆的标准方程，则圆心坐标和半径为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求得圆心与半径即可求解. 【详解】因为圆的标准方程，则圆心坐标为，半径为. 故选：A. 2．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若方程表示圆，则,由此建立不等式即可求解. 【详解】因为表示圆， 所以 ，解得. 故选：D. 3．已知是圆的方程，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】∵可化为， ∵是圆的方程， ∴， ∴. 故选：D． 4．过点，半径为，且圆心在轴的正半轴上的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出圆心，再根据半径设出圆的标准方程，进而求解. 【详解】因为圆的圆心在轴的正半轴上，设圆心为， 已知圆的半径为，设圆的方程为， 又因为圆过点， 代入得，因为，所以， 故圆的标准方程为：， 故选：A. 5．已知圆的标准方程，若点在圆上，则的值为（      ） A．7 B． C．49 D． 【答案】D 【分析】由点在圆上，代入到圆标准方程中计算即可得解. 【详解】∵圆的标准方程，点在圆上， ∴，即，. 故选：D. 6．圆心为点，半径为4的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆心和半径即可求得圆的标准方程. 【详解】圆心为点，半径为4的圆的方程为. 故选：B． 7．圆的圆心是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的一般式方程求代公式求圆心即可. 【详解】由圆的一般式方程可知，圆心坐标为：. 故选：A. 8．圆过，则圆的半径为（     ） A．25 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】将点代入圆求出，再由圆的方程求半径即可. 【详解】因为圆过， 所以，解得， 所以圆的方程为，即， 所以圆的半径为. 故选：B. 9．圆的圆心坐标和半径分别是（   ） A．，16 B．，4 C．，16 D．，4 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程即可求解. 【详解】圆，化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为， 故选：. 10．圆的圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程即可求解． 【详解】圆的圆心为，半径为， 故选：. 11．圆方程的面积是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】首先求出圆的半径，再根据圆的面积公式求解即可. 【详解】圆方程的半径为. 所以圆的面积为. 故选：D. 12．圆与圆的关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】D 【分析】利用两圆位置关系的判断方法即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 而，则， 所以两圆位置关系为相离. 故选：D. 13．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【分析】根据两点间的距离公式，圆的标准方程，圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】把圆化为标准方程得， 所以圆圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则， 所以圆与圆的位置关系为外切. 故选：B. 14．点在圆的（ ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【分析】由题意代入点坐标到圆的方程，判断其与0的关系即可求解. 【详解】将点代入圆的方程，得到， 所以点在圆的外部． 故选：A. 15．已知圆，则在该圆内的点应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合点到圆心的距离与半径的大小关系，即可判断求解． 【详解】因为，所以圆心坐标为，半径， 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆上，故选项A不符合题意； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆上，故选项B不符合题意； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆外，故选项C不符合题意； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内，故选项D符合题意； 故选：D． 16．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将一般方程化为标准方程即可求解. 【详解】圆，即， 它的圆心坐标和半径分别为. 故选：A. 17．点与圆：的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内且不是圆心 C．点在圆上 D．点是圆心 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法易得答案. 【详解】点的坐标代入圆的方程的左边， 得， 所以点在圆内且不是圆心， 故选：B. 18．方程表示圆，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由二元二次方程表示圆，可得关于的不等式，求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 可得，化简， 解得或. 故选：. 19．以为圆心，4为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】以为圆心，4为半径的圆的方程为. 故选：D. 20．已知点，则以AB为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式以及两点间的距离公式求出圆心以及半径，进而得到圆的标准方程. 【详解】因为点，所以线段的中点为， . 则以AB为直径的圆的圆心为，半径为， 进而圆的方程为. 故选：A. 21．圆心为且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与直线相切的性质求出圆的半径，再结合圆的标准方程的形式来求解圆的方程. 【详解】圆心为的圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 即， 所以圆的标准方程为， 故选：D. 22．方程表示的曲线是圆，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】由方程表示圆的条件解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为方程表示的曲线是圆. 所以. 整理得. 解得或. 故选：. 23．两圆，外切，则正实数的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切则两圆心距离等于两圆半径之和求解即可. 【详解】由题意可知两圆心分别为， 因为两圆外切， 所以，. 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题31 圆的方程 【复习目标】 1..掌握圆的方程并能进行简单的应用（D）； 【考点1 圆的方程】 1.圆的定义：平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹称为 ，定点称为圆心，定长称为半径． 2.圆的标准方程：称为以为圆心，r为半径的 ．.若圆心在坐标原点，半径为r，则圆的标准方程为． 3.圆的一般方程：将圆的标准方程展开并整理，得．令，则圆的标准方程化为一个二元二次方程（为常数）称为 ．将方程配方整理，得． （1）当时，二元二次方程表示以为圆心，以为半径的圆； （2）当时，方程为．二元二次方程只有一组实数解，它表示一个点； （3）当时，二元二次方程没有实数解，不表示任何图形． 4.点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法 设到圆心的距离为，则 ①则点在 ②则点在 ③则点在 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 5.圆与圆的位置关系（了解即可） 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　 　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d＞r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【即时训练】 1．已知圆的标准方程，则圆心坐标和半径为（      ） A． B． C． D． 2．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知是圆的方程，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．过点，半径为，且圆心在轴的正半轴上的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆的标准方程，若点在圆上，则的值为（      ） A．7 B． C．49 D． 6．圆心为点，半径为4的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 7．圆的圆心是（    ） A． B． C． D． 8．圆过，则圆的半径为（     ） A．25 B．5 C．4 D．3 9．圆的圆心坐标和半径分别是（   ） A．，16 B．，4 C．，16 D．，4 10．圆的圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 11．圆方程的面积是（   ） A． B．3 C． D． 12．圆与圆的关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 13．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 14．点在圆的（ ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 15．已知圆，则在该圆内的点应是（   ） A． B． C． D． 16．圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 17．点与圆：的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内且不是圆心 C．点在圆上 D．点是圆心 18．方程表示圆，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 19．以为圆心，4为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 20．已知点，则以AB为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 21．圆心为且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 22．方程表示的曲线是圆，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 23．两圆，外切，则正实数的值是（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $